算術探索（簡體書）

作者：（德國）高斯 譯者：潘承彪 張明堯

潘承彪，1938年生于江蘇省蘇州市，1960年畢業于北京大學數學力學系數學專業，1961年起在北京農業機化學院（后改名為北京農業工程大學、中國農業大學）工作，從1977年起同時在北京大學數學系工作。主要從事數學，特別是數論的教學科研工作。與胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析數論基礎》、《素數定理的初等證明》、《代數數論》、《初等數論》及《模形式導引》等。

張明堯，1945年12月生于山東省菏澤市，1967年畢業于安徽大學數學系，1981年獲得碩士學位后在安徽大學工作；1987年獲得博士學位后在中國科技大學工作；1994年調海南大學工作；1996年調上海華東理工大學工作。譯著有《數論中未解決的問題（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《純數學教程(紀念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代數論(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修訂者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。

本書所探索的內容是屬于數學中研究整數的那一部分，在大多數情形將不討論分數，而且從不涉及無理數（俄、德為“虛數”以后再加譯注）。通常所謂的不定分析或Diophantus分析，是討論從滿足一個不定方程的無窮多個解中去選出那些是整數或至少是有理數（通常還要求是正的）解的學問，它并不是徹底研究這一學科，而僅是這學科的十分特殊的一部分，它和這整個學科的關系差不多如同方程變形與解方程的學問（代數學）與整個分析學的關系一樣。這就是說，如同所有涉及數量及它們之間的關系的一般性質的研究屬于分析的領域一樣，整數（及分數——在它們由整數確定的意義下）是算術研究的真正對象。然而，因為通常所說的算術很難超出記數與計算的技巧（即以確定的形式來表示數，例如十進位表示，以及對其進行算術運算），同時它還常常包含這樣一些問題，它們或者與算術毫無關系（如對數理論），或者不僅對整數而且對任意的數量也有意義，所以這樣來區分這兩部份算術看來是適當的：把剛剛說到的這些稱為初等算術，而把所有關于整數間內在聯系的一般研究歸入高等算術。本書將只討論高等算術。
Euclid在其《幾何原本》的第七及其后幾卷中，以古人所固有的優美而又嚴格討論的論題就是屬于高等算術，不過這些內容僅可看做是這學科的一個導引。全部用于討論不定分析問題的Diphantus的名著包含了許多研究，由于它們的難度及他所用的精妙方法，特別是，考慮到只有很少的輔助工具可供他應用，這些研究激起了人們對作者的才智和洞察力的高度關注。然而，因為對這些問題要求創新性和靈巧性甚于需要深刻的原理。此外，這些問題過于特殊以及很難導致更為普遍性的結論，所以，把這本書看做是開創了一個數學迅速發展的時代，是由于它本身記錄了代數學所特有的巧妙技巧的最早蹤跡，而不是由于它以新的發現豐富了高等算術。主要的是由于近期的研究，雖然確實不多，但贏得了永恒的聲譽，它們是屬于P.de Fermat，L.Euler，L.Lagrange及A.M.Legendre（以及另外少數幾位），我們應當感謝他們開啟了通向這一神圣科學寶藏的入口，并揭示了它所蘊含的寶藏是何等豐富。但是，我不再在這里列舉這些學者的一個又一個發現，因為它們可在Lagrange為Euler的《代數學》所加的附錄的前言中，及Legendre最近的著作（我將立刻提到它）中找到；此外，這些發現中的許多也將在本書的相應之處加以引述。
本書的目的是介紹我在高等算術領域所做的探索與研究，早在五年前我就允諾要出版這本書，現在它包括了我在早前及在這一段時間所做的兩部份工作。為了避免有人感到奇怪，為什么本書的內容要追溯到許多最簡單的原理，而且還要重新討論許多已被其他人卓有成效地研究過的結果，我在此必須向讀者說明：當我在1795年初開始轉向這種探索時，我并不知道這一領域中近期的這些最新發現，同時用于得到我自己的結果的方法技巧都是我自己想出來的。事情是這樣的，在從事其它工作時我偶然發現了一個極不尋常的正確的算術命題（如果我沒有記錯的話，這就是本書第108目所說的那個定理），因為我認為不僅它本身是這樣的漂亮，而且感覺到它還會與其他著名的重要結論有聯系，所以我把自己的全部精力集中于去搞清楚它所依賴的原理并給出嚴格的證明。當我在這方面最后取得成功后，我就被這些問題所深深地吸引而一發不可收拾了。這樣一來，在我接觸到其他學者的類似研究工作之前，我就已經得到了一個又一個結論，從而完成了本書前四篇所介紹的絕大多數內容。最后，當我有可能拜讀這些天才人物的著作后，我才認識到我所深入思考的大部分內容都是早已知道的東西。但是，這只是更增加了我的興趣，并努力嘗試沿著他們的足跡進一步去發展算術。這就產生了不同的研究，其中的部分結果已被安排在第五、第六和第七篇中。稍后，我開始考慮發表我努力所得的這些成果，并說服自己不要刪去任何早期研究所得的成果，這是因為，首先，在那時還沒有一本書把其他學者的工作收集在一起，而這些工作只是散見于一些學術研究機構的會報紀事中；其次，這些研究中的多數結果是全新的，且其中大多數結果還是用新方法討論的；最后，所有的結果之間有著如此密切的聯系，以致于如果不從一開始就重提前面的某些工作，后面的新成果就難以充分闡述清楚。
就在這時，出現了當時已經在高等算術領域做出了巨大貢獻的Legendre的杰出著作《數論（Essai d'une théorie des nombres，Paris，a.VI）》，書中他不僅把到當時所發現的所有結果都收集在一起并加以系統整理，而且添加了許多他本人的新結果。因為我過晚才見到這本書，當看到它時本書的大部分書稿已經完成并交給了出版商，所以當討論類似的問題時，我就沒有機會處處提到它了。只是對該書的我認為是必要的若干部分在補記中給出某些注記，我期望這位通情達理的學者不會不注意到這些并以他的寬容和真誠對此給予善意的理解。（按法文本））
本書的出版在超過四年的時間里遇到了許多阻礙。在這一段時間里，我不僅進一步繼續過去已經開始進行的研究（當時為了避免本書篇幅過大，決定分離出這些研究，準備在另外的地方發表），而且也從事許多新的研究。此外，有許多我過去只是稍有觸及而當時覺得似乎不必詳細討論的問題（例如，第37目，第82目及其后各目和其他的若干目）也得到了進一步發展，并導致一些看來是值得發表的更一般的結論（參見補記中關于第306目的注記）。最后，主要由于第五篇的內容使本書的篇幅變得大大超出我原來的預期，使我只得削減了最初打算寫的不少內容，特別是刪去了整個第八篇（在本書的若干處已經提到了該篇，它包含了任意次代數同余方程的一般討論（俄））。在條件允許時，我將盡早地發表所有這些研究成果，它們容易構成與本書篇幅相當的一本書。
在多處困難的討論中，我采用了綜合性證明，且隱匿了導致這樣的證明的分析，這樣做主要是由于簡潔性的要求，而這是我盡可能地力求做到的。
第七篇討論的是分圓理論或正多邊形理論，它本身不屬于算術，但所涉及的那些原理無疑是唯一地依屬于高等算術的。或許這會出乎數學家們的意料，但我希望他們對從這樣的討論導出的這些新結論會同樣地感到高興。
以上就是我要請讀者注意的一些事情。至于此書本身的價值，不是我應加以判斷的。我最大的愿望是，它會使得那些關心科學發展的人士感到高興，不論是由于本書所提出的解法正是他們所一直尋求的，還是由于它開創了通向新探索的途徑。