數論問題：指數和的均值分析與研究（簡體書）

前言

指數和的上界估計是解析數論中的一個經典問題，計算和估計指數和上界的方法稱為指數和方法，國內外許多著名的數學家如華羅庚、A.Weil等對此問題做了深入的研究，取得了很多重要的成果．指數和方法在很多數論問題中都發揮了重要的作用，如素數分布問題、Waring問題（華林問題）、Prouhet-Tarry問題（齊次問題）以及圓內、球內整點問題等．

近些年來，人們發現盡管單個指數和的取值是不規則的，但是其高次混合均值卻表現出良好的分布性質，這引起了國內外許多學者的研究興趣和熱情，因而對指數和及其各種推廣和式高次均值的分析計算就逐漸成為這一領域的一個新的研究熱點．國內外許多學者深入地研究了二項指數和、Gauss和（高斯和）、Kloosterman和（克洛斯特曼和）等和式及它們的各種推廣和式高次均值的性質和計算．

指數和、特征和及它們的各種推廣和式的計算與估計，不僅在解析數論中占有重要的地位，而且在密碼學中也有著非常重要的應用．對指數和與特征和的研究既具有理論意義又具有實用價值，在這一領域取得任何實質性進展都會對解析數論及密碼學的發展起到重要的推動作用．

本書就指數和的由來和發展做了較為詳細的介紹，對已有的成果和方法進行了歸納和總結，分享了自己的一些研究結果，提出了一些新的想法，探討了下一步的研究方向．本書著重講述了不帶特征及帶Dirichlet特征的二項指數和的四次均值、不帶特征的三項指數和的四次均值、廣義二次Gauss和的六次均值、廣義k次Gauss和的高次均值、廣義Kloosterman和的四次均值的分析與計算．

全書共6章，第1章主要介紹了指數和問題研究的起源、各階段重點研究方向及其在解析數論和密碼學中的重要性．第2章到第5章分別討論了二項指數和、三項指數和、廣義k次Gauss和、廣義Kloosterman和，每一章均從發展和進程入手，隨後針對現有的研究結果，進行了拓展或更具普遍意義的推廣．在第2章中，對於不帶Dirichlet特征的二項指數和，獲得了 時的精確計算公式；對於帶Dirichlet特征的二項指數和的四次均值，去除了原有結果中模數為奇數的限制，獲得了模數為任意整數時的精確計算公式．在第3章中，分析和討論了不帶Dirichlet特征的三項指數和的四次均值的計算問題，在一定的約束條件下給出了精確的計算公式，揭示均值計算與同餘方程組解的組數之間的本質聯系．在第4章中，著重分析和討論了模數為任意Square-full數時推廣和式廣義k次Gauss和的高次均值的計算問題．此外，在限定條件的情形下，推導了在k取任意值時高次均值的計算公式．在第5章中，針對一類新定義的廣義Kloosterman和，探討了其四次均值的計算問題，獲得了適用範圍更廣的精確計算公式．第6章總結了目前我們所取得的成果，並提出了一些需要進一步探討的指數和問題．

閱讀本書需要具備一定的數論基礎．本書適用於數學專業的研究生以及在數論方面有一定基礎的本科生，也可供從事數論研究的研究人員參考．

作者在研究過程中，參考、借鑒了大量前人研究成果，在此對分享成果的研究人員表示由衷的敬意和真誠的感謝！

由於作者水平有限，不足之處在所難免，敬請批評指正．

作 者

2020年9月

第1章 緒論 1
第2章 二項指數和 3
2．1 二項指數和問題的由來與進展 3
2．2 二項指數和的四次均值 8
2．2．1 幾個引理 8
2．2．2 定理的證明 16
2．3 帶Dirichlet特征的二項指數和的四次均值 17
2．3．1 幾個引理 18
2．3．2 定理的證明 23
2．4 小結 25
第3章 三項指數和 27
3．1 三項指數和問題的由來與進展 27
3．2 三項指數和的四次均值與同餘方程組 30
3．3 三項指數和的四次均值的精確計算公式 35
3．4 小結 48

第4章 廣義k次Gauss和 49
4．1 Gauss和及其推廣和式的發展 49
4．2 廣義二次Gauss和六次均值的計算 54
4．2．1 幾個引理 55
4．2．2 定理的證明 90
4．3 廣義k次Gauss和高次均值的計算 91
4．3．1 幾個引理 91
4．3．2 定理的證明 93
4．4 小結 94
第5章 廣義Kloosterman和 95
5．1 Kloosterman和的由來和推廣 95
5．2 廣義Kloosterman和四次均值的計算 97
5．2．1 幾個引理 99
5．2．2 定理的證明 110
5．3 小結 113
第6章 總結和展望 115
參考文獻 117