直覺模糊集理論及應用(上冊)（簡體書）

第 1章緒論

隨著模糊集理論的發展 ,在描述和求解不確定、不精確、信息不完全的問題過程中 ,產生了多種拓展形式 .這種情形 ,既反映出模糊集理論研究與應用的活躍態勢,又反映出客觀對象的復雜性對于應用研究的反作用 .在這諸多的拓展形式中 ,直覺模糊集理論的研究最為活躍 ,也最富有成果 . L-模糊集、區間值模糊集等都可以與之相結合,從而形成 L-直覺模糊集、區間值直覺模糊集等 .

1.1引言

人工智能主要研究用人工的方法和技術 ,模仿、延伸和擴展人的智能 ,實現機器智能 .人工智能可以分成兩大類：一類是符號智能 ,一類是計算智能 .符號智能是以知識為基礎 ,通過推理進行問題求解 ,也即傳統意義上的人工智能 .計算智能是以數據為基礎 ,通過訓練建立聯系 ,進行問題求解 .以模糊數學為基礎的模糊系統以及人工神經網絡、遺傳算法、進化程序設計、人工生命等都屬于計算智能 .

模糊系統是一種基于知識或基于規則的系統 .模糊數學是運用數學方法研究和處理模糊性現象的一門數學新分支 .它以 “模糊集合論 ”為基礎 .模糊數學提供了一種處理不確定性和不精確性問題的新方法 ,是描述人腦思維處理模糊信息的有力工具 .它既可用于 “硬”科學方面 ,又可用于 “軟”科學方面 .

Zadeh教授多年來致力于 “計算機 ”與 “大系統 ”的矛盾研究 ,集中思考了計算機為什么不能像人腦那樣進行靈活的思維與判斷問題 .盡管計算機記憶超人 ,計算神速 ,然而當其面對外延不分明的模糊狀態時 ,卻 “一籌莫展 ”.可是 ,人腦的思維 ,在其感知、辨識、推理、決策以及抽象的過程中 ,對于接受、儲存、處理模糊信息卻完全可能 .計算機為什么不能像人腦思維那樣處理模糊信息呢？其原因在于傳統的數學 ,例如康托爾集合論 (Cantor’s sets),亦稱為經典集合論 ,不能描述 “亦此亦彼 ”現象 .集合是描述人腦思維對整體性客觀事物的識別和分類的數學方法 .康托爾集合論要求其分類必須遵從形式邏輯的排中律 ,論域 (即所考慮的對象的全體 )中的任一元素要么屬于集合 A,要么不屬于集合 A,兩者必居其一 ,且僅居其一 .這樣 , Cantor集合就只能描述外延分明的 “分明概念 ”,只能表現 “非此即彼 ”,而對于外延不分明的 “模糊概念 ”則不能反映 .

所謂模糊現象 ,是指客觀事物之間難以用分明的界限加以區分的狀態 ,它產生于人們對客觀事物的識別和分類之時 ,并反映在概念之中 .外延分明的概念 ,稱為分明概念 ,它反映分明現象 .外延不分明的概念 ,稱為模糊概念 ,它反映模糊現象 .一般說來 ,分明概念是揚棄了概念的模糊性而抽象出來的 ,是把思維絕對化而達到的概念的精確和嚴格 .然而模糊集合不是簡單地揚棄概念的模糊性 ,而是盡量如實地反映人們使用模糊概念時的本來含義 .這是模糊數學與普通數學在方法論上的根本區別 .

模糊數學產生的直接動力 ,與系統科學的發展有著密切的關系 .在多變量、非線性、時變的大系統中 ,復雜性與精確性形成了尖銳的矛盾 . Zadeh教授從實踐中總結出這樣一條互克性原理： “當系統的復雜性日趨增長時 ,我們做出系統特性的精確 ,然而有意義的描述能力將相應降低 ,直至達到這樣一個閾值 ,一旦超過它 ,精確性和有意義性將變成兩個幾乎互相排斥的特性 .”這就是說 ,復雜程度越高 ,有意義的精確化能力便越低 .復雜性意味著因素眾多、時變性大 ,其中某些因素及其變化是人們難以精確掌握的 ,而且人們又常常不可能對全部因素和過程都進行精確的考察 ,而只能抓住其中主要部分 ,忽略掉所謂的次要部分 .這樣 ,在事實上就給對系統的描述帶來了模糊性 .常規數學方法的應用對本質上是模糊系統的分析來說是不協調的 ,它將引起理論和實際之間的很大差距 .因此 ,必須尋找到一套研究和處理模糊性的數學方法 .這就是模糊數學產生的歷史必然性 .模糊數學用精確的數學語言去描述模糊性現象 ,它代表了一種與基于概率論方法處理不確定性和不精確性的傳統不同的思想 ,不同于傳統的新的方法論 .它能夠更好地反映客觀存在的模糊性現象 ,因而成為描述模糊系統的有力工具 .

Zadeh教授于 1975年所發表的長篇論文《語言變量的概念及其在近似推理中的應用》提出了語言變量的概念并探索了它的含義 .模糊語言的概念是模糊集合理論中最重要的發展之一 ,語言變量的概念是模糊語言理論的重要方面 .語言概率及其計算、模糊邏輯及近似推理則可以當作語言變量的應用來處理 .人類語言表達主客觀模糊性的能力特別引人注目 ,或許從研究模糊語言入手就能把握住主客觀的模糊性 ,找出處理這些模糊性的方法 .這一理論和方法對控制理論、人工智能等作出了重要貢獻 .

模糊數學誕生至今僅短短的幾十年 ,然而它發展迅速、應用廣泛 .它涉及純粹數學、應用數學、自然科學、人文科學和管理科學等方面 .在人工智能、自動控制、信息處理、圖像識別、經濟學、心理學、社會學、生態學、語言學、管理科學、醫療診斷、哲學研究等領域中 ,都得到廣泛應用 .把模糊數學理論應用于決策研究 ,形成了模糊決策技術 .只要經過仔細深入研究就會發現 ,在多數情況下 ,決策目標與約束條件均帶有一定的模糊性 ,對復雜大系統的決策過程尤其是如此 .在這種情況下,運用模糊決策技術 ,會顯得更加自然 ,也將會獲得更加良好的效果 .

我國學者對模糊數學的研究始于 20世紀 70年代中期 ,將模糊數學理論應用于氣象預報、中醫醫療診斷、地質探礦、生態環境、企業管理、生物學、心理學等領域,取得了一系列較好的應用成果 ,標志著我國將模糊集理論應用于人工智能、知識處理領域已形成一個體系 .

1.2模糊集概述

德國數學家 Cantor于 19世紀末創立了集合論 ,在 Cantor的集合論中 ,對于在論域中的任何一個對象 (元素 ),它與集合之間的關系只能是屬于或者不屬于的關系 ,即一個對象 (元素 )是否屬于某個集合的特征函數的取值范圍被限制為 0和 1兩個數 .這種二值邏輯已成為現代數學的基礎 .

人們在從事社會生產實踐、科學實驗的活動中 ,大腦形成的許多概念往往都是模糊概念 .這些概念的外延是不清晰的 ,具有亦此亦彼性 .例如 ,“肯定不可能 ”“極小可能 ”“極大可能 ”等.然而只用經典集合已經很難刻畫如此多的模糊概念了 .隨著社會和科學技術的發展 ,人們在對某個事情或事件進行判斷、推理、預測、決策時,所遇到的大部分信息常常是不精確的、不完全的或模糊的 ,這就要求人們在計算機中模擬人的智能行為時 ,計算機能夠處理這類信息 .為此 ,在 Cantor的集合論的基礎上 ,美國加利福尼亞大學控制論專家 Zadeh教授于 1965年發表了關于模糊集合的第一篇開創性論文 ,由此建立了模糊集理論 .在模糊集中 ,一個對象 (元素 )是否屬于某個模糊集的隸屬函數 (特征函數 )可以在 [0, 1]中取值 ,這就突破了傳統的二值邏輯的束縛 .模糊集理論使得數學的理論與應用研究范圍從精確問題拓展到了模糊現象的領域 .模糊集理論在近代科學發展中有著積極的作用：它為軟科學 (如經濟管理、人工智能、心理教育、醫學等 )提供了數學語言與工具 ;它的發展使計算機模仿人腦對復雜系統進行識別判決得以實現 ,提高了自動化水平 . 1975年, Mamdani和 Assilianl創立了模糊控制器的基本框架 ,并將模糊控制器用于控制蒸汽機 .這是關于模糊集理論的另一項開創性研究 ,它標志著模糊集理論有其實際的應用價值 .

近年來興起的模糊推理方法是針對帶有模糊性的推理而提出的 ,模糊控制的理論基礎核心就是模糊推理理論 .通過用模糊集表示模糊概念 , Zadeh于 1973年提出了著名的推理合成規則算法 ,即 CRI(compositional rule of inference)算法 .隨后 , Mamdanit和 Zimmermann以及 Wuf分別對 CRI方法做了進一步的討論 .模糊推理一經提出 ,立即引起了工程技術界的關注 . 20世紀 70年代以后各種模糊推理方法紛紛被提出 ,并被應用于工業控制與家電的制造中 ,取得了很大的成功 .

模糊集理論的核心思想是把取值僅為 1或 0的特征函數擴展到可在閉區間 [0,1]中任意取值的隸屬函數 ,而把取定的值稱為元素 x對集合的隸屬度 .下面簡要介紹模糊集的基本概念 .

定義 1.1(模糊集 )設 U為非空有限論域 ,所謂 U上的一個模糊集 A,即一個從 U到 [0, 1]的一個函數 μA(x): U → [0, 1],對于每個 x ∈ U, μA(x)是 [0, 1]中的某個數 ,稱為 x對 A的隸屬度 ,即 x屬于 A的程度 ,稱 μA(x)為 A的隸屬函數 ,稱 U為 A的論域 .

如給 5個同學的性格穩重程度打分 ,按百分制給分 ,再除以 100,這樣給定了一個從域 X = {x1, x2, x3, x4, x5}到 [0, 1]閉區間的映射 .

x1 : 85分,μA(x1)=0.85

x2 : 75分,μA(x2)=0.75

x3 : 98分,μA(x3)=0.98

x4 : 30分,μA(x4)=0.30

x5 : 60分,μA(x5)=0.60

這樣確定出一個模糊子集 A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60).

模糊集完全由隸屬函數所刻畫 , μA(x)的值越接近于 1,表示 x隸屬于模糊集合 A的程度越高 ; μA(x)越接近于 0,表示 x隸屬于模糊集合 A的程度越低 ;當 μA(x)的值域為 {0,1}時, A便退化成為經典集合 ,因此可以認為模糊集合是普通集合的一般化 .

模糊集可以表示為以下兩種形式：

(1)當 U為連續論域時 , U上的模糊集 A可以表示為

卜

A =μA(x)/x, x ∈ U

U

(2)當 U= {x1, x2, , xn }為離散論域時 ,

nA = LμA(xi)/xi,xi ∈ Ui=1

定義 1.2(模糊集的運算 )若 A, B為 X上兩個模糊集 ,它們的和集、交集和余集都是模糊集 ,其隸屬函數分別定義為

(AVB)(x) = max(μA(x),μB(x))

(A^B)(x) = min(μA(x),μB(x))

AC(x)=1 . μA(x)

關于模糊集的和、交等運算 ,可以推廣到任意多個模糊集中去 .

定義 1.3(λ截集 )若 A為 X上的任一模糊集 ,對任意 0《 λ《 1,記 Aλ = {x|x ∈ U, μA(x) . λ},稱 Aλ為 A的 λ截集 .

Aλ是普通集合而不是模糊集 .由于模糊集的邊界是模糊的 ,如果要把模糊概念轉化為數學語言 ,需要選取不同的置信水平 λ (0《 λ《 1)來確定其隸屬關系 . λ截集就是將模糊集轉化為普通集的方法 .模糊集 A是一個具有游移邊界的集合 ,它隨 λ值的變小而增大 ,即當 λ1 <λ2時,有 aλ1="" .="">

對任意 A ∈ F (U),稱 A1(即 λ=1時 A的 λ截集 )為 A的核 ,稱 supp(A)={x| A(x) >0}為 A的支集 .模糊關系是模糊數學的重要概念 .普通關系強調元素之間是否存在關系 ,模糊關系則可以給出元素之間相關的程度 .模糊關系也是一個模糊集合 .定義 1.4(模糊關系 )設 U和 V為論域 ,則 U × V的一個模糊子集 R稱為從 U到 V的一個二元模糊關系 .對于有限論域 U= {u1, u2, , um }, V = {v1, v2, , vn },則 U對 V的模糊關系 R可以用一個矩陣來表示： R=(rij)m×n, rij =μR(ui,vj )

隸屬度 rij =μR(ui,vj)表示 ui與 vj具有關系 R的程度 .特別地 ,當 U = V時, R稱為 U上的模糊關系 .如果論域為 n個集合 (論域 )的直積 ,則模糊關系 R不再是二元的 ,而是 n元的 ,其隸屬函數也不再是兩個變量的函數 ,而是 n個變量的函數 .

定義 1.5(模糊關系的合成 )設 R, Q分別是 U × V, V × W上的兩個模糊關系 ,R與 Q的合成指從 U到 W上的模糊關系 ,記為 R . Q,其隸屬函數為

μR.Q(u, w)= V (μR(u, v)^μQ(v, w))

u∈V

特別地 ,當 R是 U × U的關系 ,有

R2 Rn = Rn.1 . R

= R . R,

利用模糊關系的合成 ,可以推論事物之間的模糊相關性 .

模糊集理論最基本的特征是：承認差異的中介過渡 ,也就是說承認漸變的隸屬關系 ,即一個模糊集 F是滿足某個 (或幾個 )性質的一類對象 ,每個對象都有一個互不相同的隸屬于 F的程度 ,隸屬函數給每個對象分派了一個 0或 1之間的數 ,作為它的隸屬度 .但是要注意的是隸屬函數給每個對象分派的是 0或 1之間的一個單值 .這個單值既包括了支持 x ∈ X的證據 ,也包括了反對 x ∈ X的證據 ,它不可能表示其中的一個 ,更不可能同時表示支持和反對的證據 .



1.3直覺模糊集

模糊信息處理技術已漸趨成熟 ,其局限性也已逐漸顯現 .進而 ,引起模糊集理論出現了各種拓展 ,如區間值模糊集、 Vague集、直覺模糊集、 L-模糊集等 .這種情形,既反映出模糊集理論研究與應用的活躍態勢 ,又反映出客觀對象的復雜性對于應用研究的反作用 .

在模糊集的諸多的拓展形式中 ,直覺模糊集理論的研究最為活躍 ,也最富有成果. L-模糊集、區間值模糊集等都可以與之相結合 ,從而形成 L-直覺模糊集、區間值直覺模糊集等 .

1.3.1直覺模糊集的形成與發展

直覺模糊集 (intuitionistic fuzzy set, IFS)[1]最初由保加利亞學者 Atanassov于 1986年提出 ,是對 Zadeh模糊集理論最有影響的一種擴充和發展 .

在語義描述上 ,經典的康托爾集合只能描述 “非此即彼 ”的 “分明概念 ”. Zadeh模糊集 (ZFS)理論可以擴展描述外延不分明的 “亦此亦彼 ”的 “模糊概念 ”.直覺模糊集增加了一個新的屬性參數 ——非隸屬度函數 ,進而還可以描述 “非此非彼 ”的 “模糊概念 ”,亦即 “中立狀態 ”的概念或中立的程度 ,更加細膩地刻畫客觀世界的模糊性本質 ,因而引起眾多學者的關注 .

Atanassov在Fuzzy Sets and Systems等雜志發表的一組論文 [1.15],系統提出并定義了直覺模糊集及其一系列運算和定理 ,研究了直覺模糊集與 L-模糊集、區間值模糊集相結合 ,從而形成 L-直覺模糊集、區間值直覺模糊集等 ;提出了直覺模糊邏輯命題及 “與”“或”算子等 ,發展了直覺模糊邏輯的若干基本概念 . Gun和 Buehrer于 1993年提出的 Vague集 [16] , Bustince等證明了 Vague集是一種直覺模糊集 [17],并研究了直覺模糊關系的一些運算性質 [18,19]、直覺模糊集的構造和熵等 [20.25].

對于直覺模糊集的研究 ,最初十多年基本處于純數學的角度 ,進入 21世紀后除繼續從數學角度進行深入研究外 ,逐漸出現了相關應用研究 ,并形成了多個研究熱點 .例如 ,直覺模糊集間的距離、直覺模糊熵、相似度等直覺模糊集之間的度量及應用 ,直覺模糊聚類分析 ,直覺模糊推理與應用 ,直覺模糊集在決策領域的應用等 .

Eulalia Szmidt等提出了直覺模糊集間的距離 [26]及以距離為基礎的相似度 [27]; Przemyslaw Grzegorzewski等研究了基于 Hausdor.度量的直覺模糊集之間的距離問題 [28,29]; Weiqiong Wang等給出了更一般的直覺模糊距離定義和幾種新的距離量度 [30],并將其應用于模式識別 ; Tamalika Chaira等提出用直覺模糊散度表示距