現代數學基礎叢書

《凸分析基礎》系統介紹了凸分析基礎的五個核心部分。①涉及與凸集理論有關的線性子空間、仿射集、超平面、凸包、單純形、閉包、內部、相對內部、凸集分離和支撐超平面等基本性質和一些重要定理。②涵蓋了與凸錐有關的頂點錐、錐包、凸錐包、回收錐、共軛錐(正極錐)、負極錐、法錐與切錐、障礙錐、凸錐分離、多面體、多面錐和多面體集等基本性質和重要定理。③細述了實值(有限值)凸函數、可微凸函數、正常與非正常凸函數、複合凸函數、半連續凸函數、閉凸函數、連續凸函數和Lipschitz連續凸函數、共軛凸函數、支撐凸函數、規範凸函數、嚴格凸函數、半嚴格凸函數、顯凸函數等性質和定理。④闡述了擬凸函數、半嚴格擬凸函數、顯擬凸函數、偽凸函數、二次可微廣義凸函數和廣義單調性等廣義凸函數的基本理論與性質。⑤討論了凸函數的微分學基本理論，其中主要包含了凸函數的可微性判定定理、方向導數與次微分的關係，凸函數的中值定理與若干運算性質，Dini方向導數與擬凸函數之間的關係等內容。

《隨機反應擴散方程》介紹It？型馬爾可夫跳變隨機反應擴散方程和脈衝(隨機)反應擴散方程(包括隨機泛函反應擴散方程與中立型脈衝反應擴散方程)的穩定性基本理論與研究進展。在第1章，給出了馬爾可夫跳變隨機反應擴散方程的穩定性一般理論，然後討論了幾類具有重要應用價值的隨機反應擴散神經網絡的穩定性。在第2章，利用Ito。公式、比較原理和Lyapunov直接法等，討論了具有脈衝影響的時滯隨機模糊神經網絡等系統的穩定性的新判據。在第3章，利用有向圖理論，研究網絡上耦合隨機反應擴散系統，考慮了網絡動力系統的拓撲結構對穩定性的影響。

無限維耗散動力系統是數學的一個重要分支，與其他數學分支均有廣泛的聯繫，而且在自然科學與工程技術中有廣泛的應用。《不可壓縮Navier-Stokes方程的吸引子問題》主要介紹無限維耗散動力系統並應用於不可壓縮Navier-Stokes方程。主要內容包括無限維系統的全域吸引子、指數吸引子和慣性流形的基本概念、存在性、構造原理和穩定性，Lyapunov指數和吸引子的Hausdorff維數、分形維數等經典結論。所用的研究方法主要是算子半群理論、球覆蓋定理、弱收斂方法和Fiber吸引壓縮定理等。這些研究內容和研究方法可以為讀者進一步學習、研究無限維耗散動力系統做必要的理論準備。《不可壓縮Navier-Stokes方程的吸引子問題》的主要特點是介紹基本概念和重要理論的來源和背景，強調培養讀者運用數學方法解決問題的能力，注重可讀性，敘述深入淺出、涉及面廣，有利於讀者進一步學習。

《Vlasov-Boltzmann型方程的數學理論》主要研究兩類帶外力場的Boltzmann方程，包括Vlasov-Poisson-Boltzmann(VPB)方程和Vlasov-Maxwell-Boltzmann(VMB)方程的譜分析與整體強解的漸近行為。主要內容包括：第1章介紹經典Boltzmann方程的譜分析，並且利用譜分析建立Boltzmann方程整體強解的存在性和最優衰減速度估計；第2章介紹VPB方程的譜分析、能量估計和整體強解的存在性和最優衰減率；第3章至第4章基於譜分析研究VPB方程的格林函數和整體強解的時空點態估計，以及擴散極限的收斂性和收斂速度估計；第5章介紹VMB方程的譜分析、能量估計和整體強解的存在性和最優衰減率。《Vlasov-Boltzmann型方程的數學理論》最突出的特點是建立了帶外力場的Boltzmann方程的譜分析，並且把譜分析方法應用到研究帶外力場的Boltzmann方程整體強解的漸近行為，包括解的最優時間衰減率、格林函數的點態估計和流體動力學極限。

加性數論和乘性數論是數論學科的兩個重要分支.前者有哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、華林問題、整數分拆問題、表整數為平方和問題等,後者有素數定理和狄利克雷定理等.本書研究的加乘方程是指加性方程和乘性方程聯合起來的一類方程,是作者率先提出的一系列原創數論問題,它們也是華林問題、費爾馬大定理、歐拉猜想、表整數為平方和、同餘數、完美數和埃及分數等經典數論問題的變種,同時衍生出諸如形素數、abcd方程、加乘同餘式等新概念和新問題.借助于橢圓曲線理論等現代數學工具,我們得到了一些嶄新的結果,並提出了若干新猜想和新問題.結論比原來的經典問題簡潔漂亮,但難度卻是同等的.本書不僅對數論研究有較高的理論價值,而且由於行文的流暢性和內容的可讀性,兼具數學史和數學文化的傳播功能.