常微分方程（簡體書）

《常微分方程》是在集作者多年教學經驗和教學實踐的基礎上，通過集體商討、研究編寫而成的。《常微分方程》共六章：一階微分方程的初等積分法、線性微分方程組、高階線性微分方程、基本理論、定性理論初步及一階偏微分方程初步。《常微分方程》結合地方高等院校數學專業的實際情況，對相關內容和習題進行了提煉、精簡、分類，力圖在現有教學課時(48學時)內既能完成教學內容、突出《常微分方程》的核心內容，又能增強教材的可讀性。

目錄



前言



第1章 一階微分方程的初等積分法 1



1.1 微分方程的基本概念 1



1.2 變量分離方程 6



1.3 齊次和分式方程 9



1.3.1 齊次方程 9



1.3.2 線性分式形式的微分方程 11



1.4 常數變易法 13



1.4.1 一階線性微分方程 13



1.4.2 伯努利方程 15



1.5 全微分方程與積分因子 17



1.6 一階隱式微分方程 23



1.6.1 可以解出y的方程 23



1.6.2 可以解出x的方程 24



1.6.3 不顯含y的一階隱式方程 25



1.6.4 不顯含x的一階隱式方程 27



1.7 微分方程的應用 28



1.7.1 幾何問題 28



1.7.2 變化率問題 29



1.7.3 物理問題 30



第2章 線性微分方程組 33



2.1 預備知識 33



2.1.1 矩陣函數的運算性質 34



2.1.2 矩陣範數及收斂性 35



2.2 線性微分方程組解的存在性與唯一性定理 36



2.3 齊次線性微分方程組的通解結構 40



2.3.1 疊加原理 40



2.3.2 向量函數組的線性相關性 40



2.4 非齊次線性微分方程組的通解結構 45



2.5 常係數線性微分方程組的解 48



2.5.1 常係數齊次線性微分方程組的解法――歐拉(Euler)指數法 48



2.5.2 常係數非齊次線性方程組的解法――常數變易法 54



第3章 高階線性微分方程 57



3.1 高階線性微分方程的一般理論 57



3.1.1 齊次線性微分方程的解的性質與結構 59



3.1.2 非齊次線性微分方程與常數變易法 61



3.2 高階常係數線性微分方程的解法 66



3.2.1 複值函數與複值解 67



3.2.2 高階常係數齊次線性微分方程 69



3.2.3 高階常係數非齊次線性微分方程 74



3.3 高階線性微分方程的降階法 81



第4章 基本理論 86



4.1 皮卡存在唯一性定理 86



4.2 佩亞諾存在性定理 97



4.3 解的延拓 104



4.4 積分不等式 108



4.5 解對初值的依賴性 111



第5章 定性理論初步 119



5.1 動力系統基本概念 119



5.2 李雅普諾夫穩定性 122



5.3 李雅普諾夫直接法 130



5.4 平面平衡點分析 136



5.5 極限環 148



5.6 平面哈密頓系統 153



第6章 一階偏微分方程初步 157



6.1 基本概念 157



6.2 一階線性偏微分方程與常微分方程組的關係 159



6.2.1 常微分方程組的首次積分 159



6.2.2 一階線性齊次偏微分方程與特徵方程組 163



6.3 一階線性齊次偏微分方程的解法 165



6.4 一階線性非齊次偏微分方程的解法 167



6.5 初值問題 170



參考文獻 174