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商品簡介
目次
商品簡介
本書著眼於模形式的經典理論，詳細解說基本定義與性質、以及著名的猜想和結果等。書中還間雜數論、幾何及等方面的相關技術與應用，視角力求多元，以期讀者對這一領域的面貌能有宏觀的掌握，為進一步涉足算術幾何、代數數論、自守表示理論等學科奠定基礎。
目次
《現代數學基礎叢書》序
導言
第一章基本定義 1
1.1 線性分式變換 2
1.2 圓盤模型 8
1.3 變換的分類和不動點 11
1.4 同餘子群、尖點、基本區域 15
1.5 整權模形式初探 23
1.6 Dirichlet 區域 28
第二章案例研究 35
2.1 經典分析:Γ函數 35
2.2 Riemann函數初探 39
2.3 Eisenstein 級數:SL(2， Z) 情形 44
2.4 與j 函數 49
2.5 主同餘子群 (N) 的Eisenstein 級數 54
2.6 同餘子群的Eisenstein 級數概述 61
第三章模曲線的解析理論 64
3.1 複結構 65
3.2 添入尖點 68
3.3 同餘子群情形 74
3.4 Siegel 定理與緊化 77
3.5 間奏: 可公度性、算術子群、四元數 83
3.6 整權模形式的一般定義 90
3.7 Petersson 內積 94
3.8 與複環面的關係 99
第四章維數公式與應用 109
4.1 熱身: 除子類的計算 110
4.2 虧格公式 112
4.3 偶數權維數公式 115
4.4 應用舉隅 120
4.5 亞純模形式的存在性 126
4.6 奇數權維數公式 128
第五章Hecke 算子通論 132
5.1 雙陪集與卷積 132
5.2 雙陪集代數: 模與反對合 137
5.3 與Hermite 內積的關係 140
5.4 模形式與Hecke 算子 142
5.5 SL(2， Z) 情形概觀: Hall 代數 146
5.6 特徵形式初探 152
第六章同餘子群的Hecke 算子 156
6.1 菱形算子和Tp 算子 157
6.2 雙陪集結構 166
6.3 一般的Tn 算子和特徵形式 174
6.4 舊形式與新形式 180
6.5 Atkin-Lehner 定理 185
第七章L-函數 192
7.1 Fourier 係數的初步估計 193
7.2 Mellin 變換與Dirichlet 級數 196
7.3 應用:從θ級數到平方和問題 201
7.4 Hecke 特徵形式的L-函數 208
7.5 函數方程 211
7.6 凸性界 215
第八章橢圓函數和複橢圓曲線 219
8.1 橢圓函數 219
8.2 射影嵌入 225
8.3 複環面的情形 230
8.4 Jacobi 簇與橢圓曲線 234
8.5 加法結構和若干例子 240
8.6 複乘初階 245
8.7 起源與應用 251
第九章上同調觀模形式 256
9.1 模形式作為全純截面 257
9.2 若干局部系統 261
9.3 上同調與濾過 265
9.4 Eichler-志村同構 272
9.5 拋物上同調 279
9.6 上同調觀Hecke 算子 285
第十章模形式與模空間 290
10.1 Tate 曲線 291
10.2 幾何模形式 295
10.3 Eichler-志村關係: Hecke 算子 302
10.4 Eichler-志村關係: 主定理 308
10.5 重訪Hecke 代數 310
10.6 從特徵形式構造Galois 表示 313
10.7 模性一瞥 319
參考文獻 323
附錄A 分析學背景 327
A.1 拓撲群及其作用 327
A.2 基本區域 331
A.3 正規收斂與全純函數 334
A.4 無窮乘積 336
A.5 調和分析 339
A.6 Phragm′en-Lindel¨of 原理 342
附錄B Riemann 曲面背景 345
B.1 層與局部系統 345
B.2 Riemann 曲面概貌 347
B.3 分歧複疊 352
B.4 態射與Riemann-Hurwitz 公式 354
B.5 全純向量叢及其截面 358
B.6 亞純微分的應用 362
B.7 Riemann-Roch 定理的陳述 365
附錄C 算術背景 371
C.1 群的上同調 371
C.2 Galois 群及p-進數 372
C.3 Galois 表示和平展上同調 .374
符號索引 378
名詞索引暨英譯 380
《現代數學基礎叢書》已出版書目 383
導言
第一章基本定義 1
1.1 線性分式變換 2
1.2 圓盤模型 8
1.3 變換的分類和不動點 11
1.4 同餘子群、尖點、基本區域 15
1.5 整權模形式初探 23
1.6 Dirichlet 區域 28
第二章案例研究 35
2.1 經典分析:Γ函數 35
2.2 Riemann函數初探 39
2.3 Eisenstein 級數:SL(2， Z) 情形 44
2.4 與j 函數 49
2.5 主同餘子群 (N) 的Eisenstein 級數 54
2.6 同餘子群的Eisenstein 級數概述 61
第三章模曲線的解析理論 64
3.1 複結構 65
3.2 添入尖點 68
3.3 同餘子群情形 74
3.4 Siegel 定理與緊化 77
3.5 間奏: 可公度性、算術子群、四元數 83
3.6 整權模形式的一般定義 90
3.7 Petersson 內積 94
3.8 與複環面的關係 99
第四章維數公式與應用 109
4.1 熱身: 除子類的計算 110
4.2 虧格公式 112
4.3 偶數權維數公式 115
4.4 應用舉隅 120
4.5 亞純模形式的存在性 126
4.6 奇數權維數公式 128
第五章Hecke 算子通論 132
5.1 雙陪集與卷積 132
5.2 雙陪集代數: 模與反對合 137
5.3 與Hermite 內積的關係 140
5.4 模形式與Hecke 算子 142
5.5 SL(2， Z) 情形概觀: Hall 代數 146
5.6 特徵形式初探 152
第六章同餘子群的Hecke 算子 156
6.1 菱形算子和Tp 算子 157
6.2 雙陪集結構 166
6.3 一般的Tn 算子和特徵形式 174
6.4 舊形式與新形式 180
6.5 Atkin-Lehner 定理 185
第七章L-函數 192
7.1 Fourier 係數的初步估計 193
7.2 Mellin 變換與Dirichlet 級數 196
7.3 應用:從θ級數到平方和問題 201
7.4 Hecke 特徵形式的L-函數 208
7.5 函數方程 211
7.6 凸性界 215
第八章橢圓函數和複橢圓曲線 219
8.1 橢圓函數 219
8.2 射影嵌入 225
8.3 複環面的情形 230
8.4 Jacobi 簇與橢圓曲線 234
8.5 加法結構和若干例子 240
8.6 複乘初階 245
8.7 起源與應用 251
第九章上同調觀模形式 256
9.1 模形式作為全純截面 257
9.2 若干局部系統 261
9.3 上同調與濾過 265
9.4 Eichler-志村同構 272
9.5 拋物上同調 279
9.6 上同調觀Hecke 算子 285
第十章模形式與模空間 290
10.1 Tate 曲線 291
10.2 幾何模形式 295
10.3 Eichler-志村關係: Hecke 算子 302
10.4 Eichler-志村關係: 主定理 308
10.5 重訪Hecke 代數 310
10.6 從特徵形式構造Galois 表示 313
10.7 模性一瞥 319
參考文獻 323
附錄A 分析學背景 327
A.1 拓撲群及其作用 327
A.2 基本區域 331
A.3 正規收斂與全純函數 334
A.4 無窮乘積 336
A.5 調和分析 339
A.6 Phragm′en-Lindel¨of 原理 342
附錄B Riemann 曲面背景 345
B.1 層與局部系統 345
B.2 Riemann 曲面概貌 347
B.3 分歧複疊 352
B.4 態射與Riemann-Hurwitz 公式 354
B.5 全純向量叢及其截面 358
B.6 亞純微分的應用 362
B.7 Riemann-Roch 定理的陳述 365
附錄C 算術背景 371
C.1 群的上同調 371
C.2 Galois 群及p-進數 372
C.3 Galois 表示和平展上同調 .374
符號索引 378
名詞索引暨英譯 380
《現代數學基礎叢書》已出版書目 383
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