非線性波動方程（簡體書）

本書的主要內容是介紹非線性波動方程的局部或整體適定性理論、研究方法，以及解的破裂性質等。第一章，介紹了一些可用變分方法導出的方程與方法，討論了方程中的一些重要的不變特徵及其作用，以及定解問題的提法與研究解的存在性問題的常用方法等。第二章回顧和介紹了了研究偏微分方程理論所需的現代分析或調和分析基礎，其中包括可積空間、可微空間、Sobolev空間以及它們之間的一些重要的定性性質和定量關係。最大函數及其應用，局部化方法與不確定性原理，穩定位相法，Gagliardo-Nirenberg不等式，Moser型估計等一些常用的非線性估計，Fourier限制定理及其各種證明方法等。第三章主要介紹線性波動方程解的表示，解在Sobolev框架下的存在唯一性，能量不等式，衰減估計，Strichartz估計，雙線性估計以及波-Sobolev空間及其估計等。第四章主要介紹非線性波動方程的局部適定性理論，其中包括Sobolev框架、可微函數空間框架下的局部解以及滿足零條件方程的局部解理論等。第五章介紹了一些典型波動方程經典解的破裂與奇性的形成以及生命區間的刻畫等例子。第六章主要討論了小振幅初值解的整體存在性問題。首先用連續性方法證明了高維擬線性波動方程的整體解的存在性，零條件以及低維情形的整體解。然后給出非線性Klein-Gordon方程的整體解常用研究方法。最后，討論了半線性波動方程的整體適定性問題以及研究方法，其中包括具有整體Lipschitz非線性項的波動方程的整體解；半線性波動方程的有限能量弱解、經典解以及三個空間變量情形的低正則解等。

第一章　概論
　1.1　引言
　1.2　幾何與物理中的一些方程的導出
　1.3　方程中的一些不變特徵
1.3.1　幾個重要李群
1.3.2　模型方程的守恆律與一些不變性質
　1.4　問題及方法
1.4.1　Cauchy問題的適定性
1.4.2　兩個常用的研究方法
第二章　分析基礎
　2.1　Lp空間及其插值空間
2.1.1　Lp空間
2.1.2　Fourier變換
2.1.3　插值理論
　2.2　最大函數及其應用
2.2.1　最大平均函數
2.2.2　分數次積分
　2.3　局部化方法與不確定性原理
2.3.1　局部化方法
2.3.2　不確定性原理
2.3.3　Littlewiid-Paley分解
　2.4　穩定位相法
　2.5　Sobolev空間的L-P分解刻畫
　2.6　Poincare不等式
　2.7　非線性估計
2.7.1　Gagliardo-Nurenbeng不等式
2.7.2　Leibniz法則
2.7.8　Miser型估計
　2.8　Fourier限制理論
2.8.1　Stein-Thomas定理
2.8.2　解析插值證明
2.8.3　演化算子方法證明
2.8.4　雙線性形式證明（n=2和n=3）
第三章　線性波動方程
　3.1　線性波動方程的經典解
　3.2　線性波動方程的弱解
　3.3　能量不等式
　3.4　線性波動方程解的存在與唯一性
　3.5　L∞衰減估計
　3.6　波動方程的Strichartz估計
3.6.1　單頻Strichartz估計
3.6.2　波動方程Strichartz估計
3.6.3　球面對稱情形的Strichartz估計
3.6.4　其他的LpLq混合范數估計
　3.7　齊次波動方程的雙線性時空估計
3.7.1　一些記號與說明
3.7.2　橢球面與雙曲球面上的積分
3.7.3　定理條件的必要性分析
　3.8　波Sobolev空間及其估計
第四章　非線性波動方程局部解
　4.1　半線性波動方程的局部解
　4.2　擬線性方程的局部解
　4.3　三維半線性方程的局部解
　4.4　具零形式的方程的局部解
第五章　經典解的破裂與奇性的形成
　5.1　半線性方程解的破裂
　5.2　形如utt＝C2(ux)uxx方程的破裂
　5.3　n=3時utt=c2(ut)△u的徑向解的破裂
　5.4　n=3時□v=2ututt的解的破裂
第六章　具小振幅初值的非線性波動方程
　6.1　非線性波動方程的小振幅解
6.1.1　高維擬線性波動方程的整體解
6.1.2　零條件和三維波動方程的整體解
6.1.3　零條件和二維波動方程的整體解
　6.2　具小初值的非線性Klein-Gordon方程
6.2.1　經典的能量方法
6.2.2　Klainerman的不變向量場方法
6.2.3　Shatah的法形式方法
……
第七章　大振幅初值的半線性波動方程的整體解
參考文獻