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商品簡介
目次
書摘/試閱
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李群與李代數是核心數學領域中的一個重要的交叉學科，且是微分幾何、微分方程、調和分析、群論、代數、動力系統、數論、理論物理、量子化學、應用數學乃至工程技術等領域的重要工具。現代高校普遍開設李群與李代數基礎課程。《李群與李代數基礎》為作者在中國科學院和首都師範大學授課多年的基礎上寫成的李群與李代數基礎教科書，內容共有十二章，分別為引言、分析方面的一些預備、代數方面的一些預備、流形與解析空間、切空間與向量場、李代數、李群、李群的微分學、李群的積分學、線性李群及其李代數、復半單李代數的結構、復環面初步。
目次
目錄
《現代數學基礎叢書》序
前言
第0章 引言 1
第I章 分析方面的一些預備 4
第1節 常微分方程 4
第2節 復變函數 8
第II章 代數方面的一些預備 11
第1節 群 11
第2節 環 15
第3節 模 16
第4節 交換環 17
第5節 張量積 19
第III章 流形與解析空間 26
第1節 函數層 26
第2節 流形 28
第3節 射影空間 30
第4節 一般的層 35
第5節 解析空間 38
第6節 纖維叢 40
習題III 43
第IV章 切空間與向量場 44
第1節 切空間 44
第2節 微分層、切叢與向量場 46
第3節 光滑性 50
第4節 向量場的積分 53
習題IV 57
第V章 李代數 59
第1節 導數的李積 59
第2節 李代數及其線性表示 60
第3節 切叢與李子叢 62
第4節 泛包絡代數 64
習題V 67
第VI章 李群 68
第1節 李群的定義和例子 68
第2節 李群的一些基本性質 71
第3節 商與齊性空間 72
習題VI 74
第VII章 李群的微分學 75
第1節 微分層與微分算子層 75
第2節 李群的李代數與不變微分算子 78
第3節 不變微分算子環的基本性質 83
習題VII 86
第VIII章 李群的積分學 87
第1節 指數映射 87
第2節 Baker-Campbell-Hausdorff公式 94
第3節 拓撲群與不變測度 100
習題VIII 103
第IX章 線性李群與李代數 105
第1節 線性李群 105
第2節 可解與冪零李代數 108
第3節 嘉當子代數 112
第4節 幾類典型復李代數 117
習題IX 120
第X章 復半單李代數的結構 121
第1節 單李代數與半單李代數 121
第2節 復單李代數的根系 123
第3節 基礎根系與鄧肯圖 127
第4節 復單李代數的分類 132
習題X 134
第XI章 復環面初步 135
第1節 格與復環面 135
第2節 橢圓曲線 138
第3節 復環面的自同態環 141
第4節 復環面與向量場 143
習題XI 146
參考文獻 147
詞匯索引 149
符號、縮略語索引 157
《現代數學基礎叢書》已出版書目 163
《現代數學基礎叢書》序
前言
第0章 引言 1
第I章 分析方面的一些預備 4
第1節 常微分方程 4
第2節 復變函數 8
第II章 代數方面的一些預備 11
第1節 群 11
第2節 環 15
第3節 模 16
第4節 交換環 17
第5節 張量積 19
第III章 流形與解析空間 26
第1節 函數層 26
第2節 流形 28
第3節 射影空間 30
第4節 一般的層 35
第5節 解析空間 38
第6節 纖維叢 40
習題III 43
第IV章 切空間與向量場 44
第1節 切空間 44
第2節 微分層、切叢與向量場 46
第3節 光滑性 50
第4節 向量場的積分 53
習題IV 57
第V章 李代數 59
第1節 導數的李積 59
第2節 李代數及其線性表示 60
第3節 切叢與李子叢 62
第4節 泛包絡代數 64
習題V 67
第VI章 李群 68
第1節 李群的定義和例子 68
第2節 李群的一些基本性質 71
第3節 商與齊性空間 72
習題VI 74
第VII章 李群的微分學 75
第1節 微分層與微分算子層 75
第2節 李群的李代數與不變微分算子 78
第3節 不變微分算子環的基本性質 83
習題VII 86
第VIII章 李群的積分學 87
第1節 指數映射 87
第2節 Baker-Campbell-Hausdorff公式 94
第3節 拓撲群與不變測度 100
習題VIII 103
第IX章 線性李群與李代數 105
第1節 線性李群 105
第2節 可解與冪零李代數 108
第3節 嘉當子代數 112
第4節 幾類典型復李代數 117
習題IX 120
第X章 復半單李代數的結構 121
第1節 單李代數與半單李代數 121
第2節 復單李代數的根系 123
第3節 基礎根系與鄧肯圖 127
第4節 復單李代數的分類 132
習題X 134
第XI章 復環面初步 135
第1節 格與復環面 135
第2節 橢圓曲線 138
第3節 復環面的自同態環 141
第4節 復環面與向量場 143
習題XI 146
參考文獻 147
詞匯索引 149
符號、縮略語索引 157
《現代數學基礎叢書》已出版書目 163
書摘/試閱
第0章 引言
在19世紀的數學中， 群無疑是最深刻的新概念. 群論產生於求解代數方程的研究， 即阿貝爾與伽羅瓦的工作. 到了 19 世紀後期， 群論已深入一些其他領域， 如幾何學（在今天可以稱為 “線性幾何”， 主要是射影幾何）、運動學、晶體結構（費得羅夫（Federov）與熊夫利（Schoenflies）對空間群的分類）等， 而射影群是一種連續群， 即今天所說的李群. 在今天看來， 群是研究運動與對稱性的根本工具.
在這樣的背景下， 挪威數學家索弗斯 李（Sophus Lie）類比地考慮能否用連續群研究 “連續的” 方程， 即微分方程， 如同用離散群研究 “離散的” 方程， 即代數方程那樣. 李以畢生的精力研究這一課題， 而這一課題涉及很多領域， 除了群論和微分方程外還有線性幾何、微分幾何、解析函數論、線性空間與二次型、交換與非交換代數、拓撲學等. 李群的奠基性工作是由李及 W. Killing， E. Cartan， H.Weyl 等完成的. 直到今天， 李群仍是很多人研究的一個數學分支.
在此之後， 李群的基本概念、方法和結果逐漸滲透到很多其他領域， 包括微分方程、微分幾何、復幾何、代數學、數論、代數幾何、動力系統等基礎數學分支以及物理、化學、應用數學以至工程技術等領域， 成為一個重要的工具， 而且有深遠的思想影響.
簡言之， 李群就是有幾何結構的群， 也可以看作具有群結構的幾何 “空間”. 兩個方面的結構， 即幾何結構與群結構， 既同時起作用又相互制約， 使得李群具有豐富的內涵， 且具有復雜的結構與性質. 由此不難理解， 李群論具有顯著的多學科交叉性， 而對李群的研究需要廣博的數學基礎.
在很多學科（如代數或復幾何）中李群都是很特殊的一類物件. 然而， 李群在很多領域經常自然地出現， 並且常常起著重要的甚至關鍵的作用. 因此李群是一個備受重視的課題， 很多高校數學專業都開設李群（或李群與李代數）基礎課程.
本書針對數學各專業及一些相關專業（如理論物理）的學生和研究者對於李群與李代數知識的基本需要， 不涉及很深入且很專門的內容.
本書的預備知識包括大學本科的微積分、線性代數、常微分方程、復分析和抽象代數課程的基本內容. 但是， 鑒於學習這一課題需要多方面的數學基礎， 且經常會有比大學本科課程高一些的要求， 前幾章中在分析、代數、幾何等方面做了一些準備. 在一般的李群與李代數教科書中都有類似的準備.
各章節的內容及其相互關聯簡述如下.
第 I 章是分析方面的預備， 內容包括微分方程和復變函數兩個部分； 第 II 章為代數方面的預備， 內容有群、環、模、交換環和張量積等； 第 III 章和第 IV 章為幾何方面的預備， 內容包括流形、射影空間、解析空間、纖維叢、層、切空間與切叢、向量場、光滑性及向量場的積分等. 這些基礎知識都是後面各章節所需要的.第 V 章為李代數的基礎， 從導數出發， 內容包括李代數及其線性表示的基本概念、解析空間的切叢與李子叢、李代數的泛包絡代數（Poincaré-Birkhoff-Witt 定理）等； 第 VI 章為李群的基本概念和基本性質， 以及齊性空間的基礎； 第 VII 章為李群的微分學， 內容包括李群的李代數與不變微分算子、不變微分算子環的基本性質等； 第 VIII 章為李群的積分學， 內容包括指數映射、Baker-Campbell-Hausdorff公式、不變測度等； 第 IX 章為線性李群及其李代數的基礎， 包括典型李群及其李代數與李代數的結構初步； 第 X 章為線性李代數的較深入內容， 特別是復半單李代數的結構和分類； 第 XI 章為復環面的初步介紹， 內容包括格、復環面的基本性質， 橢圓曲線， 復環面的自同態等.
除第 I， II 章外各章都有一些習題， 這些習題有助於對正文的理解， 其中帶星號的習題有較高的難度.
李群與其他領域的聯系廣泛而深刻， 這裡僅能做一點很初步的介紹.
在幾何學方面， 李群本身就是幾何學的重要物件； 另一方面， 一般的幾何物件都有自同構群， 它反映幾何物件的對稱性， 而自同構群中經常有李子群， 它可以理解為 “連續的” 對稱性（例如圓周就可以連續地旋轉）. 如果一個幾何物件有李群的可遷作用， 就是所謂 “齊性空間”， 它們在幾何領域中經常出現， 且有高度的對稱性. 所謂 “局部李群”（見第 VIII 章）也是微分幾何的工具.
如上所說， 李群起源於對微分方程的研究， 其中很多結果在微分方程領域有重要的應用， 下面對此將有所反映（見第 IV 章）. 在調和分析中李群也是重要的工具.
在代數方面， 李群本身就是群論的重要物件， 但還不僅如此. 線性群不僅有李群（即實數域或復數域上的線性群）， 而且在一般的域上都有， 它們都是群論的重要且基本的物件， 而李群論的很多方法被用於研究一般域上的群. 20 世紀 60 年代， Chevalley 開創了新的方法， 可以利用李代數構造一般域上的線性群， 即所謂“李型群”. 這些都極大地推動了群論的發展， 尤其是有限單群的分類研究. 此外，李代數的研究對於線性代數的發展也有很大的推動作用.
李群對於動力系統是重要的和基本的工具.
數論與李群有很多不解之緣， 但所涉及的課題都很深， 這裡不做具體介紹了.在應用數學甚至工程技術等領域， 李群也有多方面的應用.
李群在現代理論物理中是基本的工具和物件， 在量子化學中也有不平凡的應用.
另一方面， 很多其他的學科領域對李群的研究有影響和貢獻.
在李群的學習中， 經常要將分析、代數、幾何等多方面的基礎知識綜合使用（而不是只考慮一個方面）， 對於很多初學者這是需要逐漸適應的， 而且由此有助於理解學科交叉.
第I章 分析方面的一些預備
第1節 常微分方程
設t為實變量， x1， ， xn 為 n 個實或復變量（一個復變量可以看作兩個實變量）. 考慮常微分方程組
（1）
我們通常要求各 Fi 滿足一些 “好的” 條件， 例如利普希茨條件: 存在實數 L使得對任意 x1， ，xn； t； x′1， ，x′n； t′ 及任意 i 有
（2）
不過（2）一般不可能對變量的所有值都滿足， 我們需要對變量的變化範圍作一些限制. 記 X 為變量 x1， ，xn； t 取值的空間（X = Rn+1 或 Cn R）， U X 為開集， 如果（2）對任意（x1， ，xn； t）；（x′1， ，x′n； t′）2 U 都滿足， 則我們稱 L 為方程組（1）在 U 上的一個利普希茨上界. 如果各 Fi 均為可微函數， 則我們總可以適當選擇 U 使得（1）在 U 上有利普希茨上界. 設（0， ，0）2 U， 若正實數 r滿足 f（x1， ，xn； t）jjxij . r 8i； jtj . rg U， 則稱 U 的半徑不小於 r， 此時若 L為方程組（1）在 U 上的一個利普希茨上界， 則稱 L 的有效半徑不小於 r.
引理 1（常微分方程的解的存在**性定理）設為包含（0， ，0）的半徑不小於 r 的開集， 方程組（1）在 U 上具有利普希茨上界 L， 則對（x1， ，xn）的任意初始值（a1， ，an）使得
（3）
方程組（1）對有**解， 且解滿足
此外， 若 F1， ， Fn 均為 d 階可微（或解析）函數， 則（1）對充分小的初始值（a1， ， an）及充分小的 t 的解為（a1， ，an； t）的 d 階可微（或解析）函數. 如果各 Fi 還有若幹參變量且為所有變量（包括參變量）的 d+1 階可微（或解析）函數， 則（1）的解對充分小的 t 是所有變量的 d 階可微（或解析）函數.
證 記h = nL + 1， 令， 歸納地定義（ 1/h； 1/h）上的函數如下:
（4）
我們用歸納法證明
（5）
奠基從略， 若（5）成立， 則由利普希茨條件（2）有
（6）
故由定義（4）有
由（5）可見函數列對所有滿足（3）的（a1， ，an）及一致收斂， 故有極限 xi（t）. 對（4）的兩邊取極限， 可見（x1（t）， ，xn（t））滿足方程（1）和初始條件
（8）
此外， 由（5）可見對
有
（9）
從而由條件（3）有
（10）
故
若（1）有滿足初始條件（8）的兩組解 fx1（t）， ，xn（t）g 和 fy1（t）， ，yn（t）g，
令
（11）
我們來證明對任意
及任意非負整數m有
（12）
對m 用歸納法， 當 m = 0 時由利普希茨條件（2）有
（13）
由於 fx1（t）， ， xn（t）g 為方程（1）的滿足初始條件（8）的解， 有
（14）
同理有
（15）
故對於 m > 0， 由歸納法假設可見對任意， 有
（16）
由m的任意性，（12）的右邊可以任意小， 故這說明（1）滿足初始條件（8）的解在區間上是**的.
若F1， ， Fn均為所有變量的d階可微函數， 則由（4）及
在19世紀的數學中， 群無疑是最深刻的新概念. 群論產生於求解代數方程的研究， 即阿貝爾與伽羅瓦的工作. 到了 19 世紀後期， 群論已深入一些其他領域， 如幾何學（在今天可以稱為 “線性幾何”， 主要是射影幾何）、運動學、晶體結構（費得羅夫（Federov）與熊夫利（Schoenflies）對空間群的分類）等， 而射影群是一種連續群， 即今天所說的李群. 在今天看來， 群是研究運動與對稱性的根本工具.
在這樣的背景下， 挪威數學家索弗斯 李（Sophus Lie）類比地考慮能否用連續群研究 “連續的” 方程， 即微分方程， 如同用離散群研究 “離散的” 方程， 即代數方程那樣. 李以畢生的精力研究這一課題， 而這一課題涉及很多領域， 除了群論和微分方程外還有線性幾何、微分幾何、解析函數論、線性空間與二次型、交換與非交換代數、拓撲學等. 李群的奠基性工作是由李及 W. Killing， E. Cartan， H.Weyl 等完成的. 直到今天， 李群仍是很多人研究的一個數學分支.
在此之後， 李群的基本概念、方法和結果逐漸滲透到很多其他領域， 包括微分方程、微分幾何、復幾何、代數學、數論、代數幾何、動力系統等基礎數學分支以及物理、化學、應用數學以至工程技術等領域， 成為一個重要的工具， 而且有深遠的思想影響.
簡言之， 李群就是有幾何結構的群， 也可以看作具有群結構的幾何 “空間”. 兩個方面的結構， 即幾何結構與群結構， 既同時起作用又相互制約， 使得李群具有豐富的內涵， 且具有復雜的結構與性質. 由此不難理解， 李群論具有顯著的多學科交叉性， 而對李群的研究需要廣博的數學基礎.
在很多學科（如代數或復幾何）中李群都是很特殊的一類物件. 然而， 李群在很多領域經常自然地出現， 並且常常起著重要的甚至關鍵的作用. 因此李群是一個備受重視的課題， 很多高校數學專業都開設李群（或李群與李代數）基礎課程.
本書針對數學各專業及一些相關專業（如理論物理）的學生和研究者對於李群與李代數知識的基本需要， 不涉及很深入且很專門的內容.
本書的預備知識包括大學本科的微積分、線性代數、常微分方程、復分析和抽象代數課程的基本內容. 但是， 鑒於學習這一課題需要多方面的數學基礎， 且經常會有比大學本科課程高一些的要求， 前幾章中在分析、代數、幾何等方面做了一些準備. 在一般的李群與李代數教科書中都有類似的準備.
各章節的內容及其相互關聯簡述如下.
第 I 章是分析方面的預備， 內容包括微分方程和復變函數兩個部分； 第 II 章為代數方面的預備， 內容有群、環、模、交換環和張量積等； 第 III 章和第 IV 章為幾何方面的預備， 內容包括流形、射影空間、解析空間、纖維叢、層、切空間與切叢、向量場、光滑性及向量場的積分等. 這些基礎知識都是後面各章節所需要的.第 V 章為李代數的基礎， 從導數出發， 內容包括李代數及其線性表示的基本概念、解析空間的切叢與李子叢、李代數的泛包絡代數（Poincaré-Birkhoff-Witt 定理）等； 第 VI 章為李群的基本概念和基本性質， 以及齊性空間的基礎； 第 VII 章為李群的微分學， 內容包括李群的李代數與不變微分算子、不變微分算子環的基本性質等； 第 VIII 章為李群的積分學， 內容包括指數映射、Baker-Campbell-Hausdorff公式、不變測度等； 第 IX 章為線性李群及其李代數的基礎， 包括典型李群及其李代數與李代數的結構初步； 第 X 章為線性李代數的較深入內容， 特別是復半單李代數的結構和分類； 第 XI 章為復環面的初步介紹， 內容包括格、復環面的基本性質， 橢圓曲線， 復環面的自同態等.
除第 I， II 章外各章都有一些習題， 這些習題有助於對正文的理解， 其中帶星號的習題有較高的難度.
李群與其他領域的聯系廣泛而深刻， 這裡僅能做一點很初步的介紹.
在幾何學方面， 李群本身就是幾何學的重要物件； 另一方面， 一般的幾何物件都有自同構群， 它反映幾何物件的對稱性， 而自同構群中經常有李子群， 它可以理解為 “連續的” 對稱性（例如圓周就可以連續地旋轉）. 如果一個幾何物件有李群的可遷作用， 就是所謂 “齊性空間”， 它們在幾何領域中經常出現， 且有高度的對稱性. 所謂 “局部李群”（見第 VIII 章）也是微分幾何的工具.
如上所說， 李群起源於對微分方程的研究， 其中很多結果在微分方程領域有重要的應用， 下面對此將有所反映（見第 IV 章）. 在調和分析中李群也是重要的工具.
在代數方面， 李群本身就是群論的重要物件， 但還不僅如此. 線性群不僅有李群（即實數域或復數域上的線性群）， 而且在一般的域上都有， 它們都是群論的重要且基本的物件， 而李群論的很多方法被用於研究一般域上的群. 20 世紀 60 年代， Chevalley 開創了新的方法， 可以利用李代數構造一般域上的線性群， 即所謂“李型群”. 這些都極大地推動了群論的發展， 尤其是有限單群的分類研究. 此外，李代數的研究對於線性代數的發展也有很大的推動作用.
李群對於動力系統是重要的和基本的工具.
數論與李群有很多不解之緣， 但所涉及的課題都很深， 這裡不做具體介紹了.在應用數學甚至工程技術等領域， 李群也有多方面的應用.
李群在現代理論物理中是基本的工具和物件， 在量子化學中也有不平凡的應用.
另一方面， 很多其他的學科領域對李群的研究有影響和貢獻.
在李群的學習中， 經常要將分析、代數、幾何等多方面的基礎知識綜合使用（而不是只考慮一個方面）， 對於很多初學者這是需要逐漸適應的， 而且由此有助於理解學科交叉.
第I章 分析方面的一些預備
第1節 常微分方程
設t為實變量， x1， ， xn 為 n 個實或復變量（一個復變量可以看作兩個實變量）. 考慮常微分方程組
（1）
我們通常要求各 Fi 滿足一些 “好的” 條件， 例如利普希茨條件: 存在實數 L使得對任意 x1， ，xn； t； x′1， ，x′n； t′ 及任意 i 有
（2）
不過（2）一般不可能對變量的所有值都滿足， 我們需要對變量的變化範圍作一些限制. 記 X 為變量 x1， ，xn； t 取值的空間（X = Rn+1 或 Cn R）， U X 為開集， 如果（2）對任意（x1， ，xn； t）；（x′1， ，x′n； t′）2 U 都滿足， 則我們稱 L 為方程組（1）在 U 上的一個利普希茨上界. 如果各 Fi 均為可微函數， 則我們總可以適當選擇 U 使得（1）在 U 上有利普希茨上界. 設（0， ，0）2 U， 若正實數 r滿足 f（x1， ，xn； t）jjxij . r 8i； jtj . rg U， 則稱 U 的半徑不小於 r， 此時若 L為方程組（1）在 U 上的一個利普希茨上界， 則稱 L 的有效半徑不小於 r.
引理 1（常微分方程的解的存在**性定理）設為包含（0， ，0）的半徑不小於 r 的開集， 方程組（1）在 U 上具有利普希茨上界 L， 則對（x1， ，xn）的任意初始值（a1， ，an）使得
（3）
方程組（1）對有**解， 且解滿足
此外， 若 F1， ， Fn 均為 d 階可微（或解析）函數， 則（1）對充分小的初始值（a1， ， an）及充分小的 t 的解為（a1， ，an； t）的 d 階可微（或解析）函數. 如果各 Fi 還有若幹參變量且為所有變量（包括參變量）的 d+1 階可微（或解析）函數， 則（1）的解對充分小的 t 是所有變量的 d 階可微（或解析）函數.
證 記h = nL + 1， 令， 歸納地定義（ 1/h； 1/h）上的函數如下:
（4）
我們用歸納法證明
（5）
奠基從略， 若（5）成立， 則由利普希茨條件（2）有
（6）
故由定義（4）有
由（5）可見函數列對所有滿足（3）的（a1， ，an）及一致收斂， 故有極限 xi（t）. 對（4）的兩邊取極限， 可見（x1（t）， ，xn（t））滿足方程（1）和初始條件
（8）
此外， 由（5）可見對
有
（9）
從而由條件（3）有
（10）
故
若（1）有滿足初始條件（8）的兩組解 fx1（t）， ，xn（t）g 和 fy1（t）， ，yn（t）g，
令
（11）
我們來證明對任意
及任意非負整數m有
（12）
對m 用歸納法， 當 m = 0 時由利普希茨條件（2）有
（13）
由於 fx1（t）， ， xn（t）g 為方程（1）的滿足初始條件（8）的解， 有
（14）
同理有
（15）
故對於 m > 0， 由歸納法假設可見對任意， 有
（16）
由m的任意性，（12）的右邊可以任意小， 故這說明（1）滿足初始條件（8）的解在區間上是**的.
若F1， ， Fn均為所有變量的d階可微函數， 則由（4）及
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