線性代數（簡體書）

《高等學校教材:線性代數(第2版)》可作為高等學校理工科各專業線性代數課程教材，也可作為學生的自學用書。

第0章 預備知識
§0.1復數數城
§0.2二、三階行列式
第1章 向量代數、空間中直線與平面
§1.1 空間直角坐標系
§1.2向量的概念
§1.3向量的線性運算
§1.4向量的數量積、向量積、混合積
§1.5向量的坐標
§1.6平面方程
§1.7直線方程
附錄
第2章行列式與克拉默法則
§2.1行列式的定義
§2.2行列式性質及計算
§2.3克拉默法則
附錄
第3章矩陣
§3.1矩陣的概念
§3.2矩陣的運算
§3.3逆矩陣
§3.4矩陣的初等變換與初等矩陣
附錄
第4章線性方程組
§4.1消元法
§4.2 n維向量空間與歐氏空間
§4.3 Pn中向量的線性相關性
§4.4 向量組的秩和矩陣的秩
§4.5線性方程組的有解判定定理
§4.6線性方程組解的結構
附錄線性方程組解理論的應用
第5章特征值
§5.1特征值與特征向量
§5.2矩陣的相似
§5.3 實對稱矩陣的相似標準形
§5.4若爾當標準形簡介
第6章二次型
§6.1二次型及其矩陣表示
§6.2二次型的標準形
§6.3二次型的規范形
§6.4正定=次型與正定矩陣
§6.5 二次曲線和二次曲面方程的標準化
第7章線性空間
§7.1線性空間的概念
§7.2維數、基和坐標
§7.3子空間
§7.4和空間與補空間
§7.5 同構映射
第8章線性變換
§8.1線性變換及其運算
§8.2線性變換的矩陣
§8.3線性變換的值域與核
第9章抽象代數簡介
§9.1群
§9.2環
§9.3除環、域
部分習題答案、提示

4.4向量組的秩和矩陣的秩
本節我們討論向量組的秩和矩陣的秩。為此先引入一個向量組的最大線性無關組的概念。
定義4.13 設A：α1，α2，…，αr，β，γ，…是一個由若干個n維向量組成的向量組，α1，α2，…，α，是A的一個部分組，且
（1）α1，α2，…，αr線性無關；
（2）α1，α2，…，αr再添上A中任意一個向量α得到的向量組α1，α2，…，αr，α線性相關，則稱部分組α1，α2，…，αr為A的一個最大線性無關組。
由定理4.5可得關于最大線性無關組的如下定理（請讀者自行證明）。
定理4.7 設α1，α2，…，αr是A的一個部分組，則α1，α2，…，αr是A的一個最大線性無關組的充要條件是如下條件都成立：
（1）α1，α2，…，αr線性無關；
（2）A中任意一個向量α都可由α1，α2，…，αr線性表出。
注1 條件（2）可換成"α1，α2，…，αr與整個向量組A等價"，請讀者證明之。
注2 一個向量組的任意一個最大線性無關組都與原向量組等價。
可以看出，n維向量空間Pn的任意一個基都是Pn的一個最大線性無關組，特別地，基本向量組ε1，ε2，…，εn。是Pn的一個最大線性無關組。利用最大線性無關組的概念可定義Pn的子空間V的基就是V（看成向量組）的最大線性無關組。因此，V的基（向量組）與空間V是等價的。實際上，向量組A的最大線性無關組就是與向量組A等價且包含向量個數最少的部分組（參見習題4.4，第1題）。因此，Pn的子空間V的一個基就是與V等價的向量組中所含向量個數最少者。
下面定理說明任意一個含有非零向量的向量組都有最大線性無關組。
定理4.8 n維向量組A的任意一個線性無關組都可以擴充成A的一個最大線性無關組，從而任意含有非零向量的向量組都有最大線性無關組。
證明 設α1，α2，…，αs為A的一個線性無關的部分組，我們可以采取逐個添加的辦法去找A的最大線性無關組。如果A中所有向量都可由α1，α2，…，αs線性表出，則α1，α2，…αs就是A的最大線性無關組。假設αs+1為A中的向量，且不能由α1，α2，…，αs線性表出，由定理4.4知α1，α1，…，αs，αs+1線性無關。再用α1，α1，…，αs，αs+1代替α1，α2，…，αs重復上述過程討論，……，如此下去。
由于n維向量空間Pn中至多有n個線性無關的向量，因此上述步驟終止于有限步，即至多添加n～s個向量，就可以把α1，…，αs擴充為A的最大線性無關組。
顯然，一個向量組可以有許多最大線性無關組，那么它們之間有什么聯系呢？
例1 幾何空間R2（或R3）中，任意兩個（三個）不平行（不共面）的向量都是R2（R3）的一個基，也是最大線性無關組，容易看出，R2（R3）的任意兩個最大線性無關組都可以互相線性表示，即它們等價。
利用定理4.7的注，我們知道一向量組的任意一個最大線性無關組都與原向量組等價。由向量組等價的傳遞性知，一個向量組的任意兩個最大線性無關組等價，再由定理4.6’的推論2知，它們含有相同個數的向量，即
定理4.9 一個向量組的所有最大線性無關組所含向量個數相同。
定義4.14 一個向量組A的最大線性無關組中所含向量的個數稱為該向量組的秩，記為r（A）。若向量組A只含有零向量，則規定A的秩為0。
定理4.9表明：向量組的秩由該向量組唯一確定，而與最大線性無關組的選取無關。不難看出，α1，…，αs線性無關的充要條件是它的秩與向量個數s相等；又若向量組A的秩為r，則向量組A中任意r個線性無關的向量所組成的部分向量組都是A的一個最大線性無關組。