複變函數及其應用(翻譯版‧原書第9版)（簡體書）

詹姆斯·沃德·布朗（James Ward Brown），密歇根大學迪爾本分校數學系榮譽教授.取得哈佛大學理學學士學位和密歇根大學科學技術研究院數學碩士和博士學位.他與丘吉爾博士合著了《傅里葉級數和邊值問題》，目前刊印到第9版.他曾獲美國國家科學基金和密歇根大專院校董事會協會傑出教師獎，被列入世界名人錄.

魯埃爾V.丘吉爾（Ruel VChurchill），密歇根大學數學系榮譽教授, 從1922年開始在密歇根大學任教，1987年去世，曾取得芝加哥大學理學學士學位和密歇根大學物理碩士學位以及密歇根大學數學博士學位.他和布朗博士合著了《傅里葉級數和邊值問題》，這是一部經典著作，大約起草於75年前.他還編寫了《運算數學》一書.他曾在美國數學學會和其他數學協會或委員會擔任過多種職務

本書是單複變函數理論及應用的一本教科書，供一學期使用.本書保持了之前版本的基本內容和風格，最初兩版是由已故的Ruel VChurchill獨自編寫而成.

本書有兩個主要目標.第一個目標是發展那些在應用中表現突出的理論部分.第二個目標是介紹留數和共形映射的應用.留數的應用包括用它來計算實數反常積分 求拉普拉斯逆變換和函數的零點.共形映射可以用來解熱傳導和流體流動中產生的邊值問題.作者的另一著作《傅里葉變換和邊值問題》講解了一種解偏微分方程邊值問題的另一種經典方法，因此本書可以看作是該書的姊妹篇.

本書前9章在密歇根大學作為必修的課程已經有很多年了.後3章有一些變動主要是用來自學和參考.本書主要適用於數學.工程或物理專業的高年級學生.學習本書之前，應該至少完成三學期的微積分課程和一個學期的常微分方程課程的學習.如果想在本書中提前學習初等函數的映射，讀者可以在完成第3章後直接跳到第8章學習初等函數，然後再回來學習第4章的積分.

我們介紹一些此版本的變動，其中一些變動是使用過本書的學生和教師提出的.首先移動了很多內容.例如，雖然在第2章仍然介紹調和函數，但是共軛調和函數挪到了第9章，因為第9章更需要共軛調和函數.另外，證明代數基本定理的一個重要不等式的推導從第4章移到了第1章 因為第1章介紹了與其密切相關的不等式.這樣做的優點在於把這些不等式放在一起可以使讀者關注這些不等式，而且使得代數基本定理的證明更加簡明，不讓讀者分心.第2章對映射定義的介紹有所縮短，只強調了映射w=z2.這是上一版的讀者提出的建議，因為他們覺得在第2章用這一個例子闡明映射的定義就足夠了.最後，因為第5章學習的大多數泰勒級數和洛朗級數依賴於讀者對6個麥克勞林級數的熟悉程度，我們把它們放在一起方便讀者查詢.另外，第5章在泰勒定理之後包含單獨的一節，主要致力於涉及zz0的負次冪的級數表達式.經驗表明，這使得從泰勒級數到洛朗級數的轉變顯得很自然.

譯者序

作者序

前言

第1章複數1

1.和與積1

2.基本代數性質2

3.其他代數性質4

4.向量和模6

5.三角不等式8

6.共軛複數11

7.指數形式13

8.指數形式的乘積與冪16

9.乘積與商的輻角17

10.複數的根20

11.例子22

12.復平面中的區域26

第2章解析函數30

13.函數與映射30

14.映射w=z232

15.極限35

16.關於極限的定理37

17.涉及無窮遠點的極限39

18.連續性41

19.導數44

20.導數的運算法則46

21.柯西黎曼方程49

22.例子50

23.可微的充分條件51

24.極坐標53

25.解析函數的定義及性質56

26.其他例子58

27.調和函數60

28.唯一確定的解析函數63

29.反射原理64

第3章初等函數67

30.指數函數67

31.對數函數70

32.例子71

33.對數函數的分支和導數72

34.一些涉及對數的恆等式75

35.冪函數77

36.例子78

37.三角函數sinz和cosz80

38.三角函數的零點和奇點82

39.雙曲函數85

40.反三角函數與反雙曲函數87

第4章積分90

41.函數w(t)的導數 90

42.函數w(t)的定積分91

43.圍線94

44.圍線積分98

45.一些例子100

46.涉及支割線的例子103

47.圍線積分的模的上界107

48.原函數111

49.定理的證明114

50.柯西–古薩定理117

51.定理的證明119

52.單連通區域123

53.多連通區域124

54.柯西積分公式129

55.柯西積分公式的推廣130

56.推廣的柯西積分公式的證明133

57.推廣的柯西積分公式的一些

結果134

58.劉維爾定理與代數基本定理137

59.最大模原理138

第5章級數143

60.序列的收斂性143

61.級數的收斂性145

62.泰勒級數148

63.泰勒定理的證明149

64.例子151

65.(z-z0)的負次冪154

66.洛朗級數157

67.洛朗定理的證明159

目錄複變函數及其應用（翻譯版·原書第9版）68.例子161

69.冪級數的絕對收斂和一致收斂167

70.冪級數的和函數的連續性169

71.冪級數的積分與求導171

72.級數展開式的唯一性173

73.冪級數的乘法和除法177

第6章留數和極點182

74.孤立奇點182

75.留數184

76.柯西留數定理187

77.無窮遠點處的留數188

78.三種類型的孤立奇點191

79.例子193

80.極點處的留數194

81.例子196

82.解析函數的零點199

83.零點和極點201

84.函數在孤立奇點附近的性質205

第7章留數的應用208

85.廣義積分的計算208

86.計算廣義積分的例子210

87.傅里葉分析中的廣義積分214

88.若爾當引理216

89.縮進路徑221

90.繞分支點的縮進路徑223

91.沿著支割線的積分225

92.涉及正弦和余弦的定積分229

93.輻角原理232

94.儒歇定理234

95.拉普拉斯逆變換237

第8章初等函數的映射240

96.線性變換240

97.變換w=1/z242

98.1/z的映射242

99.分式線性變換246

100.隱式分式線性變換248

101.上半平面的映射251

102.例子253

103.指數函數的映射255

104.垂線段在w=sinz映射下的象256

105.水平線段在w=sinz映射下

的象258

106.與正弦函數相關的映射259

107. z2的映射262

108. z1/2的分支的映射263

109.多項式的平方根266

110.黎曼曲面271

111.相關函數的曲面273

第9章共形映射276

112.保角性和伸縮因子276

113.兩個例子278

114.局部逆變換280

115.調和共軛282

116.調和函數的映射285

117.邊界條件的映射287

第10章共形映射的應用292

118.穩定溫度292

119.半平面上的穩定溫度293

120.一個相關問題295

121.在像限內的溫度297

122.靜電勢301

123.求解電勢問題的例子302

124.二維的流體流動306

125.流函數308

126.沿拐角和柱面的流動310

第11章施瓦茨克里斯託費爾

映射316

127.實軸到多邊形的映射316

128.關於施瓦茨克里斯託費爾

映射317

129.三角形和矩形320

130.退化的多邊形323

131.管道內通過狹縫的流體流動327

132.有支管的管道內的流動329

133.導電板邊緣的靜電勢331

第12章泊松型積分公式335

134.泊松積分公式335

135.圓盤的狄利克雷問題337

136.例子339

137.相關的邊值問題342

138.施瓦茨積分公式344

139.半平面的狄利克雷問題345

140.諾伊曼問題348

部分習題解答352

第1章複數352

2.基本代數性質352

3.其他代數性質353

5.三角不等式353

6.共軛複數355

9.乘積與商的輻角357

11.例子360

12.復平面上的區域363

第2章解析函數365

14.映射w=z2365

18.連續性366

20.導數的運算法則367

24.極坐標368

26.其他例子371

27.調和函數371

第3章初等函數372

30.指數函數372

33.對數函數的分支和導數375

34.一些涉及對數的恆等式377

36.例子378

38.三角函數的零點和奇點379

39.雙曲函數382

40.反三角函數與反雙曲函數384

第4章積分384

42.函數w（t）的定積分384

43.圍線385

46.涉及支割線的例子386

47.圍線積分的模的上界389

49.定理的證明392

53.多連通區域393

57.推廣的柯西積分公式的一些

結果395

第5章級數399

61.級數的收斂性399

65.（z-z0）的負次冪400

68.例子402

72.級數展開式的唯一性406

73.冪級數的乘法和除法407

第6章留數和極點411

77.無窮遠點處的留數411

79.例子416

81.例子419

83.零點和極點423

第7章留數的應用428

86.廣義積分計算的例子428

88.若爾當引理438

91.沿著支割線的積分445

92.涉及正弦和余弦的定

積分451

94.儒歇定理452

95.拉普拉斯逆變換454

附錄A參考文獻459

附錄B區域映射圖（見

第8章）462