算術研究(全新插圖本)（簡體書）

《算術研究》的正文則分為七章。第一章討論數的同餘；第二章討論一次同余方程；第三章討論冪剩餘並證明了費馬小定理；第四章討論二次同余方程；第五章系統擴展了二次型的理論(這使得高斯必然地成為了群論的先驅之一)；第六章討論了前述理論在特殊情況下的運用；第七章討論了分圓方程，這一章也被認為是本書最精彩的內容。

卡爾·弗裡德裡希·高斯(1777－1855年)，德國數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，歷史上最重要的數學家之一，有“數學王子”的天才美譽。他發現並證明了諸多數學方法和規律(如最小二乘法、正態分佈、二次互反律等等)，並能時常優雅地加以總結。他還是一個充滿熱情且工作認真的完美主義者，拒絕發佈自己所認為的不完整和有瑕疵的作品，因此並不多產。其著作有：《算術研究》《天體運動論》《曲面的一般研究》《高等大地測量學理論》等。
邵林，男，生於1984年，大連理工大學學士、安徽大學翻譯碩士。翻譯作品有《鋼琴演奏教程》等。

一部思路奇妙的劃時代數學神著
1.作者卡爾·弗裡德裡希·高斯是從18世紀至今最重要的數學家之一，享有“數學王子”的美譽。
2.本書是高斯關於數論的首部系統性著作，高斯在本書中保留了其一貫簡潔而完美的數學語言風格，這使得本書的解析與論證幾乎無可挑剔，讓其中的數學之美達到了精妙的高度。
3.在《算術研究》出版之前的數論乃是由一系列孤立的定理和猜想組成，高斯的《算術研究》不僅使數論領域變得真正嚴謹和系統，還為現代數論鋪平了道路，可謂是數論研究的開山之作。


高斯說：“數學是科學的女皇，數論則是數學的女皇。”如果這就是真理，那我們將補充說：“《算術研究》則是數論的憲章。” ――莫裡茨·康托《算術研究》已使你成為一流數學家，特別是最後一章，它包含了最優美的分析和發現。 ――約瑟夫·拉格朗日

自序/ 1
導讀：高斯――離群索居的王子/ 5
第 1 章同餘數概論(第 1～12 條)/ 1
第 1 節 同餘的數，模，剩餘和非剩餘 ??????????(2)
第 2 節 最小剩餘 ????????????????????(4)
第 3 節 關於同余的基本定理 ???????????????(5)
第 4 節 一些應用 ????????????????????(8)
第 2 章一次同余方程(第 13～44 條)/ 9
第 1 節 關於質數、因數等的初步定理 ???????????(10)
第 2 節 解一次同余方程 ?????????????????(17)
第 3 節 對於給定模求與給定剩餘同餘的數的方法 ?????(22)
第 4 節 多元線性同餘方程組 ???????????????(26)
第 5 節 一些定理 ????????????????????(29)
第 3 章冪剩餘(第 45～93 條)/ 37
第 1 節 首項為 1 的幾何數列各項的剩餘構成週期序列 ???(38)
第 2 節 對於模 p(質數)，數列週期的項數是數 p-1 的因數?????????????????????????(40)
第 3 節 費馬定理 ????????????????????(42)
第 4 節 有多少數對應于某個項數為 p-1 的因數的週期 ??(44)
第 5 節 原根，基和指標 ?????????????????(48)
第 6 節 指標的運算 ???????????????????(49)
第 7 節 同余方程 xn ≡ A 的根 ?????????????(51)
第 8 節 不同系統的指標間的關係 ?????????????(59)
第 9 節 適合特殊目的的基數 ???????????????(62)
第 10 節 求原根的方法 ?????????????????(63)
第 11 節 關於週期和原根的幾條定理 ???????????(66)
第 12 節 威爾遜定理 ??????????????????(67)
第 13 節 模是質數方冪 ?????????????????(72)
第 14 節 模為 2 的方冪 ?????????????????(78)
第 4 章二次同余方程(第 94～152 條)/ 81
第 1 節 二次剩餘和非剩餘 ????????????????(82)
第 2 節 當模是質數時，小於模的剩餘的個數等於非剩餘的個數?????????????????????????(84)
第 3 節 合數是不是給定質數的剩餘或非剩餘的問題，取決於它的因數的性質 ??????????????????(86)
第 4 節 合數模 ?????????????????????(88)
第 5 節 給定的數是給定質數模的剩餘或非剩餘的一般判別法?????????????????????????(94)
第 6 節 給定的數作為剩餘或非剩餘的質數的研究 ?????(95)
第 7 節 剩餘為 -1 ???????????????????(96)
第 8 節 剩餘為 +2 和 -2 ?????????????????(99)
第 9 節 剩餘為 +3 和 -3 ???????????????(103)
第 10 節 剩餘為 +5 和 -5 ???????????????(106)
第 11 節 剩餘為 +7 和 -7 ???????????????(109)
第 12 節 為一般性討論做的準備 ????????????(110)
第 13 節 通過歸納法發現的一般的(基本)定理及其推論????????????????????????(116)
第 14 節 基本定理的嚴格證明 ??????????????(123)
第 15 節 證明條目 114 的定理的類似的方法 ??????(130)
第 16 節 一般問題的解法 ????????????????(132)
第 17 節 以給定的數為其剩餘或非剩餘的所有質數的線性形式????????????????????????(135)
第 18 節 其他數學家關於這些研究的著作 ????????(140)
第 19 節 一般形式的二階同余方程 ????????????(142)
第 5 章二次型和二次不定方程(第 153～307 條)/ 143
第 1 節 型的定義和符號 ?????????????????(144)
第 2 節 數的表示：行列式 ????????????????(145)
第 3 節 數 M 由型(a，b，c)表示時所屬表達式 ( b2 ac ) -(mod M)的值 ?????????????????(146)
第 4 節 正常等價與反常等價 ??????????????(150)
第 5 節 相反的型 ????????????????????(152)
第 6 節 相鄰的型 ????????????????????(154)
第 7 節 型的係數的公約數 ????????????????(155)
第 8 節 一個給定的型變換為另一個給定的型時所有可能的同型變換的關係 ??????????????????(157)
第 9 節 歧型 ??????????????????????(164)
第 10 節 關於一個型既正常又反常地包含於另一個型的情況的定理系 ???????????????????(165)
第 11 節 關於由型表示數的一般性研究以及這些表示與代換的關係 ????????????????????(171)
第 12 節 行列式為負的型 ????????????????(177)
第 13 節 特殊的應用：將一個數拆分成兩個平方數，拆分成一個平方數和另一個平方數的兩倍，拆分成一個平方
數和另一個平方數的三倍 ????????????(192)
第 14 節 具有正的非平方數的行列式的型 ????????(196)
第 15 節 行列式為平方數的型 ??????????????(237)
第 16 節 包含在與之不等價的型中的型 ?????????(245)
第 17 節 行列式為 0 的型 ???????????????(250)
第 18 節 所有二元二次不定方程的一般整數解 ??????(253)
第 19 節 歷史注釋 ???????????????????(260)
第 20 節 將給定行列式的型進行分類???????????(262)
第 21 節 類劃分為層 ??????????????????(266)
第 22 節 層劃分為族 ??????????????????(270)
第 23 節 型的合成 ???????????????????(281)
第 24 節 層的合成 ???????????????????(312)
第 25 節 族的合成 ???????????????????(313)
第 26 節 類的合成 ???????????????????(317)
第 27 節 對於給定的行列式，在同一個層的每個族中存在相同個數的類 ??????????????????(321)
第 28 節 不同的層中各個族所含類的個數的比較 ?????(322)
第 29 節 歧類的個數 ??????????????????(331)
第 30 節 對於給定的行列式，所有可能的特徵有一半不屬�任何正常原始族 ????????????????(338)
第 31 節 對基本定理以及與剩餘為 -1，+2，-2 有關的其他定理的第 2 個證明 ??????????????(339)
第 32 節 對不適合任何族的那一半特徵的進一步討論 ???(342)
第 33 節 把質數分解為兩個平方數的特殊方法 ??????(345)
第 34 節 關於三元型討論的題外話 ????????????(347)
第 35 節 如何求出這樣一個型，由它加倍可得到給定的屬�主族的二元型 ?????????????????(384)
第 36 節 除了在條目 263 和 264 中已經證明其不可能的那些特徵外，其他所有的特徵都與某個族相對應 ?(386)
第 37 節 把數和二元型分解為三個平方數的理論 ?????(388)
第 38 節 費馬定理的證明：任何整數都能分解成三個三角數或者四個平方數 ????????????????(398)
第 39 節 方程 ax2+by2+cz2＝0 的解 ???????????(400)
第 40 節 勒讓德先生討論基本定理的方法 ????????(406)
第 41 節 由三元型表示零 ????????????????(411)
第 42 節 二元二次不定方程的有理通解 ?????????(414)
第 43 節 族的平均個數 ?????????????????(415)
第 44 節 類的平均個數 ?????????????????(418)
第 45 節 正常原始類的特殊算法：正則和非正則行列式 ??(423)
第 6 章前面討論的若干應用(第 308～334 條)/ 433
第 1 節 將分數分解成更簡單的分數 ???????????(435)
第 2 節 普通分數轉換為十進制數 ????????????(437)
第 3 節 通過排除法求解同余方程 ????????????(444)
第 4 節 用排除法解不定方程 mx2+ny2＝A ????????(448)
第 5 節 當 A 是負數時，解同余方程 x2≡A 的另一種方法 ?(455)
第 6 節 將合數同質數區分開來並確定它們的因數的兩種方法????????????????????????(459)
第 7 章分圓方程(第 335～366 條)/ 469
第 1 節 討論把圓分成質數份的最簡單情況 ????????(471)
第 2 節 關於圓弧(它由整個圓周的一份或若干份組成)的三角函數的方程並歸為方程 xn-1＝0 的根 ?????(472)
第 3 節 方程 xn-1＝0 的根的理論(假定 n 是質數) ???(476)
第 4 節 以下討論的目的之聲明 ??????????????(478)
第 5 節 Ω 中所有的根可以分為某些類(週期) ??????(480)
第 6 節 關於這些週期的各種定理 ?????????????(482)
第 7 節 由前面的討論解方程 X＝0 ???????????(494)
第 8 節 以 n＝19 為例，運算可以簡化為求解兩個三次方程和一個二次方程 ?????????????????(497)
第 9 節 以 n＝17 為例，運算可以簡化為求解四個二次方程?????????????????????????(501)
第 10 節 關於根的週期的進一步討論――有偶數個項的和是實數 ??????????????????????(506)
第 11 節 關於根的週期的進一步討論――把 Ω 中的根分成兩個週期的方程 ??????????????????(507)
第 12 節 證明第 4 章中提到的一個定理 ?????????(510)
第 13 節 把 Ω 中的根分成三個週期的方程 ????????(512)
第 14 節 把求 Ω 中根的方程化為最簡方程 ????????(517)
第 15 節 以上研究在三角函數中的應用――求對應於 Ω 中每個根的角的方法 ????????????????(522)
第 16 節 以上研究在三角函數中的應用――不用除法從正弦和余弦導出正切、餘切、正割以及余割 ?????(524)
第 17 節 以上研究在三角函數中的應用――對三角函數逐次降低次數的方法 ????????????????(527)
第 18 節 以上研究在三角函數中的應用――通過解二次方程或者尺規作圖能夠實現的圓周的等分 ??????(532)

附注????????????????????????????? (535)
附表????????????????????????????? (537)