高等數學學習輔導（簡體書）

《高等數學學習輔導》是高等數學配套的學習輔導教材，內容包括極限與連續、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、不定積分、定積分及其應用、多元函數微分學、二重積分、微分方程與差分方程、無窮級數共9章內容。每一章都包括基本要求、重點與難點、內容提要、典型例題分析、同步練習題、自我測試題等6部分．《高等數學學習輔導》最後還選編了5套綜合測試題，供讀者學習鞏固之用．所有的同步練習題、測試題和綜合測試題都附有較為詳細的解答和提示方便讀者學習使用。《高等數學學習輔導》除了可以作為高等數學學習的輔導書外，也可以作為全國研究生入學考試的參考書。·

《高等數學學習輔導》最后還選編了5套綜合測試題，供讀者學習鞏固之用。所有的同步練習題、測試題和綜合測試題都附有較為詳細的解答和提示方便讀者學習使用。除了可以作為高等數學學習的輔導書外，也可以作為全國研究生入學考試的參考書。

前言第1章 極限與連續1.1 基本要求1.2 重點與難點1.3 內容提要1.4 典型方法與例題分析1.5 同步練習題1.6 自我測試題第2章 導數與微分2.1 基本要求2.2 重點與難點2.3 內容提要2.4 典型方法與例題分析2.5 I司步練習題2.6 自我測試題第3章 微分中值定理與導數的應用3.1 基本要求3.2 重點與難點3.3 內容提要3.4 典型方法與例題分析3.5 司步練習題3.6 自我測試題第4章 不定積分4.1 基本要求4.2 重點與難點4.3 內容提要4.4 典型方法與例題分析4.5 同步練習題4.6 自我測試題第5章 定積分及其應用5.1 基本要求5.2 重點與難點5.3 內容提要5.4 典型方法與例題分析5.5 同步練習題5.6 自我測試題第6章 多元函數微分學6.1 基本要求6.2 重點與難點6.3 內容提要6.4 典型方法與例題分析6.5 同步練習題6.6 自我測試題第7章 二重積分7.1 基本要求7.2 重點與難點7.3 內容提要7.4 典型方法與例題分析7.5 F司步練習題7.6 自我測試題第8章 微分方程與差分方程8.1 基本要求8.2 重點與難點8.3 內容提要8.4 典型方法與例題分析8.5 F司步練習題8.6 自我測試題第9章 無窮級數9.1 基本要求9.2 重點與難點9.3 內容提要9.4 典型方法與例題分析9.5 同步練習題9.6 自我測試題綜合測試題測試題（一）測試題（二）測試題（三）測試題（四）測試題（五）同步練習與測試題答案與提示參考文獻·

1.1基本要求
（1）理解函數的概念；了解反函數、復合函數和分段函數的概念；掌握復合函數的分解。
（2）熟悉基本初等函數及其性質與圖形；熟悉函數的表示法及函數的幾種幾何特性；會建立一般有實際問題背景的函數關系式。
（3）理解數列及函數極限的概念；了解極限的精確定義，熟練掌握極限四則運算法則。
（4）了解極限存在準則；會用兩個重要極限求有關極限。
（5）理解無窮小、無窮大的概念；掌握無窮小的性質和無窮小的比較方法；會用等價無窮小求極限。
（6）理解函數連續的概念，會判斷函數間斷點的類型；掌握初等函數的連續性和閉區間上連續函數性質。
1.2重點與難點
（1）本章的重點：函數的概念；復合函數、分段函數、初等函數；無窮小；求函數極限；判斷間斷點的類型；函數的連續性和閉區間上連續函數性質。
（2）本章的難點：數列極限定義的N?ε語言、函數極限δ?ε語言；無窮小比較；判斷間斷點的類型；閉區間上連續函數性質。
1.3內容提要
1.集合的定義
定義1.3.1具有某種特定性質的對象所組成的總體稱為集合.通常用大寫字母A，B，C，表示。
……
2.區間
定義1.3.2設a，b為兩個實數，且a<><><><>
閉區間：[a，b]={x||a.x.b}.
半開半閉區間：[a，b）={x|a.x<><>
無限區間：[a，+∞）={x|a.x}；（.∞，b]={x|x.b}。
特別地，全體實數的集合R也可表示為無限區間（.∞，+∞）。
3.鄰域
定義1.3.3設a與δ是兩個實數，且δ>0，滿足不等式|x.a|<><><>
若把鄰域U（a，δ）的中心a去掉，所得到的集合稱為點a的去心δ鄰域，記作U.（a，δ），即U.（a，δ）={x0<><>
4.映射的定義|||
定義1.3.4設X，Y是兩個非空集合，若存在一個對應法則f，使得.x∈X，按法則f，有唯一確定的y∈Y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作 f：XY，→ 其中，y稱為元素x在映射f下的象，記作f（x），即y=f（x）；x稱為元素y在映射f下的一個原象；集合X稱為映射f的定義域，記作Df；X中所有元素的象所組成的集合稱為映射f的值域，記作Rf或f（X），即Rf=f（X）={f（x）|x∈X}。
5.函數的定義
定義1.3.5設數集D.R，則稱映射f：D→R為定義在D上的函數，通常記作
y=f（x），x∈D，
其中，x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數f的定義域，也記作Df.函數的表示法：表格法、圖形法、解析法（公式法）。
（1）分段函數.在其定義域的不同范圍內具有不同的解析式。
（2）復合函數.設函數y=f（u）的定義域為Df，函數u=g（x）在D上有定義，且g（D）∩Df=..，則由下式確定的函數y=f（g（x）），x∈D2

第1章極限與連續
稱為由函數u=g（x）和函數y=f（u）構成的復合函數，其中變量u稱為中間變量。
（3）反函數.設函數y=f（x）的定義域為D，值域為Rf.對.y∈Rf，在定義域D上至少可以確定一個數值x與y對應，且滿足關系式f（x）=y。
如果把y作為自變量，x作為函數，則由上述關系可以確定一個新函數，x=.（y）（或x=f.1（y））這個新函數稱為函數y=f（x）的反函數.反函數的定義域為Rf，值域為D。
習慣上，一般將函數y=f（x），x∈D的反函數記作y=f.1（x），x∈Rf.相對于反函數y=f.1（x），原來的函數y=f（x）稱為直接函數。
6.函數的幾何特性
（1）有界性.設函數f（x）的定義域為D，如果存在正數M，使對.x∈D，有|f（x）|.M，則稱函數f（x）在D上有界，否則稱f（x）在D上無界。
（2）單調性.設函數f（x）在某區間I上有定義，若對.x1，x2∈I，當x1<>f（x2）），則稱函數f（x）在區間I上是單調增加函數（單調減少函數）.單調增加和單調減少函數統稱為單調函數。
（3）奇偶性.設函數f（x）的定義域D關于原點對稱.若.x∈D，恒有f（.x）=f（x）（或f（.x）=.f（x）），則稱f（x）為偶函數（或奇函數）.偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱。
（4）周期性.設函數f（x）的定義域為D.若.l>0，使得.x∈D，有（x±l）∈D，且有f（x+l）=f（x）成立，則稱f（x）為周期函數，l稱為f（x）的周期。
7.初等函數
1）基本初等函數冪函數y=xu（u∈R是常數）；指數函數y=ax（a>0且a=1）；對數函數y=logxa（a>0且a=1）；三角函數y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx；反三角函數y=arcsinx，y=arccosx，y=arctany=arccotx.2）初等函數由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合運算所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數。
8.數列極限定義（“N?ε”語言）
定義1.3.6設有數列{xn}和常數a，若對.ε>0，總是.N∈N+，使得當n>N時，恒有|xn.a|<ε成立。則稱常數a是數列{xn}的極限，或稱數列{xn}收斂于常數a.記作 limxn="">
如果數列{xn}沒有極限，就稱數列{xn}是發散的。
9.收斂數列的性質
（1）唯一性.若數列{xn}收斂，則其極限必唯一。
（2）有界性.若數列{xn}收斂，則其必有界。
（3）保號性.設limxn=a，n→∞.N∈N+，當n>N時，恒有xn>0（或xn<>
（i）若a>0（或a<0），則（ii）若.n∈n+，使得當n>N時，xn>0（或xn<>
10.函數的極限的定義
定義1.3.7設函數f（x）在點x0的某一去心鄰域內有定義，若對.ε>0，總是.δ>0，使得當x滿足不等式0<><><ε，則稱常數a為函數f（x）當x→x0時的極限，記作xlimx0f（x）=a或f（x）→a（x→x0）→>

第1章極限與連續
左右極限.當x從x0的左側（右側）趨向于x0時，函數f（x）的極限稱為f（x）在點x0的左（右）極限，分別記作lim0f（x）或f（x0.0）（lim+0f（x）或f（x0+0））。
xx.xx
→→
函數極限存在的充要條件xlimx0f（x）=A.xlimf（x）=xlimx+f（x）=A。
→x.→0
類似地，有x→∞，x→.∞，x→+∞時，f（x）極→限0的定義。
11.函數極限的性質
（1）唯一性.若xlimx0f（x）存在，則其極限唯一。
（2）局部有界性.→若limf（x）=A，則存在M>0和δ>0，使得當0<><δ時，有|f（x）|.m.x→x0||>
（3）局部保號性.
（i）若xlimx0f（x）=A，且A>0（或A<0），則存在常數δ>0，使得當→0<><δ時，有f（x）>0（或f（x）<>
（ii）若xlimx0f（x）=A，且在x0的某去心鄰域內f（x）.0（或f（x）.0），則A.0（或A.0）.→
12.無窮小定義定義1.3.8若xlimx0f（x）=0（或limf（x）=0），則稱函數f（x）為xx0（或x→∞）時的無窮小.→x→∞→函數極限與無窮小的關系xlimx0f（x）=A的充分必要條件是→f（x）=A+α，其中α為x→x0時的無窮小。
13.無窮大定義定義1.3.9若limf（x）=∞（或limf（x）=∞），則稱函數f（x）為xx0（或x→∞）時的無窮大.x→x0x→∞→無窮小與無窮大的關系在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數為無窮小；非零無窮小的倒數為無窮大。
14.無窮小的性質
（1）有限個無窮小的代數和仍是無窮小；
（2）有界函數與無窮小的乘積是無窮小；
（3）常數與無窮小的乘積是無窮小；
（4）有限個無窮小的乘積仍是無窮小。
15.函數極限的四則運算法則
設limf（x）=A，limg（x）=B（A，B均為常數），則
（1）lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B；
（2）lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）=AB；
……
f（x）limf（x）A
（3）若又有B=0，那么limg（x）=limg（x）=B。
16.極限存在準則
準則I（夾逼準則）設在點x0的某一去心鄰域U.（x0）內（或|x|>M），恒有
（1）g（x）.f（x）.h（x）；
（2）limg（x）=limh（x）=A
xx0xx0
→→
（x→∞）（x→∞）
成立，則極限limf（x）存在，且有limf（x）=A。
xx
→x0→x0（x→∞）（x→∞）
準則II單調有界數列必有極限。
17.兩個重要極限
（1）limsinx=1.特點是0型極限。
x00
1+
x.
→
.x
1
1
（2）lim=e或lim（1+x）=e.特點是1∞型極限。
x
x→∞xx→0
18.無窮小的比較
設limα=0，limβ=0，且α=0.β.
（1）若lim=0，則稱β是比α高階的無窮小，記作β=o（α）；
αβ
αβ
（2）若lim=∞，則稱β是比α低階的無窮小；
（3）若lim=c=.0，則稱β與α是同階無窮小，特別地，當c=1時，即αlimαβ=1，此時稱β與α是等價無窮小，記作α～β.等價無窮小代換定理設α，β，α.，β.是同一變化過程中的無窮小，且α～α.，β～β..如果limα.=A，那么β.αα.
lim=lim=A.
ββ.
常用的等價無窮小設α（x）→0，則有
sinα（x）～α（x），tanα（x）～α（x），arcsinα（x）～α（x），arctanα（x）～α（x），1.cosα（x）～α（x）2，ln（1+α（x））～α（x），eα（x）.1～α（x），2aα（x）.1～α（x）lna（a>0），（1+α（x））k.1～kα（x）（k=0.且為常數）。

第1章極限與連續
19.函數的連續性
1）定義定義1.3.10設函數f（x）在x0某一鄰域內有定義，如果
limΔy=lim[f（x0+Δx）.f（x0）]=0，
Δx0Δx0
→→
那么，就稱函數f（x）在點x0連續，x0稱為f（x）的連續點.定義1.3.11設函數f（x）在x0某一鄰域內有定義，如果
limf（x）=f（x0），
x0
→那么，就稱函數f（x）在點x0連續。
2）單側連續性
若limf（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0處左連續。
若lim
xx.
→
0
f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0處右連續。
+0
xx
函數→f（x）在點x0
連續.f（x）在點x0處既左連續又右連續.
3）連續函數如果函數f（x）在區間（a，b）內每一點都連續，則稱f（x）在區間（a，b）內連續或稱f（x）是區間（a，b）內的連續函數，區間（a，b）稱為f（x）的連續區間.如果函數f（x）是區間（a，b）內的連續函數，并且在左端點x=a處右連續，即limf（x）=f（a），在右端點x=b處左連續，即limf（x）=f（b），則稱f（x）在閉區
+
b.
xa
x
間→[a，b]上連續。
→
20.函數的間斷點
若函數f（x）在點x0處不連續，則稱函數f（x）在點x0處間斷，點x0稱為f（x）的間斷點或不連續點.間斷點的常見類型設x0為f（x）的間斷點，（1）跳躍間斷點.如果當xx0時，f（x）的左、右極限都存在但不相等，即lim是→f（x）的跳躍間斷點。
0
f（x）.=limx.f（x），則稱x0
+0
xx
x
→
→
（2）可去間斷點.如果當x值f（x0）或函數f（x）在x0→x0時，f（x）的左、右極限存在且相等，但不等于函數處無定義，則稱x0是f（x）的可去間斷點。跳躍間斷點和可去間斷點的共同特點是函數在點x0處的左、右極限都存在，所以把它們統稱為第一類間斷點。
（3）第二類間斷點.函數除第一類間斷點以外的其他間斷點，統稱為第二類間斷點，其特點是在此類間斷點處的左、右極限至少有一個不存在。