數學魔術與遊戲設計

林碧珍教授
現任
‧國立新竹教育大學數理教育研究所教授
學歷
‧美國明尼蘇達大學數學教育博士
經歷
‧科技部科教發展與國際合作司數學教育學門召集人
‧國際數學心理教育（Psychology of Mathematics Education）協會國際委員
‧台灣數學教育學會副會長、理事、監事
‧TSSCI學術期刊編輯委員（科學教育學刊、教育與實踐研究編輯委員）
‧榮獲94學年度新竹教育大學第一屆教學傑出獎
‧榮獲2009國科會年度優良研究成果之應用獎
‧榮獲99～102年度國科會補助大專校院獎勵特殊優秀人才
‧國立編譯館編輯委員及九年一貫暫行綱要及正式綱要數學領域課程審查委員
‧九年一貫課程與教學深耕輔導組數學領域委員及諮詢委員
‧出版整數乘法替代性教材教法之理論與實務」（獲得國科會認證章）
‧出版數學教學案例－分數篇、小數篇、低年級篇、面積與體積篇、比與比值篇、代數篇、量與實測篇、整數四則運算篇、幾何篇專書共九本。

蔡寶桂
現任
‧新竹縣國教輔導團數學學習領域 專任輔導員
‧新竹縣教育研究發展暨網路中心 研究發展組組長
學歷
‧新竹師專、師院、數理研究所數學組畢業
‧國立彰化師範教育大學科學教育研究所博士班數學教育組肄業。
經歷
‧國小教師、板橋教師研習會自然科實驗教材研發教師、課程督學
‧新竹師範學院兼任講師，教授「問題解決」、「數學科教材教法」、「數學教學媒體製作」
‧教育部九年一貫數學學習領域綱要修訂小組委員會委員、台灣數學教育學會理事
‧發表數學教育、自然教育與學習評量相關文章數篇
‧著有「分數遊、藝、術～以理解為基礎之分數創意教學」

數學學習焦慮對各國小孩而言都是長期以來的共同困擾，對教師而言也是很大的挑戰。然而，作為一門基礎學科，數學卻攸關許多自然科學與社會行為科學的深入學習。本校林碧珍教授長期投入數學教育的研究推廣，不論數學教學理論的探討與驗證、教材教法的設計與發展，或是數學科教師專業成長的引導與精進，都可看到她不辭辛勞地往返於研究室與教學現場間，並且親自參與教學設計與觀課與課室討論，她的成就實為本校的榮耀。
本書《數學魔術與遊戲設計》是林教授師生的集體創作，除充分顯現碧珍教授長期以來鑽研數學科教材教法的心血結晶外，其最大的特色在於結合「遊戲」的媒介與形式。喜愛遊戲是孩子的天性，不論是無意的生活活動或有意的學習安排，遊戲都能帶來一股令人無法抗拒的強大力量。在教育理論與實務上，遊戲也具有活動體驗、鷹架支持與情境模擬的效果。因為遊戲活動能提高孩子的學習動機與興趣，從而能專注與積極參與學習，使孩子在認知、情意、技能各種層面，獲得啟迪與發展機會，並激發創造力與想像力的發揮，因此遊戲被公認為最佳協助學童學習的媒介與途徑。
此外，本書所有遊戲活動都是經由理論探討分析、精心設計、反覆展演與討論修改而成，其論述也寓含了遊戲設計與教學理念、教學的關鍵知識，所以對學生而言是有趣的遊戲活動，對教師與父母而言，也是淺顯易懂的補充教學手冊。
把抽象艱難的數學學習結合愉快有趣的遊戲活動，是林碧珍教授師生的絕妙創意。部分遊戲活動我有幸嘗鮮體驗並指導學生結合科技呈現，深刻體會其中「寓教於樂」的樂趣。因此，值適「數學魔術與遊戲設計」付梓問世之際，十分樂向師生、家長推薦，期望藉此途徑對於數學的教學與學習有所啟發與助益。

陳惠邦
國立新竹教育大學校長

「玩出興趣、玩出數學腦」是本書的核心宗旨。有鑑於我國學子在TIMSS和PISA的國際數學測驗表現中，皆呈現高數學成就，但在數學學習正向態度和自信心的排名卻是全球倒數。我國從政府、學術機構，到現場教師對學生學習興趣低落的現象令人感到憂心，這樣的現象無法改變嗎？難道數學成就與數學興趣和自信心無法兼顧嗎？數學要如何才能讓學生學得有趣呢？
「遊戲」應該是大家兒時共同的回憶！遊戲從早期的文化傳遞、宣洩精力、放鬆休閒理論、社會適應練習，到後來成為兒童遊戲治療、認知活動及社會互動的發展，至今從學術研究觀點，遊戲已是發展學童邏輯思維及抽象思考能力的必經過程，更是兒童創造力和變通能力發展的基石。
有鑑於此，我帶領一群來自桃竹苗三縣市小學教師，共同執行國科會科教處科普活動專題研究計畫「數學遊藝秀」（NSC-99-2515-S-134-001），期望透過饒富趣味、思考挑戰之數學學習題材的開發，逐漸改善國內數學學習氛圍，並創造老少咸宜、群體經驗與互動交流的「全民數學」。
本研究開發的數學活動包含魔術、遊戲與劇場魔術秀三大類，並將魔術和遊戲集結成書。「魔術」部分包含魔術家族、魔術樂園、家族特徵和魔術學院四個主題：在「魔術家族」中，以關聯圖方式幫助使用者看到坊間現有的魔術，和本書所呈現的魔術之間的關係，並在「魔術樂園」和「家族特徵」中將所有魔術都進行介紹與數學結構和魔術手法比較，讓使用者對坊間琳琅滿目的魔術有系統性的了解。最後，再從教學的觀點，以簡案的方式呈現該魔術與現有數學課程中間的關聯與教學目標掌握的方式，期望達到「遊戲中學習、樂在學習中」的目標。
「遊戲」部分包含適用對象、設計說明、設計源起與成功祕訣。每個遊戲一開始都會藉由圖片，讓使用者先掌握遊戲的圖象，之後再藉由圖文對照說明的方式，在「設計說明」中將所需的自製教具，遊戲規則和由易而難的挑戰層次，經由分級或關卡的呈現方式，幫助使用者逐一挑戰，增加成功經驗與自信心。在「設計源起」中，會將本遊戲設計與坊間現有的遊戲作關聯並描述遊戲設計的理念，幫助使用者更貼近遊戲設計者期望營造的學習效果。「成功祕訣」則透過數學模式對遊戲內容進行分析，對數學思考有興趣的讀者亦可另闢路徑或成為數學科展的探究問題，進行系統結構性的分析，但此考量普羅大眾閱讀時的柔軟性，所以儘量簡要陳述，減少過多艱澀數學語言的描述。
為了讓數學遊戲生動化並隨手可用，本書「數學遊戲篇」中有六個遊戲內容（乘法賓果、拉丁方陣、世界高塔、一筆畫、圖形拈、唸謠）由本校校長陳惠邦校長帶領數位所畢業學生，將其數位化成為電腦遊戲，附在本書附贈的光碟中，以方便使用者使用。在附贈的光碟中尚包含數學理論篇，因為本書出版的遊戲或魔術，目的不在於僅是娛樂，而是在於訓練使用者的數學邏輯思考；所以「數學理論篇」是為了提供使用者瞭解每個魔術或遊戲背後存在的數學結構。有興趣的使用者可以依此數學結構調整或延拓，而能再開創更多不同的遊戲和魔術。
上述所有數學魔術和遊戲都是透過分析、設計和展演三個階段的粹鍊形成的。本書的魔術篇和遊戲篇是從文獻蒐集、點子提供、設計初稿，到經由設立闖關攤位、科學展覽等過程，與中小學生、職前教師和社會大眾互動後，不斷檢討修正；再透過修讀本校數理教育研究所數學遊戲課程的在職教師實際操作，檢視文本內容是否充分表達遊戲和魔術的操作，透過這些不斷的修正歷程，來增加本書的可看性、可讀性及可用性。本書內容產出的過程皆為集體腦力激盪、創意萌發與成果創作，最後由團隊成員分工執筆而完成的，在此一併感謝！

新竹教育大學數理教育研究所
林碧珍教授

二、魔術樂園
(一) 雙胞胎〔參考出處：雷蒙‧布蘭（2001）〕
1.配合道具：撲克牌兩副、一個硬幣、一個信封。
2.事前準備
(1)魔術師先在桌上放置九張紙牌，並將紙牌排列成如圖所示。
(2)接著，魔術師跟觀眾面對面坐在桌子的兩邊，用東西擋住魔術師，所以魔術師是看不到對方之後如何移動硬幣。
(3)魔術師告訴對方他已經猜到對方遊戲結束最後剩下的紙牌，並將他所預測的紙牌（另外一副牌的紅心A）放於信封當中。
3.規則說明：
魔術師要求觀眾把硬幣放在任何一張Q上面，而且硬幣可以前後左右的移動，但不能對角線的移動。同樣的，也不可以越過任何一張紙牌。
4.魔術步驟：
(1)自任何一張Q出發，任意走六步
(2)移走方塊J後，再走三步
(3)移走黑桃Q後，再走兩步
(4)移走梅花Q後，再走三步
(5)移走方塊K、黑桃A後，再走兩步
(6)移走梅花K後，再走一步
(7)再移走方塊Q、紅心Q。
最後，魔術師將信封的紙牌拿出來，將會跟觀眾硬幣所停留那張紙牌相同，都會是紅心A。
(二) 命中註定
1.配合道具：撲克牌兩副、一個硬幣、一個信封。
2.事前準備：
(1)魔術師先在桌上放置九張紙牌，並將紙牌排列成如圖所示。
(2)事前魔術師跟觀眾面對面坐於桌子的兩邊，用東西擋住雙方，所以魔術師是看不到對方之後如何移動硬幣。
(3)魔術師告訴對方他已經猜到對方將選出的紙牌，並將他所預測的答案（另外一副牌的梅花3）放於信封當中。
3.規則說明：要求觀眾把硬幣放在任何一張偶數牌上面，請觀眾依魔術師所要
求的程序動作。但只可以水平、垂直或是前後的移動硬幣，而不能對角線的移
動。同樣的，也不可以越過任何紙牌。
4.魔術步驟：
(1)任意走6步後，移走黑桃A。
(2)走3步後，移走黑桃2和梅花4。
(3)走3步後，移走黑桃5。
(4)走2步後，移走梅花7和黑桃9。
(5)走1步後，移走黑桃6和黑桃4。
最後，魔術師將信封的答案拿出來，將會跟觀眾放硬幣的那張紙牌相同，都是梅花3。
(三) 地心魔力（自創）
1.配合道具：撲克牌兩副、一個硬幣、一個信封。
2.事前準備：
(1)魔術師先在桌上放置二十五張紙牌，並將紙牌排列成如圖所示。
(2)魔術師跟觀眾面對面坐於桌子的兩邊，用東西擋住雙方，所以魔術師是看不到對方之後如何移動硬幣。
(3)魔術師告訴大家，黑桃5有特殊的魔咒，最後大家ㄧ定都會停在上面。
3.規則說明：
要求觀眾選定任何一張偶數牌，並把硬幣放在上面，請觀眾依照魔術師的要求前後或左右移動硬幣，但不能對角線移動，同樣的，也不可以越過任何紙牌。
移牌的順序由外圍向內移走，不可將對角線的兩張牌都移走的話，呈現斷橋的情形。如下方所示：

4.魔術步驟：
(1)任意走10步，觀眾可以任意移走最外圍奇數的牌3張。
(2)走8步，觀眾可以移走最外圍奇數的牌5張。
(3)走9步，觀眾可以移走最外圍偶數的牌2張。
(4)走6步，觀眾可以移走最外圍偶數的牌6張。
(5)走5步，觀眾可以移走最外圍奇數的牌1張。
(6)走4步，觀眾可以移走最外圍奇數的牌3張。
(7)走3步，大家真的都停在正中間。
三、家族特徵
(一) 魔術家族中用到哪些共通的數學概念呢？
1.第一個魔術雙胞胎開始前，共有九張牌放入九宮格。將九張牌分為二種牌形─四張Q牌和五張非Q牌；為了方便說明，將九宮格從左下方（原點）依序填入座標，並將九宮格分成4個奇數格和5個偶數格；接著將四張Q牌放入奇數格，紅心Ａ放在(1 , 1)，另四張非Q牌放入偶數格。如下表所示。
2.如果將一個10元硬幣放在梅花Q牌上，亦即將硬幣放在(0 , 1)奇數格上，任意走六格後，移走方塊J。
任意走六格的路徑，舉例如下：
(0 , 1)出發 → (1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 2) → (1 , 2) → (0 , 2) → (0 , 1)
(0 , 1)出發 → (1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 2) → (1 , 2) → (1 , 1) → (0 , 1)
(0 , 1)出發 → (1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 2) → (1 , 2) → (1 , 1) → (1 , 0)
(0 , 1)出發 → (1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 0) → (1 , 0) → (0 , 0) → (0 , 1)
(0 , 1)出發 → (1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 0) → (1 , 0) → (1 , 1) → (0 , 1)
由於奇數＋偶數＝奇數。發現從奇數格（Q牌）出發，走六格之後，最後還是回到奇數格（Q牌），不會落在偶數格上，於是可以移走偶數格上的方塊J (0 , 2)。
3.接著走三格，移走黑桃Q。任意走三格的路徑，舉例如下：
若硬幣在(0 , 1) → (1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 2)。
若硬幣在(1 , 2) → (1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 0)。
若硬幣在(2 , 1) → (2 , 0) → (1 , 0) → (0 , 0)。
若硬幣在(1 , 0) → (2 , 0) → (2 , 1) → (1 , 1)。
由於奇數＋奇數＝偶數。發現從奇數格（Q牌）出發，走三格之後，回到偶數格上，不會落在奇數格上，於是可以移走奇數格上的黑桃Q (1 , 2)。
4.再來走兩格，移走梅花Q。任意走二格的路徑，舉例如下：
若硬幣在(2 , 2) → (2 , 1) → (1 , 1)。
若硬幣在(2 , 0) → (1 , 0) → (0 , 0)。
若硬幣在(0 , 0) → (1 , 0) → (2 , 0)。
若硬幣在(1 , 1) → (2 , 1) → (2 , 2)。
由於偶數＋偶數＝偶數。發現從任偶數格出發，走兩格之後，還是回到偶數格上，所以可以移走奇數格上的梅花Q (0 , 1)。
5.再從偶數格出發走三格（偶數＋奇數＝奇數），會走到奇數格（Q牌）上，所以可以移走偶數格上的方塊K (2 , 2)、黑桃A (0 , 0)。
6.再從奇數格（Q牌）出發走兩格（奇數＋偶數＝奇數），還是回到奇數（Q牌）上，所以可以移走梅花K (2 , 0)。再走一步（奇數＋奇數＝偶數），最後只能走到紅心A (1 , 1)，再移方塊Q (1 , 0)、紅心Q (2 , 1)。
7.當遊戲完成後，硬幣於是走入最後一塊淨土─紅心A。