線性代數（簡體書）

《普通高等院校"十二五"規劃教材:線性代數》可作為高等院校理工類、經管類專業本科生的線性代數教材，也可作為學生
參加全國碩士研究生入學統一考試的數學復習參考用書。

第1章行列式
1.1二階與三階行列式
1.1.1二元線性方程組與二階行列式
1.1.2三元線性方程組與三階行列式
1.2排列
1.3n階行列式的定義
1.3.1n階行列式的定義
1.3.2幾類特殊的行列式
1.4行列式的性質
1.5行列式按行（列）展開
1.6克萊姆法則
1.6.1非齊次線性方程組
1.6.2齊次線性方程組
1.7行列式的幾何應用
1.7.1二階行列式的幾何解釋
1.7.2三階行列式的幾何解釋
1.7.3行列式的若干幾何應用
習題
第2章矩陣
2.1矩陣的概念
2.1.1矩陣的概念
2.1.2特殊矩陣
2.2矩陣的運算
2.2.1矩陣的加法
2.2.2矩陣的數乘
2.2.3矩陣的乘法
2.2.4轉置矩陣
2.2.5共軛矩陣
2.2.6方陣的行列式
2.3逆矩陣
2.3.1逆矩陣的概念
2.3.2伴隨矩陣
2.4分塊矩陣
2.4.1分塊矩陣的概念
2.4.2分塊矩陣的加法
2.4.3分塊矩陣的數乘
2.4.4分塊矩陣的乘法
2.4.5分塊對角矩陣的逆矩陣
2.4.6分塊矩陣的轉置
2.4.7對角矩陣和反對稱矩陣
2.4.8分塊矩陣的共軛
2.5矩陣的初等變換
2.5.1矩陣的秩
2.5.2初等變換與初等矩陣
2.5.3初等變換與逆矩陣
2.5.4初等變換與矩陣的秩
習題
第3章向量組的線性相關性
3.1n維向量及其線性運算
3.1.1n維向量的概念
3.1.2n維向量的線性運算
3.2向量組的線性相關性
3.2.1向量組與線性組合
3.2.2向量組的線性相關性
3.2.3向量組的線性相關性的判斷及其性質
3.3向量組的秩
3.3.1向量組的最大無關組
3.3.2向量組的秩
3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的關系
3.4向量空間
3.4.1向量空間概述
3.4.2子空間
3.4.3向量空間的基與維數
3.4.4向量在給定基下的坐標
3.5應用實例
習題
第4章線性方程組
4.1用消元法解線性方程組
4.2線性方程組有解的判別定理
4.3線性方程組解的結構
4.3.1齊次線性方程組的解的結構
4.3.2非齊次線性方程組的解的結構
4.4線性方程組的應用
4.4.1網絡流模型
4.4.2人口遷移模型
4.4.3電網模型
4.4.4經濟系統的平衡
4.4.5配平化學方程式
習題
第5章相似矩陣與二次型
5.1向量的內積、長度及正交性
5.1.1向量的內積
5.1.2正交向量組
5.1.3線性無關向量組的正交化方法
5.1.4正交陣
5.2方陣的特征值和特征向量
5.2.1特征值和特征向量的概念
5.3.2特征值和特征向量的性質
5.3相似矩陣
5.3.1相似矩陣
5.3.2矩陣可與對角陣相似的條件
5.4對稱陣的對角化
5.4.1對稱陣的特征值和特征向量
5.4.2對稱陣的相似對角化
5.5二次型及其標準型
5.5.1二次型及其矩陣表示式
5.5.2用正交變換化二次型為標準形
5.6正定二次型
5.7若干應用問題
5.7.1離散動態系統模型
5.7.2矩陣對角化在分析中的應用
5.7.3正定矩陣的應用
習題
第6章線性空間與線性變換
6.1線性空間的定義與性質
6.1.1線性空間的定義
6.1.2線性空間的性質
6.2維數、基與坐標
6.2.1基與維數定義
6.2.2坐標的定義
6.2.3線性空間的同構
6.3基變換與坐標變換
6.3.1基變換公式與過渡矩陣
6.3.2坐標變換公式
6.4線性變換
6.4.1映射
6.4.2從線性空間Vn到Um的線性變換
6.4.3線性變換的性質
6.5線性變換的矩陣表示式
6.5.1線性變換的標準矩陣
6.5.2線性變換在給定基下的矩陣
6.5.3線性變換與其矩陣的關系
6.5.4線性變換在不同基下的矩陣
習題
參考文獻

4.4線性方程組的應用
本節中的數學模型都是線性的，即每個模型都用線性方程組來表示，通常寫成向量或矩陣的形式。由于自然現象通常都是線性的，或者當變量取值在合理范圍內時近似于線性，因此線性模型的研究非常重要。此外，線性模型比復雜的非線性模型更易于用計算機進行計算。
4.4.1網絡流模型
網絡流模型廣泛應用于交通、運輸、通信、電力分配、城市規劃、任務分派以及計算機輔助設計等眾多領域。當科學家、工程師和經濟學家研究某種網絡中的流量問題時，線性方程組就自然產生了，如城市規劃設計人員和交通工程師監控城市道路網格內的交通流量、電氣工程師計算電路中流經的電流、經濟學家分析產品通過批發商和零售商網絡從生產者到消費者的分配等。大多數網絡流模型中的方程組都包含了數百甚至上千未知量和線性方程。
一個網絡由一個點集以及連接部分或全部點的直線或弧線構成。網絡中的點稱作連接點（或節點），網絡中的連接線稱作分支。每一分支中的流量方向已經指定，并且流量（或流速）已知或者已標為變量。
網絡流的基本假設是網絡中流人與流出的總量相等，并且每個連接點流入和流出的總量也相等。例如，圖4—1分別說明了的流量從一個或兩個分支流入連接點，x1，x2和x3分別表示從其他分支流出的流量，x4和x5表示從其他分支流入的流量。因為流量在每個連接點守恒，所以有x1+x2=60和x4+x5=x3+80。在類似的網絡模式中，每個連接點的流量都可以用一個線性方程來表示。網絡分析要解決的問題就是：在部分信息（如網絡的輸入量）已知的情況下，確定每一分支中的流量。
例4—11 圖4—2中的網絡給出了在下午一兩點鐘，某市區部分單行道的交通流量（以每刻鐘通過的汽車數量來度量）。試確定網絡的流量模式。
解 根據網絡流模型的基本假設，在節點（交叉口）A，B，C，D處，可以分別得到下列方程：
此外，該網絡的總流入（20+30+50）等于網絡的總流出（30+x3+40+10），化簡得x3=20。把這個方程與整理后的前四個方程聯立，得如下方程組：
網絡分支中的負流量表示與模型中指定的方向相反。由于街道是單行道，因此變量不能取負值。這導致變量在取正值時也有一定的局限。