複變函數與積分變換（簡體書）

《大學數學系列教材:復變函數與積分變換》可供高等學校工科各專業師生作為教材使用，也可供有關工程技術人員參考。

第一章 復數與復變函數
§1.1復數與復平面
§1.2復平面上的點集
§ 1.3復變函數
第二章解析函數
§2.1解析函數
§ 2.2初等函數
§2.3解析函數的物理意義
第三章復變函數的積分
§3.1復積分的概念
§3.2柯西（Cauchy）積分定理
§3.3柯西積分公式及其應用
§3.4調和函數
第四章解析函數的級數表示
§4.1復級數
§4.2冪級數
§4.3泰勒（Taylor）級數
§4.4洛朗（Laurent）級數
第五章留數理論
§5.1孤立奇點
§5 2留數定理
§5.3留數定理在實積分計算中的應用
第六章保形映射
§6.1保形映射的幾何意義
§6.2分式線性變換
§6.3初等函數構成的保形映射
第七章傅里葉變換
§7.1傅里葉（Fourier）積分
§7.2傅里葉變換
§7.3單位脈沖函數
第八章拉普拉斯變換
§8.1拉普拉斯（Laplace）變換的概念
§8.2拉普拉斯變換的性質
§8.3拉普拉斯變換的應用
附錄1傅里葉變換簡表
附錄2拉普拉斯變換簡表
參考文獻

容易看到，動點沿光滑曲線γ移動的方向有兩個，一條光滑曲線加上點的移動方向就成為有向光滑曲線或定向光滑曲線。
動點沿著一條光滑閉曲線γ移動有兩個相反的方向，其中一個方向是：當點順該方向沿γ前進時，γ的內部一直在γ的左側，即所謂的逆時針方向，稱為γ的正方向；另一個方向是：當點順該方向沿γ前進時，γ的內部一直在γ的右側，即所謂的順時針方向，稱為負方向。給定有向的逐段光滑曲線γ，通常用-γ表示與γ方向相反的逐段光滑曲線。
現在來看更一般的曲線，它們將在復變函數的積分中經常用到。
定義1.8逐段光滑曲線Г是由有限多條光滑曲線γ1，γ2，…，γn首尾相連而得到，并記Г=γ1+γ2+…+γn。逐段光滑的簡單閉曲線稱為圍線。
一條逐段光滑曲線的參數方程是它的各個光滑曲線分支的參數方程的簡單合并。若z=z（t），a≤t≤b是逐段光滑曲線Г=（γ1，γ2，…，γn）的一個參數表示，則存在區間【a，b】的一個分割，把【a，b】分割為n個子區間[τ0，τ1】，【τ1，τ2】，…，【τn-1，τn】，使得在每個子區間[τk-1，τk]上函數z（t）是光滑曲線γk的參數表示。
下面著名的若爾當（Jordan）曲線定理直觀地定義了簡單閉曲線的外部和內部（參見圖1.9）。
定理1.2任意一條簡單閉曲線都將平面分為兩個區域，且這兩個區域都以這條閉曲線為邊界。其中有界的區域稱為曲線的內部，無界的區域稱為曲線的外部。
若爾當曲線定理的證明比較困難，要用到拓撲學知識，在此略去。
根據簡單曲線的這個性質，可以區別區域的連通狀況。
定義1.9如果復平面上區域D內任意一條簡單閉曲線的內部都含于D內，則稱D為單連通區域；否則稱為多連通區域。
根據單連通區域和多連通區域的定義可知區域{z|Im（z）>0）為單連通區域，區域{z|r1<>
第八章 拉普拉斯變換
拉普拉斯（Laplace）變換是另一類重要的積分變換，拉普拉斯變換理論是在19世紀末發展起來的，首先是英國工程師赫維賽德（Heaviside）發明了用運算法解決當時電工計算中出現的一些問題，但是缺乏嚴格的數學論證。后來由法國數學家拉普拉斯給出了嚴格的數學定義，稱之為拉普拉斯變換方法。拉普拉斯變換對像原函數的要求比傅里葉變換要弱得多，因此對某些問題，它要比傅里葉變換適應面廣本章主要討論拉普拉斯變換的一些基本性質以及拉普拉斯逆變換的求解方法，并介紹它在求解線性微分方程等方面的應用。