數理邏輯基礎(上)（簡體書）

《現代數學基礎叢書·典藏版1：數理邏輯基礎（上冊）》陳述數理邏輯的基礎知識，包括邏輯演算的基本內容。這些內容構成數理邏輯各個分支（模型論、證明論和構造性數學、遞歸論、集合論）的共同的基礎。
《現代數學基礎叢書·典藏版1：數理邏輯基礎（上冊）》共六部分，分上、下兩冊。下冊包括第三、四、五章和兩個附錄。第三章陳述邏輯演算的重言式系統，並研究自然推理系統和重言式系統的關係。第四章研究邏輯演算的可靠性和完備性問題。第五章討論了邏輯演算如何應用於陳述具體的數學理論，並且研究了在數學中引進定義的形式化問題。附錄（一）陳述帶量詞的命題邏輯；附錄（二）定義了斜形證明，並且證明了形式證明與斜形證明的等價關係。
《現代數學基礎叢書·典藏版1：數理邏輯基礎（上冊）》可以用作數學專業和其他專業數理邏輯課程的教材或教學參考書，或供有關工作人員參考，使用時可根據具體情況刪減內容，使用《現代數學基礎叢書·典藏版1：數理邏輯基礎（上冊）》時一般要求讀者俱有相當於大學高年級程度的數學訓練。

數理邏輯是研究推理，特別是研究數學中的推理的科學。本書陳述數理邏輯的基礎性知識，包括邏輯演算（這裡是指命題邏輯和一階謂詞邏輯）的基本內容，這些內容構成數理邏輯各個分支（模型論、證明論和構造性數學、遞歸論、集合論）的共同的基礎。
數理邏輯的思想可以溯源到萊布尼茲，而命題邏輯和一階謂詞邏輯的研究則從弗雷格開始。以後，經過皮爾斯，施羅德，皮亞諾，懷德海與羅素，勒文海姆，斯柯倫9等的研究，特別是經過了希爾伯特與阿克曼、貝爾奈斯的研究和整理，謂詞邏輯的體係得以形成；而在哥德爾證明了一階邏輯的完全性定理之後，這個邏輯演算的體係可以說是最後得到完成。
邏輯演算是反映前提和結論之間的推理關係的形式系統。在數理邏輯的歷史發展中，構造了邏輯演算的重官式系統。在重言式系統中，以某些形式公理和形式推理規則刻劃重言式的全體，以重言式反映推理關係。
然而，重言式系統中的形式公理（它們本身都是重言式）並不揭示出推理的性質。形式公理的涵義是並不直觀、並不明顯的。用重言式系統中的形式推理來反映演繹推理是不直接、不自然的，於是出現了一些較為直接地反映推理關係的邏輯演算。由厄爾勃朗證明的演繹定理就是比較直接地反映推理關係的，以後，在雅思柯夫斯基，根岑等的著作中，也表明了這種趨勢。又如在克利尼的《元數學導引》一書中所構造的邏輯演算，雖然仍然是重言式系統，但在其中定義了有前提的形式推理，並且利用演繹定理得出直接反映推理關係的形式推理關係，這也表明了上面所說的趨勢，
本書按照直接而自然地反映推理關係的要求來構造邏輯演算，這是邏輯演算的自然推理系統。本書中構造的自然推理系統既是一種嚴格的形式的數學語言，又與通常的數學語言很接近。王憲鈞同志在1940年前後曾告訴作者之一，沈有鼎同志在三十年代初就有了關於構造邏輯演算的自然推理系統的思想。本書所構造的自然推理系統是受到這種思想的啟發的，
文獻中已有的帶函數詞的謂詞邏輯往往是其中的函數詞只表示全函數，即在論域中處處有定義的函數，本書中構造了兩個帶函數詞的謂詞邏輯，一個里面的函數詞表示全函數，另一個里面的函數詞表示全函數或者偏函數，即在論域中並非處處有定義的函數。