微積分的力量（簡體書）

微積分是人類歷史上最偉大的思想之一，也是數學領域最傑出的思想。如果沒有微積分，我們就不可能發明微波爐、移動電話、GPS定位系統、激光視力矯正手術，世界上就不可能出現收音機、電視機、孕婦超聲波，更不用說宇航員登月、預測傳染病的傳染路徑、設定金融市場上期權產品的價格了。在本書中，作者將一一講述微積分如何催生了這些具有顛覆性和里程碑意義的事物的“彩色”故事。微積分在科學和技術領域的重要性，是新秀科學家和工程師必須學習微積分的原因之一。但是，我們的大學課堂並不教授微積分人性一面的知識，比如微積分是如何被發現，繼而失落，然後在1000年後再次被發現的迷人故事；微積分如何讓發明它的那些天才困惑不已，甚至精神失常。微積分的人性面跟它的科學面一樣，重要、充滿魅力，而且改變了世界。舉例來說，艾薩克•牛頓在微積分方面的成就和他提出的“機械宇宙”假說，啟發了許多哲學家，比如伏爾泰、托馬斯•霍布斯、約翰•洛克、斯賓諾莎，他的影響力甚至滲透到了美國的《獨立宣言》中，當傑斐遜寫下“我們認為這些真理不言而喻”這句話，以及援引“自然法則和上帝的意旨”時，他採用的正是牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中的論述方式。 像他的前輩歐幾裡得一樣，牛頓通過列出一系列不證自明的真理和自然法則（他的三大運動和引力定律）創立了他的數學原理。借助微計分，牛頓推導出諸多結論，築起一座由命題和證明搭建而成的大廈，定理之間通過不可撼動的邏輯環環相扣。傑斐遜用相同的方式鑄就《獨立宣言》，並得出殖民地有權自治的結論，而且這個結論就像數學定理一樣不容置疑。即使這個說法看上去有些離譜，但傑斐遜確實是牛頓的擁躉。在傑斐遜結束了他的兩屆總統任期後的幾年，他逐漸步出了公眾生活。他在1812年1月12日寫信給他的老友約翰•亞當斯，談到了離開政壇的愉悅：“我不再關注時事新聞，轉而關注塔西佗（古羅馬歷史學家）、修昔底德（古希臘歷史學家）、牛頓、歐幾裡得，我因此變得更快樂了。”傑斐遜十分崇拜牛頓，他甚至（令人毛骨悚然地）收藏了牛頓的“死亡面具”。我認為，微積分的故事不只是有數學和科學在其中，它還涉及哲學、倫理、政治，乃至文明的方方面面。考慮到微積分的發明者歷經重重困難去瞭解它，微積分也是一個關於人性善惡的故事，從高度讚頌到極盡中傷之能事。在本書中，作者將帶我們展開一次關於微積分的探索之旅。途中你會遇到像畢達哥拉斯一樣的遠見卓識者，他沒有發現音樂和絃的定律，也沒有證明幾何學中最重要的定理，他領導著一個神秘的“邪教組織”，其教義甚至包括不准吃豆子這一條。你也會遇到萊昂哈德•歐拉（瑞士數學家），他是13個孩子的父親，也是科學史上最多產的數學家之一，儘管他後半生的時間雙目失明。你還會遇到艾薩克•牛頓，微積分的發明者之一，1642年聖誕節出生，並成為人類歷史上最偉大的科學天才。對大多數讀者來說，畢達哥拉斯、歐拉、牛頓只是人名而已，高中時期知道他們，對於他們是誰、做過什麼、為什麼是重要的人物等也只有一些模糊的認識。作者希望在讀完這本書後，讀者可以對這些數學家有更立體生動的認知，就像瞭解米開朗基羅、莎士比亞、貝多芬那樣；也能像欣賞名畫、名曲那樣發現微積分之美。

[美]史蒂夫·斯托加茨，美國康奈爾大學應用數學系教授、知名教師和數學家。他為《紐約時報》《紐約客》寫作數學博客，也是美國科普電臺、《科學星期五》的常駐嘉賓。他的主要代表作有《x的奇幻之旅》。他目前住在紐約伊薩卡。

引言 // 001

寫給每個人的微積分讀物 // 002

由微積分主宰的世界 // 004

微積分不只是一種語言 // 006

不合理的有效性 // 007

無窮原則 // 008

石巨人與無窮 // 010

曲線、運動和變化 // 011

第1章 無窮的故事 // 019

作為橋樑的無窮 // 023

比薩證明 // 024

極限與牆之謎 // 028

0.333…的故事 // 030

無窮多邊形的故事 // 032

無窮的魅力和危險 // 033

除數為 0 的禁忌 // 034

實無窮之罪 // 036

芝諾悖論 // 037

芝諾悖論走向數位化 // 040

當芝諾悖論遇上量子力學 // 042

第2章 駕馭無窮的勇士 // 047

夾逼法與圓周率 // 051

圓周率之道 // 055

立體主義與微積分 // 057

乳酪論證 // 062

阿基米德方法 // 065

從電腦動畫到面部手術 // 074

探索運動之謎 // 079

第3章 運動定律的探索之旅 // 081

亞里斯多德的世界觀 // 084

伽利略出場 // 088

下落、滾動與奇數定律 // 090

科學極簡主義的藝術 // 093

從擺動的吊燈到GPS // 095

開普勒與行星運動之謎 // 102

開普勒第一定律：橢圓軌道 // 105

開普勒第二定律：相等的時間，相等的面積 // 107

開普勒第三定律：行星的公轉週期 // 109

開普勒與伽利略的異同點 // 110

烏雲密佈 // 112

第4章 微分學的黎明 // 115

代數在東方的崛起 // 118

代數的興起與幾何學的衰落 // 119

代數與幾何學的邂逅 // 121

方程與曲線 // 124

在一起，會更好 // 126

費馬vs笛卡兒 // 126

尋找失傳已久的發現方法——分析 // 129

行李箱的優化問題 // 131

費馬如何幫助了美國聯邦調查局？ // 135

最短時間原理 // 142

關於切線的爭論 // 146

近在眼前的應許之地 // 149

第5章 微積分的十字路口 // 151

函數的作用 // 155

冪函數 // 156

指數函數 // 157

10 的次方 // 158

對數 // 161

自然對數及其指數函數 // 164

指數增長與指數式衰減的機制 // 167

第6章 變化率和導數 // 171

微積分的三大核心問題 // 175

線性函數及其恒定的變化率 // 178

非線性函數及其不斷變化的變化率 // 182

作為晝長變化率的導數 // 186

作為瞬時速度的導數 // 191

第7章 隱秘的源泉 // 199

面積、積分和基本定理 // 202

運動使基本定理更直觀 // 203

恒定的加速度 // 206

用油漆滾筒證明基本定理 // 210

基本定理的意義 // 213

積分學的聖杯 // 214

局部vs整體 // 219

一個孤寂的男孩 // 221

玩轉冪級數 // 223

混搭大師 // 228

私密的微積分 // 229

第8章 思維的虛構產物 // 233

眨眼之間 // 237

無窮小量 // 238

2.001 的立方 // 240

微分 // 242

微分求導法 // 243

通過微分推導出基本定理 // 245

萊布尼茨是如何發現微分和基本定理的？ // 248

在微積分的幫助下對抗HIV // 255

第9章 宇宙的邏輯 // 263

自然的邏輯 // 267

二體問題 // 272

牛頓力學與《隱藏人物》 // 275

牛頓微積分與《獨立宣言》 // 276

連續體與離散集 // 278

常微分方程與偏微分方程 // 279

偏微分方程與波音 787 客機 // 282

無處不在的偏微分方程 // 285

第10 章 波、微波爐和腦成像 // 287

弦理論 // 292

為什麼是正弦波？ // 296

振動模態的視覺化：克拉德尼圖形 // 299

最值得尊崇的勇氣 // 301

微波爐 // 302

為什麼微波爐最初被稱作雷達灶？ // 303

CT與腦成像 // 304

第11 章 微積分的未來 // 311

DNA的纏繞數 // 315

決定論及其局限性 // 318

非線性 // 320

混沌 // 322

龐加萊圖 // 324

走上戰場的非線性 // 326

微積分與電腦聯盟 // 327

複雜系統與高維詛咒 // 328

電腦、人工智慧和洞察力之謎 // 332

結語 // 337

小數點後 8 位 // 337

發現正電子 // 339

可以理解的宇宙 // 341

致謝 // 345

注釋 // 349