假如點系中任一點在這系中作所有的對稱運動，則依照規定正則點系的第三個性質，從這點可得出系中所有的其他各點。另一方面，從對稱運動的定義又可知道，點系中沒有一個點可以變換到不屬于本系中的另一點。否則運動就不會使點系不變。一般地說，兩個點在一已知變換群之下稱為等價的，如果其中的一點可由其他一點經過屬于該群的一個變換得到。由此可知，正則點系是由在對稱變換群之下與一已知點等價的所有點組成的。于是，根據正則點系的第二個性質，即知在任一有限區域內，一正則點系只有有限個等價點。一個變換群，若是在任一有限的區域內，對于這個變換群來說只有有限個點與一已知點等價，這樣的變換群，叫做不連續群。這樣說來，一點系的對稱運動必作成一不連續群。或許有人認為，可能有不屬于系中的一點，它在有限區域內，與無窮多的點等價。但是，直觀上容易看出，也不難嚴格證明，如果是這樣的話，在一有限區域內將有無窮多的點與一正則點系中的一點等價，這就引出矛盾。
因此一正則點系的所有的對稱運動群要在平面和空間的不連續運動群中去找，從而所有的正則點系要在不連續的運動群中跟某一點等價的點組中去找。這種辦法似乎很迂回，其實這種辦法正可以使點系的研究大為簡化。因為，可以證明，在平面上或空間里實質上只有有限個不同的不連續群。
如果我們研究一下在這有限的幾種不同類型的群里與一已知點等價的點組，可知規定點系的第二個和第三個性質永遠適合。但是有一些群，它們產生的點組不適合第一個性質；所以我們必須把這樣的群除掉。其余的群，而且只有這樣的群，才產生正則點系。凡是可以導出正則點系的不連續的運動群統叫做晶體群，這是因為在結晶學上這一類的群特別重要。
下一節我們將講講如何建立不連續群，但只講平面的情形；至于空間的情形，因為牽涉面太廣，非本書所能談及。即使是講平面的不連續運動群，也相當復雜。雖然如此，我們還要詳細地研究一番，因為這種研究的方法，對于空間也是很典型的。
10.平面運動及其合成；平面不連續運動群的分類
平面到平面自身的映射，如果最后的位置可由初始的位置經過連續運動得到，這里的平面認為是一個剛體，而且平面上一切點所走的路線還在平面自身上，則稱為平面運動。不過，下面我們講平面運動時，只問起訖位置而不問過程中實際走過的路線是什么。當然，可以有種種不同的路線，甚至有時離開了平面，或者中途變形而最后又恢復原狀了。
