泛函分析引論（簡體書）

泛函分析興起于20世紀20年代，它是從變分法、數學物理方程、函數論等研究中發展起來的一門重要的獨立學科。當時人們試圖用統一的數學觀點來闡述白19世紀以來取得的重大數學成果，并考慮將之從有窮維歐氏空問推廣到無窮維抽象空間中去。此外，對量子力學方面的一些相關數學問題的研究也推動了泛函分析的形成和發展。1932年，波蘭數學家Bartact·出版了第一部泛函分析專著，開啟了泛函分析學科化的先河。
線性泛函分析的基本理念是通過各種映射來探尋兩個拓撲線性空間之間的關系，其主要特點是運用幾何與代數的思想方法研究分析學方面的相關課題，因此可以看作是無窮維的分析學。泛函分析以其他數理學科所提供的研究思路和成果來不斷提取出自己的研究課題，并形成了許多重要分支；廣泛應用于概率論、計算數學、量子物理、控制論、最優化理論等學科中，強有力地推動了科學的發展。
本書是一部關于泛函分析的入門教材，主要面向高校數學系本科生及工科研究生，內容包含了線性泛函分析中的基礎知識和理論，本書關注有窮維空間相關定理在無窮維空間的推廣及應用，力求以最簡明的方式去闡述其中最為核心的內容，并更加接近科學研究中的實際應用。本書與已有的泛函分析教材在內容的處理方面主要有以下幾個不同：①關于度量空間的完備化，是通過把它嵌入到一個完備空間從而得到完備化空間的存在性，這樣省去了學生對經典的完備化構造過程理解的困難。②指出了開映像定理、閉圖像定理、逆算子定理、范數等價定理的等價性，幫助學生更好的理解這些重要的定理。⑧證明凸函數控制的線性泛函的延拓定理，將次線性泛函的延拓定理作為推論，不但簡化了證明，而且擴大了定理的應用范圍。④對應用中很重要的Let)esgtle函數空間的一致凸性作了詳細的介紹，由此給出Lebesglle函數空間的對偶空間。⑤對無窮維空間上的微分理論和凸分析做了簡單的介紹。這些內容將會促使學生繼續學習現代數學的最新內容。
全書共分為3章。
第1章介紹度量空間的相關概念和性質，這是學習泛函分析需要的預備知識，其中包括完備賦范線性空間(：Ba。nach空間)、完備內積空間(Hilbert空間)、不動點定理以及應用等。
第2章講解各類算子，特別是有界線性算子和線性泛函，介紹了Riesz定理、開映像定理、共鳴定理、Hahn—Banach定理等一系列線性泛函分析中經典而重要的成果。
第3章論述了線性算子的譜的基本理論，特別是對緊算子的譜性質進行了較大篇幅《闡述。
全書的符號多是通用的，為了方便讀者，向量在許多地方用黑體表示，但是在不至于混淆的地方也未用黑體表示，特別地，0可能表示數字零，零向量，零函數。讀者是容易分辨它們在不同情況下的含義的。符號(。，。)表示內積也可能表示泛函對元素的作用。
本書是作者在多年給本科生、數學教育碩士和特崗碩士的授課講義的基礎上修改而成的。在此感謝同學們在學習過程中給我們提出的一些建議。由于作者水平有限，書中難免出現一些問題和疏漏，希望讀者能不吝指出其中的不足之處，在此不甚感激。本書部分地得到國家自然科學基金(11226167，11361020)，海南省自然科學基金(113004)和海南師范大學自編教材計劃的資助，同時感謝他們的支持，最后也要特別感謝機械工業出版社編輯同志們的幫助和支持。