數學：它的內容，方法和意義(第一卷)（簡體書）

數學，由於實際的需要在古代便已經產生了，現在發展成為分支眾多的龐大系統。數學正如其他科學一樣，反映了物質實際的規律，並成為理解自然和征服自然的有力武器。但由於數學本身的高度抽象性，致使它的新的部門比較難為非專業的人所理解。正因為數學的這種抽象特徵，所以還在古代便產生了認為數學與物質實際無關的唯心概念。
在編寫這本書時，作者們是從這樣的共同願望出發，即要向蘇聯知識界的相當廣大的階層介紹每個數學分支的內容與方法，它的物質基礎及發展道路。
讀者只要具備中等學校數學課程的知識就能閱讀本書；但三卷中每卷材料的難易程度是不一致的，要想初步認識高等數學的原理，可讀前面幾章；但要全部理解以後各章，則需要參考相應的教科書。對全書而言，則基本上只有那些在運用數學分析方法（微分法與積分法）已有某些經驗的讀者才容易理解，對於這類讀者——自然科學與工程專業界人士及數學教師——引導他們熟悉更新的數學分支的那些章節是特別重要的。
自然，要在一部書裡概括數學研究的豐富內容（即使是它幾個主要方向的），是不可能的，因此在選材方面就必須有某些自由。但總的說來，這部書應當能使讀者對近代數學的情況及其發生與整個發展的前景大致有一個概念。因此在一定程度上也考慮到那些已知道書中所用的事實材料的基本部分的人。這本書當能幫助我們的某些青年數學工作者消除他們有時常有的某些眼界的狹隘性。
本書各章由不同的作者寫成，作者的姓名分載於目錄中。但作為一部完整的著作來說，則是一個集體勞動的產物。它的總的計畫、材料的選擇、各章文稿的內容，都經過集體討論，並在熱烈地交換意見的基礎上加以改善。蘇聯很多城市的數學家在有關的討論會上對本書的初稿發表了寶貴的意見，這些意見和建議，作者們都曾加以考慮。

原序

第一章 數學概觀
§1.數學的特點
§2.算術
§3.幾何
§4.算術和幾何
§5.初等數學時代
§6.變數的數學
§7.現代數學
§8.數學的本質
§9.數學發展的規律性

第二章 數學分析
§1.緒論
§2.函數
§3.極限
§4.連續函數
§5.導數
§6.微分的法則
§7.極大與極小.函數圖形的研究
§8.函數的增量與微分
§9.泰勒公式
§10.積分
§11.不定積分.積分的技術
§12.多元函數
§13.積分概念的推廣
§14.級數

第三章 解析幾何
§1.緒論
§2.笛卡兒的兩個基本觀念
§3.一些最簡單的問題
§4.由一次和二次方程所表示的曲線的研究
§5.解三次和四次代數方程的笛卡兒方法
§6.牛頓關於直徑的普遍理論
§7.橢圓、雙曲線和拋物線
§8.把一般的二次方程化成標準形狀
§9.用三個數規定力、速度和加速度.向量理論
§10.空間解析幾何.空間中的曲面的方程和曲線的方程
§11.仿射變換和正交變換
§12.不變數理論
§13.射影幾何
§14.羅侖茲變換
結束語

第四章 代數（代數方程的理論）
§1.緒論
§2.方程的代數解
§3.代數基本定理
§4.多項式的根在複平面上的分佈的研究
§6.根的近似計算法

第二，一些分析方面的問題，在開始應用代數的方法以後，變成明顯的和容易理解的，這些方法是建立在一次方程組理論的深刻推廣（對於無窮多的情形）的基礎上的。
最後，代數的高深部分在近代物理中找到了應用，即量子力學的基本概念是借助於複雜的並且不初等的代數物件表達的。
代數學史的基本特徵如下：
首先必須指出的是：關於什麼是代數以及代數的基本問題是什麼這兩個問題的觀念有兩次改變，一次是上世紀的前半期，而另一次是在本世紀初。在三個不同時期內，人們將三個很不相同的東西理解為代數學，代數學的這些歷史不同於解析幾何、微分學及積分學這三種著名的計算學科的歷史，後者是由它的創始人——費爾馬、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨及其他學者所親手奠立的，在進一步的蓬勃發展過程中，甚至有時是用大量的新篇章來補充的時候，它們本來面目在原則上卻只有較少的改變。
在古代，為了解決某些種類的數學問題而找到的任何法則都是用語句把它記下來，因為那時字母標記法還沒有發明。“代數”這個字本身是由九世紀的花刺子模學者的最重要的著作的名稱產生的，這個學者叫做穆罕默德·阿裡·花刺子模（參看第一章），在他的著作裡產生了第一個解一次及二次方程的一般性法則。然而字母標記法的引進通常是和維耶特的名字相聯繫的，他不僅用字母表示未知數，並且開始用字母表示給定的量，笛卡兒對於字母標記法的發展也做了不少工作，於是通常的數也可用字母表示。從這個時候開始，實際上把代數看成是關於字母計算，關於由字母構成的公式的變換以及關於代數方程等等的科學，它與算術的不同在於算術永遠是對具體數字的運算。
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