數學分析教程(上)（簡體書）

《普通高等教育“十二五”規劃教材：數學分析教程（上冊）》是供綜合性大學和師範院校數學類各專業本科一、二年級學生學習數學分析課程的一部教材，分上、中、下三冊，本冊為上冊，講授極限和一元函數的微分學，內容包括實數的性質、數列的極限、一元函數的極限和連續性、一元函數的導數及其應用、不定積分等。附錄A介紹了實數的公理化定義。
《普通高等教育“十二五”規劃教材：數學分析教程（上冊）》對傳統數學分析教材的編排做了一些與時俱進的改革，內容做了適當縮減和增補，除了如傳統教材一樣重視對基礎知識和基本技巧的傳授外，也增加了一些分析學的新內容。《普通高等教育“十二五”規劃教材：數學分析教程（上冊）》講解十分清晰、淺顯易懂，配有充足的例題和習題，並對數學分析各個組成部分的來龍去脈和歷史發展有清楚並且引人入勝的介紹，不僅適合教師課堂講授，也很適合學生自學使用。

《普通高等教育"十二五"規劃教材:數學分析教程(上冊)》對傳統數學分析教材的編排做了一些與時俱進的改革，內容做了適當縮減和增補，除了如傳統教材一樣重視對基礎知識和基本技巧的傳授外，也增加了一些分析學的新內容，《普通高等教育"十二五"規劃教材:數學分析教程(上冊)》講解十分清晰、淺顯易懂，配有充足的例題和習題，并對數學分析各個組成部分的來龍去脈和歷史發展有清楚并且引人人勝的介紹，不僅適合教師課堂講授，也很適合學生自學使用。

數學分析是大學數學系最基礎和最重要的一門課程，數學專業的許多後續課程，如常微分方程、複變函數、微分幾何、偏微分方程（又名數學物理方程）、實變函數、泛函分析、概率論等，都是在數學分析課程的基礎上展開的，因此，學好這門課程，對於數學類各專業的每一位學生，都是十分重要的。
本書是作者根據多年講授數學分析課程的經驗，在對部分講稿進行整理和擴充的基礎上編寫而成的。讀者對象主要為綜合性大學數學類各專業的本科生，也適用於師範院校、工科院校數學類各專業的本科生。此外，也可用作運用微積分知識比較多的其他專業，如力學、理論物理、氣象等專業的本科生學習數學分析和高等數學課程的參考書。考慮到我國改革開放30多年來中學教育水平己大幅度提高，因而大學新生都已有相當好的中學數學知識，我們對傳統數學分析教材的編排做了一些改革，內容做了適當縮減和增補。對此做以下說明：
對實數和極限理論，本書不像傳統教材那樣採取對極限理論在課程一開始僅做初步的介紹，等到學習完一元微積分的基本理論之後再詳細討論實數域的完備性進而更深入地討論極限理論這樣分兩步走的方式處理，而是採取了開門見山、一步到位的方式，在課程一開始就直接討論實數的基本性質，以學生比較容易接受的方式引出刻畫實數域完備性的戴德金原理，並從這一原理出發推導出確界原理，然後在緊接著的一章全面透徹地講述數列的極限理論。

目錄
前言
第1章實數域和初等函數1
1.1實數的運算與序1
習題1.1 4
1.2實數域的完備性6
1.2.1完備性的含義6
1.2.2戴德金原理7
1.2.3確界原理10
習題1.2 12
1.3初等函數13
1.3.1幕的定義13
1.3.2幕函數與指數函數16
1.3.3對數的存在性和對數函數18
1.3.4三角函數和反三角函數20
1.3.5初等函數25
習題1.3 27
第2章數列的極限29
2.1數列極限的定義29
2.1.1數列的概念29
2.1.2數列的極限及其定義30
2.1.3例題34
2.1.4用邏輯語言表達極限定義38
習題2.1 41
2.2數列極限的性質42
習題2.2 48
2.3趨於無窮的數列和三個記號50
2.3.1趨於無窮的數列50
2.3.2三個記號52
習題2.3 58
2.4幾個重要的定理59
2.4. 1單調有界原理59
2.4.2一個重要的極限62
2.4.3區間套定理63
2.4.4列緊性原理64
2.4.5柯西收斂準則65
習題2.4 67
2.5土極限和下極限70
習題2.5 75
第3章函數的極限和連續性78
3.1函數的極限78
3.1.1函數極限的定義78
3.1.2函數極限的性質與運算82
3.1.3複合函數的極限85
3.1.4與數列極限的關係87
習題3.1 89
3.2函數的極限（續） 91
3.2.1單側極限和x趨於無窮時的極限91
3.2.2兩個重要的極限94
3.2.3無窮小量和無窮大量及其階的比較96
習題3.2 98
3.3函數的連續性101
3.3.1函數連續性的定義101
3.3.2連續函數的運算106
3.3.3間斷點的分類107
3.3.4兩個例子108
習題3.3 110
3.4連續函數的性質112
3.4.1閉區間土連續函數的基本性質112
3.4.2閉區間土連續函數的一致連續性116
習題3.4 120
第4章函數的導數122
4.1導數的定義122
4.1.1導數概念的引出122
4.1.2導數的定義125
4.1.3可導必連續130
4.1.4導數的四則運算131
習題4.1 133
4.2複合函數與反函數的導數135
4.2.1複合函數的導數135
4.2.2反函數的導數137
4.2.3基本的求導公式139
4.2.4隱函數的導數140
4.2.5對數求導法141
4.2.6由參數方程所確定曲線的切線斜率142
習題4.2 143
4.3函數的微分146
4.3.1微分的定義146
4.3.2微分與導數的關係149
4.3.3微分的運算法則150
4.3.4微分的幾何意義和在近似計算中的應用152
習題4.3 154
4.4高階導數155
4.4.1高階導數155
4.4.2萊布尼茨公式159
4.4.3隱函數的高階導數161
4.4.4高階微分163
習題4.4 164
4.5向量函數的導數166
習題4.5 171
第5章導數的應用174
5.1微分中值定理174
習題5.1 179
5.2洛必達法則182
習題5.2 190
5.3利用導數判定兩個函數相等191
習題5.3 197
5.4函數的增減性與極值198
5.4.1函數增減性的判定198
5.4.2函數達到極值的充分條件202
5.4.3極值問題的應用舉例203
習題5.4 206
5.5函數的凸凹性208
5.5.1凸函數和凹函數208
5.5.2利用導數判別函數的凸凹性211
5.5.3詹森不等式及其應用214
習題5.5 216
5.6泰勒公式218
習題5.6 226
5.7方程求根的牛頓迭代公式229
習題5.7 233
5.8函數的作圖234
習題5.8 240
第6章不定積分241
6.1原函數與不定積分241
習題6.1 244
6.2換元積分法和分部積分法245
6.2.1第一換元積分法245
6.2.2第二換元積分法247
6.2.3分部積分法250
習題6.2 254
6.3幾類初等函數的積分257
6.3. 1有理函數的積分257
6.3.2三角函數有理式的積分261
6.3.3某些無理函數的積分265
習題6.3 268
附錄A關於實數的進一步討論271
附錄B把有理真分式表示為最簡分式之和285
綜合習題287
參考文獻303