商品簡介
微積分和線性代數之外的數學世界是什麼樣的？本書由東京大學數學系的學者生動地詮釋了當下正在進行的有趣數學研究。本書是「數學的現在」叢書中的一部，叢書榮獲2019年日本數學會出版獎，分為三卷：i卷（代數卷）、π卷（幾何卷）和e卷（分析卷）。涵蓋的主題包括代數幾何、整數論、微分幾何、微分方程式和應用數學等前沿研究領域。 每一卷專注於幾個相關主題，包含10到15講。每講由該領域的知名學者撰寫，簡明扼要地介紹了該領域的發展脈絡和重要內容，並提供了進一步閱讀材料和相關練習。這套叢書是數學研究者和愛好者了解當前引人入勝的數學研究的寶貴指南，是當代數學中不可多得的資源。 本書為第一卷（i卷），圍繞數論幾何、代數兒何，整數論和表示論等主題展開討論，適合數學專業本科生和一般數學愛好者閱讀。
作者簡介
齋藤毅
1961年出生 1984年畢業於東京大學理學院數學系 現任東京大學研究生院數理科學研究科教授 專業：數論
目次
第一講 算術幾何學－從黎曼猜想到平展上同調
1.1 黎曼猜想
1.2 數域與函數域的類似
1.3 黎曼面的虧格
1.4 虧格與有理點
1.5 韋伊猜想
1.6 平展上同調
第二講 代數幾何－黎曼曲面與雅可比流形
2.1 複變函數的解析延拓，黎曼曲面的萌芽
2.2 黎曼曲面與全純函數、亞純函數
2.3 超橢圓曲線
2.4 全純微分形式與線積分、虧格
2.5 除子、除子類群和全純線叢
2.6 亞純函數的存在與代數曲線
2.7 曲線的雅可比流形與阿貝爾定理
第三講 代數幾何－枚舉幾何學
3.1 列舉問題
3.2 複射影空間
3.3 枚舉不變量
3.4 陳類
3.5 代數簇上曲線的枚舉
3.6 鏡像對稱性
3.7 曲線的模空間
3.8 Gromov-Witten不變量
3.9 Donaldson-Thomas不變量
第四講 無限維李環與有限群－頂點算子代數與月光猜想
4.1 李環
4.2 仿射型李環
4.3 算子積展開
4.4 頂點代數
4.5 海森伯頂點代數
4.6 偶廬模格
4.7 有限單群的分類
4.8 月光與Conway-Norton猜想
4.9 月光模與魔群
4.10 各種話題
第五講 李群的表示論－圍繞表示的特徵
5.1 群的表示
5.2 緊群的表示
5.3 緊群的特徵
5.4 非緊約化李群的特徵
第六講 整數論－潛伏在模曲線背後的數論現象
6.1 不可思議的模曲線
6.2 模曲線與整數論
6.3 從模曲線到志村簇
第七講 整數論－談朗蘭茲對應
7.1 引子
7.2 一條曲線
7.3 從群組開始
7.4 再談整數論
7.5 再話幾何
7.6 兩個話題
7.7 再談整數論
第八講 代數幾何－代數簇的分類理論
8.1 代數簇
8.2 雙有理等價
8.3 典範除子
8.4 代數曲線的分類
8.5 代數簇的形變
8.6 離散分類
8.7 小平維數
8.8 極小模型
8.9 三維以上極小模型理論
8.10 半正定性定理與小平維數的可加性
第九講代數幾何－奇點解消的弧空間方法
9.1 代數簇的奇點
9.2 代數簇上的全純函數
9.3 微分模與標準模
9.4 Mather-Jacobian偏差
9.5 jet空間與弧空間
9.6 弧空間在最小MJ-對數偏差方面的應用
9.7 特徵值為0時的MJ-奇點
9.8 面向正特徵值奇點的應用
第十講 代數幾何－奇點理論中的正特徵值方法
10.1 奇點
10.2 b函數
10.3 對數典範閾值
10.4 F純閾值
第十一講 量子可積系統－Lassalle猜想與Askey-Wilson多項式
11.1 氫原子
11.2 量子可積系統與特殊函數
11.3 Askey-Wilson多項式的定義
11.4 Askey-Wilson多項式的顯式公式
11.5 無論如何也要展開為x的冪級數
11.6 踏出的第一步
11.7 Askeyr-Wilson多項式的退化狀態
11.8 Vetrma的一般變換公式，Andrews的求和公式，Shing的二次變換公式
11.9 一般的參數（a，b，c，d）的情形
11.10 再一次請出Verma的變換公式
第十二講 算術幾何學－p進微分方程與等晶體
12.1 p進數域
12.2 p進微分方程
12.3 等晶體
索引
作者側記
