數學分析中的問題、方法與實踐（簡體書）

《數學分析中的問題、方法與實踐》可作為高等學校理科數學系學生學習數學分析的參考書和教師備課的良師益友。

第一部分問題篇
一、分析引論
（一）函數
（二）極限
（三）連續函數與實數連續性
二、一元函數微分學
（一）導數與微分
（二）中值定理及應用
三、一元函數積分學
（一）原函數、不定積分及其計算
（二）定積分的定義與可積準則
（三）定積分的性質
（四）微積分學基本定理和定積分的計算與應用
四、級數（包括廣義積分）
（一）數項級數及其收斂性
（二）函數項級數
（三）無窮積分
五、多元函數微分學
（一）多元函數的極限與連續
（二）多元函數微分學
（三）隱函數定理及應用
六、多元函數積分學
（一）重積分
（二）線積分與面積分
（三）含參量積分
第二部分方法篇
一、證明方法
（一）一元微積分
1.證明數列極限
2.證明函數極限
3.函數連續性及其性質的應用
4.微分中值定理型命題的證明
5.函數可積性證明方法
（二）級數理論
1.數項級數收斂性的判別
2.函數項級數
3.冪級數
4.級數的和函數性質
5.Fourier級數
二、計算方法
1.一元函數極限的計算
2.一元函數導數的計算
3.用微分中值定理估計
4.一元函數的不定積分、定積分的計算
5.和函數的計算
6.多元函數極限的計算
7.多元函數微分法
8.三重積分的計算
9.曲線積分與曲面積分
第三部分實踐篇
一、相關結論的應用
（一）介值定理的應用
（二）導數在經濟分析上的應用
1.邊際與邊際分析
2.彈性與彈性分析
3.經濟學中的最優值問題
（三）導數的其他應用例子
二、天津工業大學碩士研究生《數學分析》入學考試部分試題
三、習題
四、部分答案
參考文獻

若|f（x）|與f2（x）在點x0連續，f（x）在x0點不一定連續
注：不連續函數的構造是數學分析中比較難的知識點，這一點要好好掌握，為以后微積分的學習，甚至是實變函數的學習打下基礎
[例2]按定義證明函數f（x）=|x|在其定義域內連續
證明 顯然f（x）的定義域為（—∞，+∞），對其定義域上任一點x0，∨θ>0，取δ=ε，當|x—x0|<><δ=ε，故lim|x|=|x0|，從而f（x）在x0連續，由xn的任意性知，f（x）在其定義域內連續>
[例3]設f（x）在區間[a，b]上有定義，x0∈（a，b），令w（f，x0，r）=supr>0，那么f（x）在點x0連續的充要條件是limw（f，x0，r）=0.
證明（）由f（x）在x0點連續知，對∨θ>0，δ>0，使得對∨x∈（x0—δ，x0+δ），有|f（x）—f（x0）|<ε><><δ時，>
2）用Heine定理
Heine定理（又稱歸結原則）：設f（x）在x0的某空心領域O0（x0）有定義，則limf（x）存在的充要條件是：對任何以x0為極限且含于O0（x0）的數列{xn}，極限limf（x）都存在且相等，
方法：Heine定理是溝通函數極限和數列極限之間的橋梁，根據Heine定理，求函數極限則可化為求數列極限，同樣求數列極限也可轉化為求函數極限，因此，函數極限的所有性質都可用數列極限的有關性質來加以證明，根據Heine定理的必要重要條件還可以判斷函數極限是否存在，所以在求數列或函數極限時，Heine定理起著重要的作用，Heine定理是德國數學家Heine給出的，應用Heine定理人們可把函數極限問題轉化（歸結）成數列問題，因而人們又稱它為歸結原則。
[例4]證明：limf（x）=A的充要條件是對任何數列。
[例5] 設定義在R上的函數f（x）在0，1兩點連續，且對任何x∈R有f（x2）=f（x），證明f（x）為常量函數。