數學問題(第二版‧珍藏版)（簡體書）

數學思想是數學家的靈魂。試想：離開公理化思想，何談歐幾裡得、希爾伯特？沒有數形結合思想，笛卡兒焉在？沒有數學結構思想，怎論布爾巴基學派？……
數學家的數學思想當然首先體現在他們的創新性數學研究之中，包括他們提出的新概念、新理論、新方法。牛頓、萊布尼茨的微積分思想，高斯、波約、羅巴切夫斯基的非歐幾何思想，伽羅瓦“群”的概念，哥德爾不完全性定理與圖靈機，納什均衡理論，等等，匯成了波瀾壯闊的數學思想海洋，構成了人類思想史上不可磨滅的篇章。
數學家們的數學觀也屬於數學思想的範疇，這包括他們對數學的本質、特點、意義和價值的認識，對數學知識來源及其與人類其他知識領域的關係的看法，以及科學方法論方面的見解，等等。當然，在這些問題上，古往今來數學家們的意見是很不相同，有時甚至是對立的。但正是這些不同的聲音，合成了理性思維的交響樂。
正如人們通過繪畫或樂曲來認識和鑒賞畫家或作曲家一樣，數學家的數學思想無疑是人們了解數學家和評價數學家的主要依據，也是數學家貢獻於人類和人們要向數學家求知的主要內容。在這個意義上我們可以說：
“數學家思，故數學家在。”
數學思想的社會意義
數學思想是不是只有數學家才需要具備呢？當然不是。數學是自然科學、技術科學與人文社會科學的基礎，這一點已越來越成為當今社會的共識。數學的這種基礎地位，首先是由於它作為科學的語言和工具而在人類幾乎一切知識領域獲得日益廣泛的應用，但更重要的恐怕還在於數學對於人類社會的文化功能，即培養發展人的思維能力，特別是精密思維能力。一個人不管將來從事何種職業，思維能力都可以說是無形的資本，而數學恰恰是鍛煉這種思維能力的“體操”。這正是為什麼數學會成為每個受教育的人一生中需要學習時間最長的學科之一。這並不是說我們在學校中學習過的每一個具體的數學知識點都會在日後的生活與工作中派上用處，數學對一個人終身發展的影響主要在於思維方式。以歐幾裡得幾何為例，我們在學校裡學過的大多數幾何定理日後大概很少直接有用甚或基本不用，但歐氏幾何嚴格的演繹思想和推理方法卻在造就各行各業的精英人才方面有著毋庸否定的意義。事實上，從牛頓的《自然哲學的數學原理》到愛因斯坦的相對論著作，從法國大革命的《人權宣言》到馬克思的《資本論》，乃至現代諾貝爾經濟學獎得主們的論著中，我們都不難看到歐幾裡得的身影。另一方面，數學的定量化思想更是以空前的廣度與深度向人類幾乎所有的知識領域滲透。數學，從嚴密的論證到精確的計算，為人類提供了精密思維的典範。
一個戲劇性的例子是在現代計算機設計中扮演關鍵角色的“程序內存”概念或“程序自動化”思想。我們知道，第一臺電子計算機（ENIAC）在制成之初，由於計算速度的提高與人工編制程序的遲緩之間的尖銳矛盾而瀕於夭折。在這一關鍵時刻，恰恰是數學家馮·諾依曼提出的“程序內存”概念拯救了人類這一偉大的技術發明。直到今天，計算機設計的基本原理仍然遵循著馮·諾依曼的主要思想。馮·諾依曼因此被尊為“計算機之父”（雖然現在知道他並不是歷史上提出此種想法的唯一數學家）。像“程序內存”這樣似乎並非“數學”的概念，卻要等待數學家並且是馮·諾依曼這樣的大數學家的頭腦來創造，這難道不耐人尋味嗎？