解析幾何（簡體書）

前言
符號說明
第1章　向量與坐標
1．1　向量的定義、加法及數乘
1．1．1　向量的定義
1．1．2　向量的加減法
1．1．3　數乘
1．2　向量組的線性相關性
1．2．1　線性相關與共線、共面
1．2．2　應用和例子
1．3　標架與坐標
1．3．1　向量和點的坐標
1．3．2　用坐標作向量的線性運算
1．4　數量積
1．4．1　數量積的定義和性質 前言
符號說明
第1章　向量與坐標
1．1　向量的定義、加法及數乘
1．1．1　向量的定義
1．1．2　向量的加減法
1．1．3　數乘
1．2　向量組的線性相關性
1．2．1　線性相關與共線、共面
1．2．2　應用和例子
1．3　標架與坐標
1．3．1　向量和點的坐標
1．3．2　用坐標作向量的線性運算
1．4　數量積
1．4．1　數量積的定義和性質
1．4．2　用坐標計算數量積
1．4．3　方向角和方向余弦
1．5　向量積
1．5．1　向量積的定義和性質
1．5．2　用坐標計算向量積
1．6　混合積和雙重向量積
1．6．1　混合積的定義和性質
1．6．2　用坐標計算混合積．
1．6．3　雙重向量積的定義和計算
補充材料：極坐標與方程
第2章　平面與直線
2．1　F面方程
2．1．1　面的點位式方程
2．1．2　F面的一般方程
2．1．3　xF面的點法式方程
2．2　直線方程
2．2．1　直線的點向式方程
2．2．2　直線的一般方程
2．3　線、面間的位置關系
2．3．1　兩平面的位置關系
2．3．2　兩直線的位置關系
2．3．3　直線與平面的位置關系
2．4　點、線、面間的距離
2．4．1　點到直線的距離
2．4．2　點到平面的距離
2．4．3　兩直線間的距離
2．5　線、面間的夾角
2．5．1　直線與直線的夾角
2．5．2　直線與平面的夾角
2．5．3　面與平面的夾角
2．6　F面束
閱讀材料：幾何學
第3章　常見衄面
3．1　曲面與空間曲線
3．1．1　曲面的方程
3．1．2　空間曲線的方程
3．2　柱面與投影曲線
3．2．1　柱面的定義和方程
3．2．2　與坐標軸平行的柱面
3．2．3　圓柱面
3．2．4　投影柱面和投影曲線
3．3　錐面和旋轉曲面
3．3．1　錐面的方程
3．3．2　旋轉曲面的方程
3．4　二次曲面
3．4．1　橢球面
3．4．2　雙曲面
3．4．3　拋物面
3．5　直紋面
3．5．1　直紋面的定義
3．5．2　直紋面的判定
3．6　作簡圖
3．6．1　坐標系常用的三種畫法
3．6．2　作簡圖的步驟
實踐材料：幾何模型的制作
第4章　二次曲面的分類
4．1　坐標變換
4．1．1　平面坐標變換
4．1．2　空間坐標變換
4．1．3　本章的主要結果
4．2　二次曲面的漸近方向和中心
4．2．1　二次曲面的漸近方向
4．2．2　二次曲面的中心
4．3　二次曲面的對稱面與主徑面
4．3．1　徑面與奇向
4．3．2　主徑面和主方向
4．4　二次曲面的化簡與分類
4．5　二次曲面的切線與切平面
閱讀材料：二次型
參考文獻
附錄1　行列式與Cramer法則
附錄2　實對稱矩陣和正交矩陣
附錄3　二次曲線的分類

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向量與坐標<br> 解析幾何 (analytic geometry)是用坐標系、代數、分析方法來研究的幾何 ,又稱為坐標幾何 (coordinate geometry),因為幾何對象在某坐標系下用點的 n元組來描述 .通常 ,使用二維 (n = 2)或三維 (n = 3)的直角坐標系來研究平面、直線、曲面和曲線 . 1637年,笛卡兒在《方法論》的附錄 “幾何 ”中提出了解析幾何的基本方法 .解析幾何的方法不同于歐幾里得幾何把特定的幾何概念作為基點 ,在公理和定理的基礎上用演繹推理得出事實的綜合方法 .解析幾何使得原先兩個獨立的數學分支――幾何和代數聯系到一起 ,使得代數的很多對象有了直觀的幾何解釋 .同時 ,利用代數和分析的知識也很方便地解決幾何上的問題 .解析幾何廣泛應用于物理和工程中 ,是當今包括代數幾何 ,微分幾何 ,離散與計算幾何學等眾多領域的基礎.<br> 在中學數學中 ,已經涉及了向量的概念及向量的加減法的運算法則 ,本章給出了數與向量的乘法運算法則的詳細證明 ;利用線性無關的向量組建立了仿射坐標系、定義了向量的坐標 ;利用向量的坐標計算力做的功 (向量的內積 )、力矩 (向量的外積 )和平行六面體的體積 (向量的混合積 );給出了這些向量運算的定義、運算規律和坐標計算公式 ,同時展示了向量運算在共點、共線、共面、平行、垂直、恒等式以及一些關于三角形經典定理證明上的應用. <br> 1.1向量的定義、加法及數乘 <br> 1.1.1向量的定義<br> 為了表示力學中的力、速度等這些既有大小 ,又有方向的量 ,我們引入了向量 ,并且將代數運算引到向量中去 ,來研究圖形性質 .這種方法具有幾何直觀性 ,并且它在物理等學科中有重要的應用.此外,向量的概念及其運算也為線性代數中深入<br> 理解向量空間提供了直觀的幾何背景.<br> 下面回顧向量的相關定義.<br> 定義 1.1.1既有大小,又有方向的量稱為向量或矢量(vector).用加粗的符號 a, b, c, ···來表示.向量 a的大小稱為向量的長度(或模),記為 |a|.<br> .<br> →<br> 一個向量 a可用有向線段 AB來表示,從始點 A到終點 B的指向表示 a的<br> .<br> →<br> 方向 (圖 1.1),有向線段的長度 AB 表示向量 a的大小.<br> <br> 圖 1.1圖 1.2<br> 長度為零的向量稱為零向量,記為 0.長度為 1的向量稱為單位向量.與非零向量 a同向的單位向量記為 a0 .<br> 如果一個向量 a能夠由另一個向量 b經平行移動得到,則稱這兩個向量相等(圖 1.2),顯然它們方向相同大小相等,記為 a = b.大小相等,方向相反的兩個向量互為反向量 (或負向量),向量 a的反向量記為 .a.<br> 如果兩個向量 a, b通過平行移動可移到同一條直線上,則稱這兩個向量共線或者平行,記為 a//b.平行于同一平面的一組向量稱為共面的向量組.特別地,零向量與任意向量共線;共線的向量組一定共面.<br> 討論不同起點的任意兩向量是否共面？(提示：所指向量為自由向量) <br> <br> 1.1.2向量的加減法<br> 依據物理學中力、速度、位移的合成方法定義向量加法 (addition).<br> .<br> →.<br> → .→<br> 定義 1.1.2對于向量 a, b,作有向線段 AB = a, BC = b,把 AC表示的向量 c稱為向量 a與 b的和,記為 c = a + b(圖 1.3),即 <br> .<br> → .<br> →.→ <br> AB + BC = AC.<br> 由此公式表示的向量加法規則稱為三角形法則.<br> .→ .<br> →<br> 從同一始點 O作 OA = a, OB = b,再以 OA, OB為邊作平行四邊形 OACB,<br> .<br> →<br> 則對角線 OC也表示向量 a與 b的和 (圖 1.4),這種表示和向量的方法稱為向量的平行四邊形法則 (parallelogram rule).在向量相等的意義下,“平行四邊形法則”和 “三角形法則”等價. <br> <br> 圖 1.3圖 1.4<br> 向量加法運算有以下性質.定理 1.1.1對于任意向量 a, b, c,有 <br> (1) a + 0 = a; <br> <br> (2) a +(.a)= 0; <br> <br> (3) a + b = b + a(交換律); <br> <br> (4) (a + b)+ c = a +(b + c)(結合律); <br> <br> (5) |a + b| : |a| + |b| (三角不等式,等號成立當且僅當 a, b同向); | : |a1| + |a2| + · <br> <br> <br> .<br> → <br> · · + an· · + |an| .<br> BB可得; BA可得; <br> (3)利用平行四邊形法則可得; <br> .<br> → <br> (5的) |a1 + a2 + · 證 (1)設 a = <br> .<br> → <br> AB, 0 = <br> (2)設 a = <br> .<br> → <br> AB, .a = <br> .<br> → 1.1.3數乘<br> .<br> → (5)直接由三角形法則可得; (subtraction)作為加法的逆運算 減法 定義如下,.+().1.1.3定義 向量的減法： ..bb=aa .<br> →1.5減法的幾何意義如圖 所示 即 .OAOB BA.=,.<br> →.<br> →.<br> →()練習證明 提示：利用字母規律 多邊形法則+++ABBC CD DE AE=.,1.1.4定義 實數 與向量 的乘積 是一個向量 它的模為 ||||||λλλλ= ·aaaa.,00=0它的方向為當 時與 同向 當時與 反向 當或時則;;0λ> λ< λ="aaa" ,(scalarmultiplication).我們把這種運算叫做實數和向量的乘法="" 簡稱數乘0λ="a" .,.1和與它同向的單位向量="" 所以0="aa,根據定義若向量" 或向量="" 則與共線λbbb="=a" μaa,.(討論若向量="" 共線="" 則一定存在實數="" 使得="" 成立嗎？="" 提示：bb="=aμμaa,,"><br> 可得;CD.<br> → <br> (5的)可以重復運用 (5)可得.<br> .→ 圖 1.5.→ <br> 已知向量 a 0 , a = |a| a00 = |a|a,這稱為把向量 a單位化.<br> 0, b= 0) <br> (4)設 a = <br> .<br> →<br> .<br> → <br> AB, b = BC, c = <br> 數乘有下面性質 .<br> 定理 1.1.2對于任意的向量 a, b和任意的實數 λ, μ,有 <br> <br> (1) (.1)a = .a; <br> <br> (2) 0a = 0; <br> <br> (3) λ(μa)=(λμ)a; <br> <br> (4) (λ + μ)a = λa + μa; <br> <br> (5) λ(a + b)= λa + λb.<br> 證 (1)、(2)和 (3)直接由定義 1.1.4可得 . <br> <br> <br> (4)參見 <br> [1, pp.3-4]若 a = 0或 λ, μ中有一個為零時 ,則 (4)顯然成立 .下面<br> <br> <br> 設 λμ = 0, a = 0.情形 1若 λμ > 0,則 λa與 μa同向 ,且 (λ + μ)a與 λa + μa同向 ,因此有 <br> |λa + μa| = |λa| + |μa| =(|λ| + |μ|) |a| ,<br> 又 <br> |(λ + μ)a| = |λ + μ||a| =(|λ| + |μ|) |a| ,<br> 因此 |(λ + μ)a| = |λa + μa| ,故 (λ + μ)a = λa + μa.情形 2若 λμ < 0,不妨設="" λ=""> 0, μ< 0.="" 1.若="" λ="" +="" μ="0,則" (λ="" +="" μ)a="0,而"><br> λa + μa = λa +(.λ)a <br> =(λa)+(.1)(λa) <br> =(λa) . (λa)= 0,<br> 故由 (2),得 (4)成立 . 2.若 λ + μ> 0,則由情形 1知 <br> [(λ + μ)+(.μ)] a =(λ + μ)a +(.μ)a,<br> 即得 <br> λa =(λ + μ)a +(.μa) <br> =(λ + μ)a . μa,<br> 從而有 (λ + μ)a = λa + μa. 3.若 λ + μ< 0,類似于="" 2.可得式="" (4),留作練習="" .=""><br> (5)若 λ =0或者 a, b中有一個為 0,則 (5)顯然成立 .下面設 λ = 0, a = 0, b = 0. <br> 情形 1若 a = 0, b = 0,且 a//b平行,則存在實數 μ使 b = μa,于是 <br> λ(a + b)= λ(a + μa)= λ [(1 + μ)a] <br> =[λ(1 + μ)] a =[λ + λμ] a <br> = λa +(λμ)a = λa + λ(μa)= λa + λb.<br> AB = b,于CD = λb,則 DOAB ～DOCD,從而 D在直線 OB<br> OD = λ(a + b)= λa + λb.<br> .<br> → .<br> → .<br> → <br> 情形 2若 a <br> .→ <br> b,那么當 λ> 0時,如圖 1.6所示,分別作 <br> OA = a, <br> OB = a + b,作 <br> .<br> →<br> .<br> →<br> 是 <br> OC = λa, <br> 上.于是 <br> 當 λ<><br> <br> 圖 1.6<br> 例 1.1.1設點 O是平面上正多邊形 A1A2 ··· An的中心,證明： <br> ..→ ..→ ..→ <br> OA1 + OA2 + ··· + OAn = 0.<br> 證如圖 1.7所示,因為 <br> ..→ ..→ ..→ <br> OA1 + OA3 = λOA2, <br> ..→ ..→ ..→ <br> OA2 + OA4 = λOA3, <br> ······ ....→ ..→ ..→ <br> OAn.1 + OA1 = λOAn, <br> ..→ ..→ ..→ <br> OAn + OA2 = λOA1,<br> ..→ ..→ ..→ ..→ ..→ ..→<br> 所以 2(OA1 + OA2 + ··· + OAn)= λ(OA1 + OA2 + ··· + OAn),因此 ..→ ..→ ..→<br> (2 . λ)(OA1 + OA2 + ··· + OAn)= 0.<br> 顯然 λ = 2,所以結論成立. <br> <br> 圖 1.7<br> <br> <br> 習題 <br> 2x . 3y = b,<br> ..→ ..→ ..→ .<br> → 在例 的條件下 設是任意點 證明：1.1.1.1PPAPAPAPO+++··· = n12,,.n 利用數乘運算規律解下列各題2.. 化簡 ....(1)()(b)()(b);+··uva uva ! 3+4xy = a,從向量方程組 解出向量(2)xy,. 要使下列各式成立 向量 應滿足什么條件？3.ba,, |||.|||||||||||.||(1) bb;(2) bb;(3) bb++++;a = aa = aa = a|.||||||.|||.||(4) bb;(5) bb+a = aa = a. 請補充完善定理 中的證明4.1.1.2(4). 向量組的線性相關性1.2L (=12)此時也稱向量 可由向量 線性表示i ···aa,n.,,i12),使得··· ,n,, L <br> 向量的加法和數乘的運算統稱為向量的線性運算.<br> 定義 1.2.1由向量 ai(i =1, 2, ··· ,n)和實數 ki(i =1, 2, ··· ,n)所組成的向<br> <br> n<br> 量 a = kiai稱為向量組 ai(i =1, 2, ··· ,n)的一個線性組合 (linear combination).<br> i=1 <br> 定義 1.2.2如果對于向量組 ai(i =1, 2, ··· ,n),存在不全為 0的實數 ki(i = <br> nkiai = 0,<br> i=1 <br> 則稱向量組 ai(i =1, 2, ··· ,n)線性相關;否則,稱向量組線性無關 (linear indepen-dence).