經濟數學II：線性代數（簡體書）

《經濟數學Ⅱ線性代數》是吉林省精品課“經濟數學”項目及吉林省教育科學“十二五”規劃重點項目研究成果之一，是高等學校（獨立學院）經濟數學系列教材第二部《經濟數學Ⅱ線性代數》．內容包括行列式、矩陣、線性方程組與向量、矩陣特征值與特征向量、二次型，每章配有習題和適當的選做題，書后給出參考答案，便于對照自測學習．

《經濟數學Ⅱ線性代數》可作為高等學校經濟管理類本科生學習教材，也可作為報考研究生學生的數學復習參考資料．

目錄前言
第1章 行列式1 1
.1 n階行列式1 一
、數域1
二
、二階、三階行列式1
三
、排列及其逆序數4
四
、n階行列式6
1
.2 行列式的性質10 1
.3 行列式按行(列)展開15 一
、行列式按一行(列)展開1
6 目錄前言
第1章 行列式1 1
.1 n階行列式1 一
、數域1
二
、二階、三階行列式1
三
、排列及其逆序數4
四
、n階行列式6
1
.2 行列式的性質10 1
.3 行列式按行(列)展開15 一
、行列式按一行(列)展開1
6
*
二、拉普拉斯定理2
3 1
.4 克拉默法則26 習題一
30 選做題一
33 第
2章 矩陣36 2
.1 矩陣的概念及幾種特殊的矩陣36 一
、矩陣的概念3
6 二
、幾種特殊的矩陣3
8 2
.2 矩陣的運算39 一
、矩陣的加法3
9 二
、數與矩陣的乘法4
0 三
、矩陣的乘法4
0 四
、矩陣的轉置4
5 五
、方陣的行列式4
7 2
.3 逆矩陣48 一
、逆矩陣的概念4
8 二
、n階矩陣可逆的充分必要條件4
8 三
、可逆矩陣的性質5
1 2
.4 分塊矩陣及其運算52

、分塊矩陣的概念5
2 二
、分塊矩陣的運算5
3 2
.5 矩陣的初等變換59 一
、初等變換5
9 二
、初等矩陣6
2 三
、用初等變換求矩陣的逆6
5 2
.6 矩陣的秩67 一
、矩陣的秩6
7 二
、用初等行變換求矩陣的秩6
8 習題二
69 選做題二
72 第
3章 線性方程組74 3
.1 用初等行變換解線性方程組74 一
、用初等行變換解線性方程組7
5 二
、線性方程組有解的判定定理7
9 3
.2 n維向量及其線性運算84 一
、n維向量8
4 二
、向量的線性運算8
5 3
.3 向量間的線性關系86 一
、線性組合8
6 二
、線性相關與線性無關8
8 3
.4 向量組的秩93 一
、向量組的極大線性無關組9
3 二
、向量組的秩9
4 三
、矩陣的秩與其行(列)向量組的秩的關系9
7 3
.5 線性方程組解的結構101 一
、齊次線性方程組解的結構1
01 二
、非齊次線性方程組解的結構1
05 習題三
108 選做題三
110 第
4章 矩陣的特征值與特征向量112 4
.1 矩陣的特征值與特征向量112 一
、矩陣的特征值與特征向量的概念1
12 二
、矩陣的特征值與特征向量的計算方法1
13 經濟數學
Ⅱ線性代數

、矩陣的特征值與特征向量的性質1
16 4
.2 相似矩陣與矩陣可對角化條件118 一
、相似矩陣的概念與性質1
19 二
、矩陣可對角化的條件1
21 4
.3 向量的內積與正交矩陣125 一
、向量空間1
25 二
、向量的內積1
26 三
、正交矩陣1
30 4
.4 實對稱矩陣的對角化132 一
、實對稱矩陣特征值和特征向量的性質1
32 二
、實對稱矩陣對角化的兩種方法1
35
*4.5 應用實例138 一
、主成分分析的基本思想1
38 二
、主成分分析的幾何意義1
38 三
、實例1
39 習題四
145 選做題四
147 第
5章 二次型149 5
.1 二次型的基本概念149 一
、二次型及其矩陣1
49 二
、線性變換1
52 三
、矩陣合同1
53 5
.2 二次型的標準形與規范形154 一
、二次型的標準形1
54 二
、二次型的規范形1
59 5
.3 實二次型的分類與判定161 一
、實二次型的分類1
61 二
、正定二次型和正定矩陣的判定1
61 三
、負定二次型和負定矩陣的判定1
65 習題五
166 選做題五
167 參考答案
169

顯示全部信息

第1章 行 列 式行列式來源于二元和三元線性方程組的求解
,之后被應用于一般n元線性方程組求解的實際問題
.同時行列式理論也是線性代數的一個基本而重要的內容.1
.1 n階行列式一
、數域定義
1 設F為兩個以上的數構成的集合,若對F中的任意兩個數a和b,a+b,a-b,ab,
a
b
(b
≠0)仍在F中,即F對有理運算“加、減、乘、除”是封閉的,則稱F為一個
數域.例如
,所有的有理數構成有理數域;所有的實數構成實數域;所有的復數構成復數域
.注意
:因為實數域基本可以滿足線性代數的理論研究和實際應用的需要,即所涉及的運算絕大多數為有理運算
,實數經有理運算其結果仍在實數域上,所以除特別說明外
,本書將主要在實數域上討論問題.二
、二階、三階行列式求解含有兩個未知量
、兩個方程的線性方程組a
1
1x
1
+a
1
2x
2
=b
1
,
a
2
1x
1
+a
2
2x
2
=b
2
,
(
1.1)可用加減消去法得
(a
1
1a
2
2-a
1
2a
2
1)x
1
=b
1
a
2
2-b
2
a
1
2,
(a
1
1a
2
2-a
1
2a
2
1)x
2
=b
2
a
1
1-b
1
a
2
1.
當
a1
1a
2
2-a
1
2a
2
1≠
0時,可得方程組的唯一解為x
1
=
b
1
a
2
2-b
2
a
1
2a
1
1a
2
2-a
1
2a
2
1,
x2
=
b
2
a
1
1-b
1
a
2
1a
1
1a
2
2-a
1
2a
2
1.
(1.2)
由公式(1.2),可對未知量x1
,x
2
的系數構成的二行二列的正方形數表定義
a
1
1a
1
2a
2
1a
2
2=a
1
1a
2
2-a
1
2a
2
1(1.3)為二階行列式,記作D=a
1
1a
1
2a
2
1a
2
2,
其中橫排稱為行,豎排稱為列,數aij
(i,j=
1
,2)稱為行列式的元素.下標i稱為行標,表示這個元素在第i行;下標j稱為列標
,表示這個元素在第j列.式(1.3)也稱為方程組(1.1)的系數行列式.說明
:二階行列式,是通過對“=”號左邊的正方形數表,規定“=”號右邊的運算規則
(規則源于方程組求解)而定義的.行列式既指符號D、 或a
1
1a
1
2a
2
1a
2
2,
也指展開式
a1
1a
2
2-a
1
2a
2
1,
有時也指計算所得數值.以上說明可推廣到后面的三階以及
n階行列式.二階行列式的計算公式
(1.3),可利用對角線法則記憶.圖1.1中連接a1
1和
a
2
2的線稱為
主對角線,對應的乘積項a1
1a
2
2取正號
;連接a1
2和
a2
1的線稱為
副對角線
,對應的乘積項a1
2a
2
1取負號
.圖
1.1利用二階行列式
,線性方程組(1.1)的解式(1.2)中的分子可分別表示為D
1
=
b
1
a
1
2b
2
a
2
2,
D2
=
a
1
1b
1
a
2
1b
2
.
當系數行列式
D=
a
1
1a
1
2a
2
1a
2
2≠
0時
,方程組(1.1)有唯一解,該解可用行列式符號簡記為x
1
=
D
1
D
,
x2
=
D
2
D
.

例1 解線性方程組 x
1
+
2x2
=
1,2
x1
-
3x2
=-
12.解
因系數行列式D=
1
22
-3=
1×(-3)-2×2=-7≠0,故方程組有唯一解
.又D
1
=
1
2-
12-3=
1×(-3)-2×(-12)=21,D
2
=
1
12
-12=
1×(-12)-1×2=-14,
于是方程組的唯一解為
x1
=
D
1
D
=
2
1-
7=-
3,x2
=
D
2
D
=
-
14-
7=
2.類似地
,由對三元線性方程組a
1
1x
1
+a
1
2x
2
+a
1
3x
3
=b
1
,
a
2
1x
1
+a
2
2x
2
+a
2
3x
3
=b
2
,
a
3
1x
1
+a
3
2x
2
+a
3
3x
3
=b
3
(
1.4)的加減消去法求解過程
,可以對未知量x1
,x
2
,x
3
的系數構成的三行三列的正方形
數表定義
D=
a
1
1a
1
2a
1
3a
2
1a
2
2a
2
3a
3
1a
3
2a
3
3=a
1
1a
2
2a
3
3+a
1
2a
2
3a
3
1+a
1
3a
2
1a
3
2
-a1
3a
2
2a
3
1-a
1
2a
2
1a
3
3-a
1
1a
2
3a
3
2(1.5)為
三階行列式,也稱為方程組(1.4)的系數行列式.公式
(1.5)中六個乘積項的代數和,也可利用對角線法則記憶:圖1.2中連接a
1
1,a
2
2,a
3
3的線稱為主對角線
,由主對角線、一邊和主對角線平行的兩個三角形連接的三個元素的乘積均取正號
;連接a1
3,a
2
2,a
3
1的線稱為副對角線
,由副對角線、一邊和副對角線平行的兩個三角形連接的三個元素的乘積均取負號
.圖
1.2例如
,D=
2
412
-1-24
2-3=
2×(-1)×(-3)+4×(-2)×4+1×2×2-[
1×(-1)×4]-[4×2×(-3)]-[2×(-2)×2]=
14.類似地
,可定義三階行列式Dj
(j=
1,2,3),Dj
是把系數行列式
D中第j列元素換成方程組
(1.4)的常數項b1
,b
2
,b
3
得到的
,即
D
1
=
b
1
a
1
2a
1
3b
2
a
2
2a
2
3b
3
a
3
2a
3
3,
D2
=
a
1
1b
1
a
1
3a
2
1b
2
a
2
3a
3
1b
3
a
3
3,
D3
=
a
1
1a
1
2b
1
a
2
1a
2
2b
2
a
3
1a
3
2b
3
.

當系數行列式D=
a
1
1a
1
2a
1
3a
2
1a
2
2a
2
3a
3
1a
3
2a
3
3≠
0時
,線性方程組(1.4)有唯一解,且該解可用行列式符號簡記為x
1
=
D
1
D
,
x2
=
D
2
D
,
x3
=
D
3
D
.

例2 解線性方程組x
1
+
2x2
-x
3
=
2,x
1
-x
2

=-1,2
x1
+x
2
-
2x3
=-
2.
解 由D=
1
2-11
-102
1-2=
3≠0, D1
=
2
2-1-
1-10-
21-2=
3,D
2
=
1
2-11
-102
-2-2=
6,D3
=
1
221
-1-12
1-2=
9,原方程組有唯一解為
x
1
=
D
1
D
=
3
3
=
1, x2
=
D
2
D
=
6
3
=
2, x3
=
D
3
D
=
9
3
=
3.
由于定義了二階和三階行列式,所以二元和三元線性方程組復雜的加減消去法求解過程
,轉換成了符號化、程序化的行列式計算.實際應用中,線性方程組的未知量及方程的個數會遠遠多于
3個,這就需要把二階、三階行列式推廣到一般的n
階行列式,為此先引入排列及其逆序數等概念.三
、排列及其逆序數定義
2 由數字1,2,…,n(n≥2)組成的一個有序數組i1
i
2
…
in
稱為一個
n級排列
.例如
,3142是4級排列,52431是5級排列.不同的
n級排列的總數為n!個.如3級排列的總數為3!=6個,即1
23 132 213 231 312 321.·
4·經濟數學Ⅱ線性代數
如果一個排列中各個數都按照從左到右
、從小到大的自然順序排列,則稱之為標
準排列.上例中僅123是標準排列,而其余排列中都存在較大數排在較小數左側的情況
.定義
3 在n級排列i1
i
2
…
in
中
,如果較大的一個數排在較小的一個數左側(
不一定相鄰),則稱這一對數構成一個逆序.排列i1
i
2
…
in
中逆序的總個數
,稱為該排列的
逆序數,記作τ(i1
i
2
…
in
).
逆序數是偶數或零的排列稱為偶排列,逆序數是奇數的排列稱為
奇排列.顯然
,標準排列的逆序數為0,是偶排列.例
3 求下列排列的逆序數,并判斷它們的奇偶性.(
1)52431;(2)n(n-1)…21.解
(1)52431中,5的逆序有4個“52,54,53,51”;2的逆序有1個“21”;4的逆序有
2個“43,41”;3的逆序有1個“31”,故τ(52431)=4+1+2+1=8,該排列為偶排列
.(
2)τ[n(n-1)…21]=(n-1)+(n-2)+…+1=n(n-
1)2
,
易知,該排列當
n=2或3時為奇排列;n=4k或4k+1(k=1,2,…)時為偶排列;n=4k+2
或4k+3時為奇排列.定義
4 在排列i1
…
is
…
it
…
in
中
,僅把其中某兩個數is
和
it
的位置互換
,得到一個新排列
i1
…
it
…
is
…
in
,
這一過程稱為一次對換或一個對換,記作(is,it).
例如
:52431(
2,3)5
3421(
5,1)1
3425,其中τ(52431)=8,τ(53421)=9,τ
(13425)=2,這里偶排列52431經過一次對換(2,3)變成了奇排列53421,奇排列
53421經過一次對換(5,1)變成了偶排列13425.定理
1 經過一次對換,前后兩個排列的奇偶性相反.證明
先證明相鄰兩個數對換的情形.設原排列為…
ij…,經過對換
(i,j)得到一個新排列…
ji…,其中
“…”表示那些沒動的數.與原排列比較
,新排列中j或i分別與其他數字之間以及其他數字之間的左右順序均未改變
,僅i與j的左右順序變了.如果ij不構成逆序,則ji構成逆序;如果
ij構成逆序,則ji不構成逆序,即該對換導致新排列比原排列的逆序數增加1或減少
1.因此對換相鄰兩個數,對換前后兩個排列的奇偶性相反.再證明兩個數
i與j之間夾有s個數k1
,k
2
,
…,ks
時的情形
.設原排列為…
ik1
k
2
…
ks
j
…,經過對換(i,j)得到一個新排列
…
jk1
k
2
…
ks
i
….顯然
,該對換可以通過一系列相鄰兩數的對換來實現,即在原排列中,先把i依次與
k1
,k
2
,
…,ks
,j
作s+1次相鄰兩數的對換,化為排列…
k1
k
2
…
ks
ji