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目次
書摘/試閱
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完美數和斐波那契序列是兩個著名的數論問題和研究物件，兩者都有著非常悠久的歷史。《完美數與斐波那契序列》介紹了它們的發展史和現當代研究進展，包括作者、他的團隊和同代人的研究成果。特別地，作者提出了平方完美數問題，並首次揭示了古老的完美數問題與日世紀的斐波那契序列中的素數對之間的聯系，這與18世紀瑞士大數學家歐拉將完美數問題與17世紀的梅森素數相聯系一樣有著重要的意義。與此同時，《完美數與斐波那契序列》還揭示了平方完美數與著名的孿生素數猜想之間的相互關係等奧秘，此外，作者還提出了一些可感知有意義的猜想。
《完美數與斐波那契序列》不僅對數論研究本身有較高的理論價值，且由於行文的流暢和內容的可讀性，也具有數學史和數學文化的傳播功能。
《完美數與斐波那契序列》不僅對數論研究本身有較高的理論價值，且由於行文的流暢和內容的可讀性，也具有數學史和數學文化的傳播功能。
目次
目錄
《現代數學基礎叢書》序
序言
第1章 完美數的歷史 1
1.1 何為完美數? 1
1.2《幾何原本》 3
1.3 尼科馬科斯 6
1.4 平方和與立方和 9
1.5 阿拉伯的海桑 11
1.6 梅森數和梅森素數 13
1.7 笛卡爾與費爾馬 16
1.8 歐拉–歐幾裡得定理 18
1.9 神父普沃茨米 21
1.10 雙L素數檢驗法 24
1.11 GIMPS計劃 27
第2章 完美數問題 30
2.1 偶完美數的性質 30
2.2 完美數問題 33
2.3 奇完美數 35
2.4 托乍得定理 36
2.5 虧數和盈數 38
2.6 奇異數和半完美數 39
2.7 歐爾數和調和中值 41
2.8 歐爾數的變種 43
2.9 親和數問題 46？
2.10 k階完美數 49
2.11 三種推廣 51
2.12 S-完美數 53
2.13 黃金分割比猜想 57
第3章 斐波那契序列 60
3.1 比薩的萊奧納多 60
3.2 兔子問題 63
3.3 通項和極限 67
3.4 與連分數的關係 70
3.5 三個恒等式 72
3.6 相同的二項式系數 75
3.7 可整除序列 78
3.8 齊肯多夫定理 81
3.9 從2進制到3進制 86
3.10 希爾伯特第10問題 90
第4章 盧卡斯數和盧卡斯序列 93
4.1 盧卡斯數 93
4.2 斐波那契數的判定 99
4.3 斐波那契數的素因子 102
4.4 斐波那契數的同餘式 104
4.5 一個廣義的同餘式 106
4.6 Narayana序列的同餘式 108
4.7 畢達哥拉斯數組 111
4.8 丟番圖數組 114
4.9 生成函數 117
4.10 盧卡斯序列 120
4.11 皮薩羅周期 122
4.12 π(n)與π′(n) 124
4.13 盧卡斯數的素因子 126
第5章 完美數與斐波那契素數 128
5.1 平方完美數 128
5.2 若幹引理 130
5.3 定理的證明 132
5.4 與完美數有關的一個新猜想 134
5.5 帶常數項的平方完美數 139
5.6 平方完美數與孿生素數猜想 143
5.7 費爾馬素數與GM數 146
5.8 abcd方程 149
5.9 橢圓曲線的應用 153
5.10 盧卡斯序列 156
參考文獻 162
附錄1 前100個斐波那契數及其因子分解式 163
附錄2 前100個盧卡斯數及其因子分解式 167
索引 171
《現代數學基礎叢書》已出版書目 173
《現代數學基礎叢書》序
序言
第1章 完美數的歷史 1
1.1 何為完美數? 1
1.2《幾何原本》 3
1.3 尼科馬科斯 6
1.4 平方和與立方和 9
1.5 阿拉伯的海桑 11
1.6 梅森數和梅森素數 13
1.7 笛卡爾與費爾馬 16
1.8 歐拉–歐幾裡得定理 18
1.9 神父普沃茨米 21
1.10 雙L素數檢驗法 24
1.11 GIMPS計劃 27
第2章 完美數問題 30
2.1 偶完美數的性質 30
2.2 完美數問題 33
2.3 奇完美數 35
2.4 托乍得定理 36
2.5 虧數和盈數 38
2.6 奇異數和半完美數 39
2.7 歐爾數和調和中值 41
2.8 歐爾數的變種 43
2.9 親和數問題 46？
2.10 k階完美數 49
2.11 三種推廣 51
2.12 S-完美數 53
2.13 黃金分割比猜想 57
第3章 斐波那契序列 60
3.1 比薩的萊奧納多 60
3.2 兔子問題 63
3.3 通項和極限 67
3.4 與連分數的關係 70
3.5 三個恒等式 72
3.6 相同的二項式系數 75
3.7 可整除序列 78
3.8 齊肯多夫定理 81
3.9 從2進制到3進制 86
3.10 希爾伯特第10問題 90
第4章 盧卡斯數和盧卡斯序列 93
4.1 盧卡斯數 93
4.2 斐波那契數的判定 99
4.3 斐波那契數的素因子 102
4.4 斐波那契數的同餘式 104
4.5 一個廣義的同餘式 106
4.6 Narayana序列的同餘式 108
4.7 畢達哥拉斯數組 111
4.8 丟番圖數組 114
4.9 生成函數 117
4.10 盧卡斯序列 120
4.11 皮薩羅周期 122
4.12 π(n)與π′(n) 124
4.13 盧卡斯數的素因子 126
第5章 完美數與斐波那契素數 128
5.1 平方完美數 128
5.2 若幹引理 130
5.3 定理的證明 132
5.4 與完美數有關的一個新猜想 134
5.5 帶常數項的平方完美數 139
5.6 平方完美數與孿生素數猜想 143
5.7 費爾馬素數與GM數 146
5.8 abcd方程 149
5.9 橢圓曲線的應用 153
5.10 盧卡斯序列 156
參考文獻 162
附錄1 前100個斐波那契數及其因子分解式 163
附錄2 前100個盧卡斯數及其因子分解式 167
索引 171
《現代數學基礎叢書》已出版書目 173
書摘/試閱
第1章 完美數的歷史
能找到的完美數不多，好比人類一樣，要找一個完美的人亦非易事.——(法國)勒內 笛卡爾
1.1 何為完美數?
2000年，美國的克萊數學研究所提出了“千禧年數學問題”，共有七個難題，並承諾為每個難題的解決給予100萬美元的獎賞.克萊(Landon Clay，1926—2017)是波士頓商人，他創辦的數學研究所宗旨是“提升和傳播數學知識”.僅僅過了三年，其中的龐加萊猜想就被數學家佩雷爾曼(Grigori Perelman，1966—)攻克.又過了三年，在馬德裡召開的第25屆國際數學家大會上，國際數學聯盟授予佩雷爾曼數學領域的*高獎——菲爾茲獎，但他自認為已經從數學研究中獲得足夠的樂趣，故而拒絕領獎.稍後，他也拒絕了獎金豐厚的千禧年獎.
也是在2000年，意大利數學家、伽利略獎和皮亞諾獎獲得者皮 奧迪弗雷迪(P. Odifreddi，1950—)出版了《數學世紀——過去100年間30個重大問題》一書，闡述了20世紀取得重大突破的30個數學問題或進展，其中純粹數學15個、應用數學10個、數學與計算機5個.*後，他提出了未解決的4個難題，首先就是“完美數問題”，另外3個是黎曼猜想、龐加萊猜想和 P=NP 問題.奧迪弗雷迪曾執教米蘭大學和美國康奈爾大學，現為都靈大學的數理邏輯學教授，其哲學和政治觀點趨近於羅素(Bertrand Russell，1872—1970)和喬姆斯基(Noam Chomsky，1928—).
完美數(Perfect number，希臘語)，又譯為完全數或完備數，是指這樣的正整數，它自身以外的因子(真因子)之和恰好等於其本身.或許古埃及人已對此類數感興趣了，對此我們無法予以證實.但人們相信，公元前6世紀的古希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580—前500)已經做過這方面的研究了，他知道6和28是完美數，這是因為
6=1+2+3，
28=1+2+4+7+14.
畢達哥拉斯聲稱，“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，並且其和等於自身.”
從定義可以看出，一個自然數 n 是完美數當且僅當它滿足方程
圖1.1畢達哥拉斯像
(1.1)
這裡Σ是求和符號.若用希臘字母sigma來記，即，則(1.1)等價於
(1.2)
《聖經 舊約》首卷《創世紀》裡提到，上帝用6天的時間創造了世界，第7天是休息日.1世紀成書的《論創造》是亞歷山大的菲羅(Philo Judaeus或Philo of Alexandria，約前15—約50)的著作，這位操希臘語的猶太哲學家在書中聲稱，世界是在6天內創造出來的，月亮圍繞地球旋轉所需的時間是28天.後來，希臘神學家、聖經學家奧利金(Origen，約185—約254)和*博學的苦行者、盲人狄迪摩斯(Didymus the Blind，約313—約398)補充道，只有4個完美數小於10000.
圖1.2 聖奧古斯丁像
5世紀初，古羅馬哲學家、神學家聖奧古斯丁(Saint Augustine，354—430)在他的名著《上帝之城》中進一步寫道：“6這個數本身就是完美的，並不因為上帝造物用了6天；事實上，因為這個數是一個完美數，所以上帝在6天之內就把一切事物都造好了.”
那以後，完美數尤其是數字6對人類就有了特殊的含義和吸引力.例如，19世紀的美國詩人薩克斯(J. G. Saxe，1816—1887)依據古印度的寓言故事，寫成了一首詩《盲人與大象》，傳遍了世界.這首詩的開頭是這樣寫的，
六個印度斯坦男人
學習常常各有偏見
(雖說眼睛都已瞎了)
一次他們去看大象
各人用自己手觸摸
心裡頭以為有把握
他們得出的結論分別是：身體像一堵墻，牙齒如標槍，鼻子像一條蛇，耳朵如扇子，大腿像一棵樹，尾巴如粗繩.
1919年出版的英國作家毛姆(W. S. Maugham，1874—1965)的小說《月亮和六便士》，取材於法國畫家高更(Paul Gauguin，1848—1903)的故事，逃避現實的主題使之成為流行小說，成為文學史的經典之作.1968年，美國導演庫布裡克(Stanley Kubrick，1928—1999)拍攝了鴻篇巨制《2001：太空漫遊》，被公認為是引人深思的偉大影片之一.這部影片改編自科幻小說，虛構了人類登陸八億公裡以外木星的計劃，主要人物也是6位，他們是大衛船長、飛行員弗蘭克、機器人HAL9000和三位冬眠的宇航員.
1.2 《幾何原本》
古希臘有兩個歐幾裡得，一個是公元前5世紀後期蘇格拉底的學生、麥加拉哲學學派創立者 Euclid of Magara，另一個是我們熟知的有著“幾何學之父”美譽的數學家歐幾裡得(Euclid of Alexandria)，他生活在公元前4世紀和前3世紀之交，雖說我們不知道他的生卒年和出生地，但確信他曾在雅典的柏拉圖學園求學，後來執教於亞歷山大大學數學系.
歐幾裡得的代表作《幾何原本》(Elements)主要講幾何學，但第7—9章是關於算術即數論的，包括給出前述完美數的定義，書中得到了偶數是完美數的一個充分條件，即
若p和均為素數，則
(1.3)
必定是完美數.
圖1.3 19世紀的歐幾裡得塑像。現藏牛津大學博物館
圖1.4 《幾何原本》英文版（1570）
為了證明(1.3)，我們先來給出上節定義的數論函數σ(n)的計算公式，同時論證它是可乘函數，也即對於任意互素的正整數m和n，恒有
首先，若n=p是素數，則顯然它只有1和p兩個因子，
其次，若n=pk，則n的每個因子必為形如pi的整數，此處故而，由等比級數的求和公式，
再次，設n是兩個不同素數的乘積，n=pq，則n的所有因子為1，p，q和pq，故而，現在，假設m和n是互素的正整數，若d|mn，則由數論的整除性質可知，必定存在唯一的正整數dm和dn，dm|m，dn|n，滿足d=dmdn.事實上，我們可以取dm=(d，m)，dn=(d，n).反之，若dm|m，dn|n，則由(m，n)=1，可知dmdn|mn.因此，
σ(n)的可乘性得證.
有了σ(n)的可乘性，我們就可以得到它的計算公式
同時得知，(1.3)滿足(1.2)，||表示剛好整除.
歐幾裡得的證明因為和互素，即，故由σ(n)的可乘性，可求得的一切因子之和為.
圖1.5 柏拉圖的弟子阿契塔
上述完美數的充分條件及其證明出現在《幾何原本》第9章，屬於命題36(*後一個命題)，在同一章的命題20，歐幾裡得證明了素數有無窮多個.另一方面，相傳早在公元前4世紀，畢達哥拉斯學派的信徒、數學力學的奠基人阿契塔(Archytas，活動時期在公元前400—前350)就已經知道了這個充分條件.阿契塔是哲學家柏拉圖(Plato，公元前427—前347)的摯友，曾擔任希臘軍隊總司令一職，也被認為是風箏的發明者.
值得一提的是，《幾何原本》中譯本是在1607年出版的，由意大利傳教士、漢學家利瑪竇(M.Ricci，1552—1610)和明代學者徐光啟(1562—1633)合作翻譯.可惜他們只譯出前6章.全譯本要等到1857年才出版，後9章由英國傳教士、漢學家偉烈亞力(A. Wylie，1815—1887)和清代數學家李善蘭(1811—1882)合譯.也就是說，直到那時，中國人才知道完美數.據說當年譯完前6章時，徐光啟餘興未了，要求譯到第9章，利瑪竇未予同意.否則的話，我們祖先會早4個世紀就知道完美數和素數的那些事了.
1.3 尼科馬科斯
自從誕生以來，完美數就有著一種誘人的魔力，吸引著眾多的數學家和業餘愛好者，他們像淘金者一樣，永不停歇地去尋找.接下來發現的第3個和第4個完美數分別是496和8128，大約在公元100年，新畢達哥拉斯學派成員尼科馬科斯(Nicomachus，約60—約120)寫下了名著《算術引論》( Introduction to Arithmetic)，提到了這兩個完美數，這是現存*早的文字記錄.
在《算術引論》一書中，尼科馬科斯還提出了有關完美數的5個猜想，這些也是關於完美數*早的猜想：
圖1.6 《算術引論》的阿拉伯文譯本(901)，敘利亞數學家泰比特譯，現藏大英圖書館
1)第n個完美數是n位數;
2)所有的完美數都是偶數;
3)完美數交替以6和8結尾;
4)《幾何原本》中完美數的充分性也是必要的;
5)存在無窮多個完美數.
這其中，1)和3)後來被證明是錯誤的，4)被18世紀的瑞士數學家歐拉(L. Euler，1707—1783)證明了2)和5)，即今天所指的完美數問題.
尼科馬科斯出生於羅馬帝國敘利亞行省的杰拉什(Gerasa)，因此他被稱為Nicomachus of Gerasa.事實上，公元前4世紀，古希臘出過一個叫尼科馬科斯的畫家，只是作者既沒見到過他的作品，也不知兩個尼科馬科斯是否有血緣關係.
能找到的完美數不多，好比人類一樣，要找一個完美的人亦非易事.——(法國)勒內 笛卡爾
1.1 何為完美數?
2000年，美國的克萊數學研究所提出了“千禧年數學問題”，共有七個難題，並承諾為每個難題的解決給予100萬美元的獎賞.克萊(Landon Clay，1926—2017)是波士頓商人，他創辦的數學研究所宗旨是“提升和傳播數學知識”.僅僅過了三年，其中的龐加萊猜想就被數學家佩雷爾曼(Grigori Perelman，1966—)攻克.又過了三年，在馬德裡召開的第25屆國際數學家大會上，國際數學聯盟授予佩雷爾曼數學領域的*高獎——菲爾茲獎，但他自認為已經從數學研究中獲得足夠的樂趣，故而拒絕領獎.稍後，他也拒絕了獎金豐厚的千禧年獎.
也是在2000年，意大利數學家、伽利略獎和皮亞諾獎獲得者皮 奧迪弗雷迪(P. Odifreddi，1950—)出版了《數學世紀——過去100年間30個重大問題》一書，闡述了20世紀取得重大突破的30個數學問題或進展，其中純粹數學15個、應用數學10個、數學與計算機5個.*後，他提出了未解決的4個難題，首先就是“完美數問題”，另外3個是黎曼猜想、龐加萊猜想和 P=NP 問題.奧迪弗雷迪曾執教米蘭大學和美國康奈爾大學，現為都靈大學的數理邏輯學教授，其哲學和政治觀點趨近於羅素(Bertrand Russell，1872—1970)和喬姆斯基(Noam Chomsky，1928—).
完美數(Perfect number，希臘語)，又譯為完全數或完備數，是指這樣的正整數，它自身以外的因子(真因子)之和恰好等於其本身.或許古埃及人已對此類數感興趣了，對此我們無法予以證實.但人們相信，公元前6世紀的古希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580—前500)已經做過這方面的研究了，他知道6和28是完美數，這是因為
6=1+2+3，
28=1+2+4+7+14.
畢達哥拉斯聲稱，“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，並且其和等於自身.”
從定義可以看出，一個自然數 n 是完美數當且僅當它滿足方程
圖1.1畢達哥拉斯像
(1.1)
這裡Σ是求和符號.若用希臘字母sigma來記，即，則(1.1)等價於
(1.2)
《聖經 舊約》首卷《創世紀》裡提到，上帝用6天的時間創造了世界，第7天是休息日.1世紀成書的《論創造》是亞歷山大的菲羅(Philo Judaeus或Philo of Alexandria，約前15—約50)的著作，這位操希臘語的猶太哲學家在書中聲稱，世界是在6天內創造出來的，月亮圍繞地球旋轉所需的時間是28天.後來，希臘神學家、聖經學家奧利金(Origen，約185—約254)和*博學的苦行者、盲人狄迪摩斯(Didymus the Blind，約313—約398)補充道，只有4個完美數小於10000.
圖1.2 聖奧古斯丁像
5世紀初，古羅馬哲學家、神學家聖奧古斯丁(Saint Augustine，354—430)在他的名著《上帝之城》中進一步寫道：“6這個數本身就是完美的，並不因為上帝造物用了6天；事實上，因為這個數是一個完美數，所以上帝在6天之內就把一切事物都造好了.”
那以後，完美數尤其是數字6對人類就有了特殊的含義和吸引力.例如，19世紀的美國詩人薩克斯(J. G. Saxe，1816—1887)依據古印度的寓言故事，寫成了一首詩《盲人與大象》，傳遍了世界.這首詩的開頭是這樣寫的，
六個印度斯坦男人
學習常常各有偏見
(雖說眼睛都已瞎了)
一次他們去看大象
各人用自己手觸摸
心裡頭以為有把握
他們得出的結論分別是：身體像一堵墻，牙齒如標槍，鼻子像一條蛇，耳朵如扇子，大腿像一棵樹，尾巴如粗繩.
1919年出版的英國作家毛姆(W. S. Maugham，1874—1965)的小說《月亮和六便士》，取材於法國畫家高更(Paul Gauguin，1848—1903)的故事，逃避現實的主題使之成為流行小說，成為文學史的經典之作.1968年，美國導演庫布裡克(Stanley Kubrick，1928—1999)拍攝了鴻篇巨制《2001：太空漫遊》，被公認為是引人深思的偉大影片之一.這部影片改編自科幻小說，虛構了人類登陸八億公裡以外木星的計劃，主要人物也是6位，他們是大衛船長、飛行員弗蘭克、機器人HAL9000和三位冬眠的宇航員.
1.2 《幾何原本》
古希臘有兩個歐幾裡得，一個是公元前5世紀後期蘇格拉底的學生、麥加拉哲學學派創立者 Euclid of Magara，另一個是我們熟知的有著“幾何學之父”美譽的數學家歐幾裡得(Euclid of Alexandria)，他生活在公元前4世紀和前3世紀之交，雖說我們不知道他的生卒年和出生地，但確信他曾在雅典的柏拉圖學園求學，後來執教於亞歷山大大學數學系.
歐幾裡得的代表作《幾何原本》(Elements)主要講幾何學，但第7—9章是關於算術即數論的，包括給出前述完美數的定義，書中得到了偶數是完美數的一個充分條件，即
若p和均為素數，則
(1.3)
必定是完美數.
圖1.3 19世紀的歐幾裡得塑像。現藏牛津大學博物館
圖1.4 《幾何原本》英文版（1570）
為了證明(1.3)，我們先來給出上節定義的數論函數σ(n)的計算公式，同時論證它是可乘函數，也即對於任意互素的正整數m和n，恒有
首先，若n=p是素數，則顯然它只有1和p兩個因子，
其次，若n=pk，則n的每個因子必為形如pi的整數，此處故而，由等比級數的求和公式，
再次，設n是兩個不同素數的乘積，n=pq，則n的所有因子為1，p，q和pq，故而，現在，假設m和n是互素的正整數，若d|mn，則由數論的整除性質可知，必定存在唯一的正整數dm和dn，dm|m，dn|n，滿足d=dmdn.事實上，我們可以取dm=(d，m)，dn=(d，n).反之，若dm|m，dn|n，則由(m，n)=1，可知dmdn|mn.因此，
σ(n)的可乘性得證.
有了σ(n)的可乘性，我們就可以得到它的計算公式
同時得知，(1.3)滿足(1.2)，||表示剛好整除.
歐幾裡得的證明因為和互素，即，故由σ(n)的可乘性，可求得的一切因子之和為.
圖1.5 柏拉圖的弟子阿契塔
上述完美數的充分條件及其證明出現在《幾何原本》第9章，屬於命題36(*後一個命題)，在同一章的命題20，歐幾裡得證明了素數有無窮多個.另一方面，相傳早在公元前4世紀，畢達哥拉斯學派的信徒、數學力學的奠基人阿契塔(Archytas，活動時期在公元前400—前350)就已經知道了這個充分條件.阿契塔是哲學家柏拉圖(Plato，公元前427—前347)的摯友，曾擔任希臘軍隊總司令一職，也被認為是風箏的發明者.
值得一提的是，《幾何原本》中譯本是在1607年出版的，由意大利傳教士、漢學家利瑪竇(M.Ricci，1552—1610)和明代學者徐光啟(1562—1633)合作翻譯.可惜他們只譯出前6章.全譯本要等到1857年才出版，後9章由英國傳教士、漢學家偉烈亞力(A. Wylie，1815—1887)和清代數學家李善蘭(1811—1882)合譯.也就是說，直到那時，中國人才知道完美數.據說當年譯完前6章時，徐光啟餘興未了，要求譯到第9章，利瑪竇未予同意.否則的話，我們祖先會早4個世紀就知道完美數和素數的那些事了.
1.3 尼科馬科斯
自從誕生以來，完美數就有著一種誘人的魔力，吸引著眾多的數學家和業餘愛好者，他們像淘金者一樣，永不停歇地去尋找.接下來發現的第3個和第4個完美數分別是496和8128，大約在公元100年，新畢達哥拉斯學派成員尼科馬科斯(Nicomachus，約60—約120)寫下了名著《算術引論》( Introduction to Arithmetic)，提到了這兩個完美數，這是現存*早的文字記錄.
在《算術引論》一書中，尼科馬科斯還提出了有關完美數的5個猜想，這些也是關於完美數*早的猜想：
圖1.6 《算術引論》的阿拉伯文譯本(901)，敘利亞數學家泰比特譯，現藏大英圖書館
1)第n個完美數是n位數;
2)所有的完美數都是偶數;
3)完美數交替以6和8結尾;
4)《幾何原本》中完美數的充分性也是必要的;
5)存在無窮多個完美數.
這其中，1)和3)後來被證明是錯誤的，4)被18世紀的瑞士數學家歐拉(L. Euler，1707—1783)證明了2)和5)，即今天所指的完美數問題.
尼科馬科斯出生於羅馬帝國敘利亞行省的杰拉什(Gerasa)，因此他被稱為Nicomachus of Gerasa.事實上，公元前4世紀，古希臘出過一個叫尼科馬科斯的畫家，只是作者既沒見到過他的作品，也不知兩個尼科馬科斯是否有血緣關係.
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