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從切比雪夫到愛爾特希(上)：素數定理的初等證明（簡體書）
商品資訊
ISBN13：9787560339177
出版社：哈爾濱工業大學出版社
作者：潘承彪
出版日：2014/02/01
裝訂／頁數：精裝／221頁
規格：23.5cm*16.8cm (高/寬)
版次：1
商品簡介
名人推薦
目次
書摘/試閱
商品簡介
《從切比雪夫到愛爾特希--素數定 理的初等證明(上)(精)》主要介紹素數定理的七個初 等證明以及與之有關的切比雪夫不等式、Mertens定 理、素數定理的等價命題、Riemann Zeta函數、幾個 Tanber型定理、L空間中的Fourier變化、Wiener定 理、素數定理的推廣等。通過學習本書，對于了解數 學各分支之間的相互聯系，提高觀察問題、分析問題 和解決問題的能力，以至對素數定理作進一步的研究 ，是很有裨益的。
《從切比雪夫到愛爾特希--素數定理的初等證明 (上)(精)》可供大學數學專業的師生，數學工作者及 數學愛好者參考。
《從切比雪夫到愛爾特希--素數定理的初等證明 (上)(精)》可供大學數學專業的師生，數學工作者及 數學愛好者參考。
名人推薦
《從切比雪夫到愛爾特希(上)》可供大學數學專業的師生，數學工作者及數學愛好者參考。
目次
第一章 素數定理的歷史
§1 符號D及《
§2 素數定理的歷史
§3 數論函數[x]
第一章 習題
第二章 Chebyshev不等式
§1 素數有無窮多個
§2 算數基本定理
§3 幾乎所有的自然數都不是素數
§4 chebyshev不等式
§5 chebyshev函數θ(x)和ψ(x)
§6 Mobius變換
§7 ψ(x)的基本性質
§8 chebyshev不等式的另一證明
第二章 習題
第三章 Mertens定理
§1 Abel恒等式及其應用
§2 Mertens定理
§3 chebyshev定理
§4 實變量的函數
§5 常數的確定
第三章 習題
第四章 素數定理的等價命題
§1 命題(A)與素數定理等價
§2 命題(A)與命題(B)等價
§3 命題(c)與素數定理等價
第四章 習題
第五章 第一個證明
§1 證明的想法
§2 selberg不等式
§3 問題的轉化
§4 定理的證明
第五章 習題
第六章 第二個證明
§1 證明的途徑
§2 余項a(x)的初步討論
§3 b(x)及h(x)的selberg型不等式
§4 b(x)和h(x)之間的關系
§5 b(x)的進一步討論
§6 h(x)的估計
§7 §1定理2的證明
第六章 習題
第七章 第三個證明(簡介)
§1 Dirchlet卷積
§2 廣義Dirchlet卷積
§3 映射類□h,n
§4 Tf的計算
§5 Sf的計算與映射類□h,n
§6 一般的selberg不等式
§7 證明概述
第七章 習題
第八章 Riemann zeta函數
§1 定義與基本性質
§2 解析開拓
§3 □(1+it)≠0
§4 在直線σ=1附近的估計
第八章 習題
第九章 幾個Tauber型定理
§1 兩個最簡單的定理
§2 Hardy-Littlewood定理
§3 關于權函數kλ(x)的Tauber型定理
§4 Ikehara定理
§5 素數定理的等價命題
第九章 習題
第十章 第四個證明
§1第四個證明
§2 素數定理成立的必要條件
第十章 習題
第十一章 第五個證明
§1 兩個復變積分
§2 兩個關系式
§3 Fourier變換
§4第五個證明
§5 余項估計
第十一章 習題
第十二章 第六個證明
§1 Mellin變換
§2第六個證明
第十二章 習題
第十三章 L空問中的Fourier變換
§1 基本性質
§2 反轉公式
§3 卷積及其Fourier變換
§4 Fourier變換空間F
第十四章 Wiener定理與第七個證明
§1 Wiener定理
§2第七個證明
第十四章 習題
第十五章 素數定理的一個推廣
編輯手記
書摘/試閱
以上結果都是用高深的方法得到的，不屬于初等證明的范圍，我們僅作簡略的介紹，本書也不討論這些方法和結果，
初等的復變函數論的證明 自從Hadamard和de la Vallee Poussin證明了素數定理之后，人們一直在尋求一個較為簡單的證明。這方面有Landau，Hardy —Littlewood等人的工作。這種類型的證明要用到的知識是：復變函數論的Gauchy積分定理；把ζ（s）解析開拓到Res>0，ζ（1+it）≠0，ζ（s）在半平面Res≥1上的有關階估計；以及某種類型的Tauber型定理（為了建立素數定理的等價命題，而這種命題較易證明）。本書第十一、第十二章就給出了兩個這種類型的證明。第八章討論了所需要的∈函數的性質，第九章的1及2給出了相應的Tauber型定理。應該指出的是：用到的ζ函數的階估計的結果愈弱，則需要的Tauber型定理就愈強。
直到最近用這種方法僅能證明不帶余項的素數定理。1981年，Ciiek利用第十一章的證明方法，結合熟知的Fourier變換的性質（見第十一章3），很容易的證明了如下形式的帶余項估計的素數定理：
對任意正數A>1，有
π（x）=Lix+0（x（1nx）—A） （37）
（見第十一章5定理1）。這一定理最初是由Wirsing和Bombieri用很復雜的初等方法得到的。
Wiener的貢獻 以上的證明都需要用到Cauchy積分定理和較多的ζ（s）的性質。Wiener首先利用他的一般形式的Tauber型定理（見第十四章1定理2），不用Cauchy定理，以及僅需要性質ζ（1+it）≠0（不需要任何階的估計），證明了素數定理。由于他的工作使人們看到素數定理實質上等價于
ζ（1+it）≠0 （38）
（必要性的證明見第十章2定理1）。由于這里不需要Cauchy定理，所以實質上是給出了一個實分析的證明。應該指出，這里用到了實變函數論和L空間中的Fourier變換（見第十三章）等很深刻的實分析知識。
他的證明后來為Ikehara，Bochner，Landau和Ingham等人所簡化和改進，本書將給出Ikehara的證明（見第九章4定理1及第十章）以及Ingham的證明（見第十四章2定理1）。利用Ikehara的方法，Ciiek也證明了形如（37）的素數定理。
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