高等代數（簡體書）

目錄
前言
第1章 整數與多項式 1
1.1 整數的算術性質 1
1.2 整數的同餘 7
1.3 複數與數域 10
1.4 一元多項式及其運算 15
1.5 多項式的帶餘除法與整除性 18
1.6 多項式的因式分解 30
1.7 重因式 32
1.8 多項式函數 34
1.9 複係數、實係數與有理係數多項式 37
1.10* 實係數多項式的實根 45
1.11* 多元多項式 50
習題1 56
第2章 行列式與矩陣 61
2.1 行列式的定義 61
2.2 行列式的性質 67
2.3 行列式按行(列)展開 74
2.4 克拉默法則 87
2.5 行列式的計算方法 90
2.6 矩陣的定義與運算 104
2.7 矩陣的秩 115
2.8 矩陣的相抵 120
2.9 分塊矩陣 126
2.10* 柯西-比內公式 138
習題2 142
第3章 線性方程組 154
3.1 消元法與初等變換 154
3.2 向量組的線性相關性 159
3.3 線性方程組解的結構 169
3.4* 結式與二元高次方程組 174
習題3 178
第4章 線性空間 183
4.1 定義與性質 184
4.2 維數、基與座標 188
4.3 子空間 190
4.4 商空間 196
習題4 197
第5章 線性映射 202
5.1 線性映射與同構 202
5.2 線性映射的矩陣表示 210
5.3 不變子空間與空間分解 218
5.4 特徵值與特徵向量 221
5.5 *小多項式 230
5.6 矩陣可對角化的條件 235
5.7 空間第一分解定理 241
5.8* 空間第二分解定理與若爾當標準形 249
習題5 257
第6章 λ-矩陣 266
6.1λ-矩陣在相抵下的標準形 266
6.2λ-矩陣的相抵不變數 274
6.3 數字矩陣的相似及有理標準形 281
6.4 複方陣在相似下的若爾當標準形 290
6.5* 整數矩陣簡介 295
習題6 298
第7章 二次型 300
7.1 二次型的矩陣與矩陣的合同 300
7.2 二次型的規範形 306
7.3 正定二次型 307
習題7 310
第8章 內積空間 314
8.1 歐幾裡得空間 314
8.2 正交矩陣與正交變換 321
8.3 三維空間中的旋轉與四元數 327
8.4 實對稱矩陣與實矩陣的極分解 332
8.5 *小二乘法 337
8.6* 酉空間 340
習題8 346
第9章 雙線性函數 350
9.1 雙線性函數 350
9.2* 二次空間 352
9.3* 辛空間 357
習題9 361
參考文獻 363
人名索引 365
符號索引 368
術語索引 370

第1章 整數與多項式
整數(integer)歷史悠久，一直以來都是數學研究的主要物件之一.西元前6世紀，畢達哥拉斯就已研究過整數的可除性問題.西元前3~4世紀，歐幾裡得證明了有無窮多個素數，給出了求兩個正整數的*大公因數的算法，建立了整數可除性的初步理論.我國古代許多著名的數學著作都有關於整數內容的論述.例如，《九章算術》的“方程”一章中正式引入負數及其加減運算法則，這在世界數學史上是*早的.
多項式(polynomial)源於代數方程的研究，在古巴比倫時代(約西元前1894—西元前1595)，人們已經知道如何求解一元二次方程.西元12世紀，出生於巴格達一個猶太家庭的薩瑪瓦爾.在他的著作《耀眼的代數》(Al-Bahir Fi’l-jabr)中已經給出了多項式的帶餘除法.1545年，卡爾達諾.在《重要的藝術》(Ars Magna)一書中給出了一元三次方程和一元四次方程的求根公式.19世紀上半葉阿貝爾.和伽羅瓦.分別證明了五次及五次以上一般形式的多項式方程沒有求根公式.高斯.於1799年證明了一般複係數多項式方程在複數域中有根.多項式是高等代數的基本研究物件之一，它對於進一步學習代數以及其他數學分支有重要的作用.
本章首先介紹整數的算術性質和同餘，然後研究一般數域上的多項式理論.
1.1 整數的算術性質
整數包括正整數、零和負整數.自然數(natural number)包括正整數和零.通常用N表示自然數集，正整數集記為而整數集用Z表示.為什麼用Z表示整數集呢?這歸功於傑出數學家埃米 諾特.她是德國人，德語中的數叫做Zahlen，她於1921年首次使用Z表示整數環(整數集本身是一個數環)，從此整數集就用Z表示了為後文需要，我們先介紹數學歸納法.數學歸納法是數學證明的一種重要方法，它主要用來證明與自然數有關的命題的正確性.與自然數有關的命題有很多，例如
(1);
(2);
(3);
(4)邊凸多邊形內角之和是，其中;
(5);
(6).
要證明它們的正確性，我們不能對每個n一一去驗證，也不能只驗證前100，1000，甚至前10000個n的值.我們需要用一種嚴格的數學推理來證明.這種嚴格的數學推理就是數學歸納法(mathematical induction).
已知*早使用數學歸納法的證明出現於16世紀，據說義大利一位數學家(伽利略的老師)於1575年用歸納法證明了前n個奇數之和是n2，由此揭開了數學歸納法之謎，直到19世紀，德 摩根才首次提出了“數學歸納法”的概念.這裡我們主要介紹數學歸納法的兩種等價形式以及與它們等價的良序原理.
定理1.1.1 (第一歸納法(first form of induction))設Pn是一個與自然數有關的命題，其中是某一固定的整數.若
(1)當n=n0時，Pn0成立，
(2)對任意整數，由Pk成立可以推出Pk+1成立，則對任意整數成立.
定理1.1.2 (第二歸納法(second form of induction))設Pn是一個與自然數有關的命題，其中是某一固定的整數.若
(1)當時，成立，
(2)對任意整數，由都成立可以推出Pm+1成立，
則對任意整數成立.
定理1.1.3 (良序原理(well-ordering principle))設 n0是某一固定的整數，且，則 S 中任一非空子集都有*小數.特別地，自然數集的任一非空子集都有*小數.
定理1.1.4 (整數的帶餘除法(division algorithm for integers))設且n6=0，則存在**一對使得，其中.通常稱q為m除以n的商(quotient)，而稱r為m除以n的餘數(remainder).
證明 因為n6=0，不妨假設n>0(否則考慮).先證存在性.
首先，我們給一個直觀的證明.用n的倍數將數軸劃分為長度為n的區間，則m必在某個分點上或在某兩個分點之間，如下圖.
因此，存在使得.令，則，其中.
下面我們用良序原理證明.考慮集合.
(1)此時存在整數k使得，則.
(2)此時m6=0(若，則，矛盾).
若m>0，則.若m<0，則.
由此可見，S是自然數集合的非空子集.由良序原理知，S中有一個*小數r，即存在整數q使得，從而.
若，則，並且.因此，是S中小於r的數，與r是S中的*小數矛盾!故，其中.
下證**性.
若，其中，且，則.若，則.不妨設，則.但是，矛盾!所以.**性得證.
定義1.1.5 設.
(1)若存在k2Z使得m=kn，則稱n整除(divide) m，此時， n稱為m的因數(divisor 或 factor)， m稱為n的倍數(multiple).當n整除m時，記作，否則，記作.
(2)若既是m的因數，又是n的因數，則稱d是m與n的公因數(common divisor).若d是m與n的公因數，並且m與n的任一公因數都是d的因數，則稱d是m與n的*大公因數(greatest common divisor).
(3)若既是m的倍數，又是n的倍數，則稱l是m與n的公倍數(commonmultiple).若l是m與n的公倍數，並且m與n的任一公倍數都是l的倍數，則稱l是m與n的*小公倍數(least common multiple).
注記1.1.6 由上述定義可知
(1)在的定義中，n可以為零，此時m=0;若n6=0，則當且僅當m除以n的餘數為0.
(2)任意整數整除0;任意整數整除它自身; 1整除任意整數.
(3)若，則;若，則;若，則對任意整數s，t都有.
(4)若d1，d2都是m與n的*大公因數，則d1= d2.若mjn，則m是m與n的*大公因數.特別地，m是m與0的*大公因數.當然，0是0與0的*大公因數.當m，n不全為零時，m與n的*大公因數不為零，此時常用(m，n)表示m與n的正的*大公因數.
(5)兩個整數的*小公倍數在相差一個正負號的意義下是**的.若m，n中有一個為0，則0是m與n的**公倍數，因此，由定義可知，0就是它們的*小公倍數.對於全不為零的兩個整數m與n，常用[m，n]表示它們的正的*小公倍數.
(6)對於任意k個整數，可以類似於兩個整數的情形定義它們的*大公因數和*小公倍數.以後常用和，分別表示的正的*大公因數和正的*小公倍數.
例1.1.7 設整數m，n不全為零.如果存在整數q，r使得，證明:(m，n)=(n，r).
證明因為並且，所以.於是，由*大公因數的定義知.同理.故(m，n)=(n，r).
定理1.1.8 設，則m，n的*大公因數d存在且**(不計符號的意義下)，並且d可表示為m與n的組合，即存在使得
證明由定義可知，兩個整數的*大公因數在相差一個正負號的情況下是**的.下面證明存在性.
若，則n是m與n的*大公因數，並且.若，此時，不妨設n>0.由帶餘除法得
(1.1.1)
注意，由於逐漸遞減，所以存在正整數 s 使得但.於是，根據例1.1.7.由(1.1.1)式知.如此繼續下去，逐個消去，得到整數使得.
上述定理中用來求*大公因數的方法通常稱為輾轉相除法或歐幾裡得算法(Euclidean algorithm).
定義1.1.9 設.若(m，n)=1，則稱m與n互素(relatively prime 或coprime).設，其中.若，則稱互素.如果當時，mi與mj互素，那麼稱m1，m2， ，mt兩兩互素(pairwise coprime).
下面的命題給出了整數互素的一些性質.
命題1.1.10 設m，n，k都是整數.
(1)m與n互素當且僅當m與n僅以1為公因數.
(2)m與n互素當且僅當存在整數u，v使得um+vn=1.
(3)若m，n不全為零，則.
(4)若，且(m，n)=1，則.
(5)若m，n為正整數，則.
(6)若，則，特別地，若(m，n)=1，則.
(7)若(m，k)=1，(n，k)=1，則.
證明 (1)由定義即知.
(2)必要性由定理1.1.8即知.
充分性設d是m與n的公因數，則dj1.由此可見，m與n僅以 1為公因數，故m與n互素.
(3)由定理1.1.8知，存在使得.注意(m，n)6=0，所以，從而由(2)知.
(4)因為(m，n)=1，所以存在整數u，v使得，從而.由於，故.
(5)設，則由(3)知.令，則，因此，l是m與n的公倍數.若k是m與n的任一公倍數，則存在使得，從而，即.由於(m1，n1)=1，所以由(4)知.於是存在使得，從而，即k是l的倍數.故.
(6)由*小公倍數的定義以及(5)即得.
(7)因為，所以存在使得.於是，即.故由(2)知.
推論1.1.11 設k，n，mi都是整數.
(1)若，則.
(2)若，則，特別地，若m1，m2， ，mt兩兩互素，則.
定義1.1.12 設p為整數，並且.若p的全部因數為，則稱p為素數(primenumber).通常約定素數是正的.
設p>1.易見，p是素數當且僅當p不能分解為兩個小於p的正整數之積.
定理1.1.13 設整數p>1，則下列陳述等價:
(1)p是素數;
(2)對任意整數m，總有或(p，m)=1;
(3)對任意兩個整數m，n，如果，那麼或.
證明 (1)=)(2)任取一個整數m，令(m，p)=d，則djp.因為p是素數，所以d=1或d=p.由此可見，或(p，m)=1.
(2)設m，n是任意兩個整數，並且.若，則由條件(2)知，(p，m)=1.由命題1.1.10(4)知.
(3)(1)若p不是素數，則存在整數p1，p2使得，並且1 推論1.1.14 設.若p是素數，並且，則存在，使得.
定理1.1.15 (算術基本定理(fundamental theorem of arithmetic))任意