數學分析選講（簡體書）

目錄
前言
第1章 映射、關係、實數域 1
1.1 映射、關係 1
1.1.1 一些常用的符號 1
1.1.2 映射 4
1.1.3 關係 9
習題 1.1 12
1.2 有理數集的性質及其缺陷 13
1.2.1 有理數集 Q 的基本性質 14
1.2.2 有理數序列的極限 16
1.2.3 有理數基本序列 19
習題 1.2 23
1.3 實數的康托爾構造 24
1.3.1 實數的定義 24
1.3.2 實數的運算 25
1.3.3 實數的序 26
1.3.4 實數的完備性 30
習題 1.3 33
1.4 實數集上的幾個等價定理 33
1.4.1 魏爾斯特拉斯的單調有界定理 34
1.4.2 柯西–康托爾的閉區間套定理 36
1.4.3 戴德金的分割定理 37
1.4.4 確界定理 38
1.4.5 海涅–博雷爾的有限覆蓋定理 40
1.4.6 魏爾斯特拉斯的聚點定理 41
1.4.7 波爾查諾的致密性定理 42
1.4.8 柯西收斂準則 44
習題 1.4 44
第2章 函數極限及其計算技巧 47
2.1 函數的極限 47
2.1.1 一元函數的極限 47
2.1.2 一元函數極限的性質 52
習題 2.1 56
2.2 Rn 上的點集及多元函數的極限 58
2.2.1 Rn 上的點集 58
2.2.2 多元函數的極限 68
習題 2.2 72
2.3 上極限與下極限 73
2.3.1 數列的上極限與下極限 73
2.3.2 上、下極限的性質 76
2.3.3 函數的上、下極限 82
習題 2.3 84
2.4 階的估計 85
2.4.1 基本概念 85
2.4.2 有關 O 與 o 的基本運算法則 89
2.4.3 幾個基本方式及應用 91
習題 2.4 96
2.5 施托爾茨定理及其推廣 97
2.5.1 施托爾茨定理 98
2.5.2 洛必達法則 104
2.5.3 特普利茨定理 106
習題 2.5 109
第3章 連續與微分 111
3.1 連續與一致連續 111
3.1.1 連續與一致連續的概念 111
3.1.2 連續函數的性質 114
3.1.3 一致連續的條件 117
3.1.4 運算法則 122
習題 3.1 125
3.2 導數、微分中值定理 126
3.2.1 有關導數的幾個特性 127
3.2.2 可導與連續 130
3.2.3 微分中值定理及其推廣 133
習題 3.2 138
3.3 不等式與凸函數 139
3.3.1 幾個例子 139
3.3.2 凸函數 143
習題 3.3 153
3.4 方向導數、偏導數及全微分 154
3.4.1 方向導數和偏導數 154
3.4.2 全微分 158
3.4.3 混合偏導的一個問題 163
3.4.4 含有導數、偏導數式子的變量代換 165
習題 3.4 171
3.5 隱函數理論 173
3.5.1 壓縮映像原理 173
3.5.2 隱函數定理 175
3.5.3 反函數組與坐標變換 183
3.5.4 雅可比行列式的性質 185
習題 3.5 191
第4章 級數 192
4.1 一致收斂性與累次極限 192
4.1.1 函數列的一致收斂性 192
4.1.2 累次極限 200
4.1.3 二元函數的一致收斂性 202
習題 4.1 206
4.2 等度連續 208
習題 4.2 213
4.3 數項級數和二重級數 213
4.3.1 數項級數 214
4.3.2 平均求和 228
4.3.3 二重級數 231
習題 4.3 238
4.4 函數項級數的一致收斂性 241
習題 4.4 255
4.5 三角函數系與傅裡葉級數 257
習題 4.5 279
第5章 積分 282
5.1 黎曼可測集 282
習題 5.1 287
5.2 黎曼積分 287
習題 5.2 295
5.3 連續函數的積分 296
習題 5.3 314
5.4 積分計算舉例 315
習題 5.4 327
5.5 廣義積分 328
5.5.1 一元函數的廣義積分 329
5.5.2 廣義重積分 338
習題 5.5 343
5.6 含參數積分 345
5.6.1 含參數正常積分 345
5.6.2 含參數廣義積分 349
5.6.3 含參數廣義積分的性質 353
5.6.4 歐拉積分 357
習題 5.6 362
第6章 曲線積分、曲面積分、場論 364
6.1 曲線積分 364
6.1.1 曲線及其長度 364
6.1.2 第一型曲線積分 366
6.1.3 第二型曲線積分 368
習題 6.1 369
6.2 曲面積分 370
6.2.1 曲面及其面積 370
6.2.2 第一型曲面積分 373
6.2.3 第二型曲面積分 373
習題 6.2 378
6.3 幾類積分之間的關係 379
6.3.1 兩類曲線積分之間的關係 379
6.3.2 兩類曲面積分之間的關係 379
6.3.3 平面線積分與二重積分之間的關係 380
6.3.4 空間曲面積分與三重積分之間的關係 383
6.3.5 曲面積分與曲線積分之間的關係 385
習題 6.3 387
6.4 場論 389
6.4.1 場的概念 389
6.4.2 梯度、散度和旋度 390
6.4.3 微分恒等式 396
習題 6.4 398
參考文獻 399

第1章映射、關係、實數域
1.1映射、關係
這一節，首先介紹一些常用的符號，這些符號將貫穿課程的始終;然後再介紹映射的概念，它是中學裡函數概念的更一般形式，也是本課程的研究物件;在關係裡，主要介紹等價關係與序的關係，目的是為建立實數理論做準備.
1.1.1一些常用的符號
1.有關集合的符號
先回顧一下大家熟知的有關集合的符號.我們一般用大寫字母A，B，C， 作為集合的符號，而用小寫字母a，b，c， 表示集合的元素.若a是集合A的元素，記為a∈A;若a不是集合A的元素，記為a2A(或a/2A).
設集合A由具有某種性質P的元素x組成，我們常把集合A用如下形式表示:
A={x丨x具有性質P}.
例如，
{x丨x2>2，x>0，x為有理數}
表示大於p2的所有有理數組成之集;
{(x，y)丨x2+y2<1}
表示以原點為中心，以1為半徑的圓內的點構成的集合.
我們規定用以下特定的字母來表示一些常用之集:
N——所有自然數之集;
N+——所有正整數之集;
Z——所有整數之集;
Q——所有有理數之集;
R——所有實數之集;
R2——在直角坐標平面上所有點之集;
——不含任何元素之集，即空集.
用BA表示B是A的子集，即B的元素都是A的元素.
用A=B表示集合A與集合B相等，即AB且BA.
用AB表示A與B的並集，即由或屬於A或屬於B的元素組成之集.
用AB表示A與B的交集，即由既屬於A又屬於B的元素組成之集.
用A-B表示A與B的差集，即由屬於A而不屬於B的元素組成之集.
若AB，則差集AB稱為B在A中的余集，記為CAB=A-B.經常有這種情況:在某討論過程中，所有的集合都是某集合U的子集，則U稱為全集，我們就記Bc=CUB.
2.邏輯符號
常用的數學邏輯符號有:(非)、^(且)、_(或)、)(蘊含，若 ，則 )、，(等價，當且僅當).
在語言的句子裡，凡可決定其真假的語句便稱為命題.語句“所有的人都有頭”和“所有的魚都會飛”就是兩個命題，前者是真命題，後者是假命題.但像“現在是幾點?”“數x與y之和等於5”都不是命題.
我們常用字母P，Q來表示命題.在命題運算中，:P(非P)，也記為P.P是P的否定，若P為真，則P為假;若P為假，則P為真.例如，P表示“雪是黑色的”，這是一個假命題，它的否定P就是“雪是黑色的是不對的”，還可表述為“雪不是黑色的”，它是一個真命題.
PQ表示命題P與命題Q中至少有一個為真，則PQ為真.
P^Q表示命題P與命題Q兩者均為真，則P^Q為真.
用T表示真，{表示假，它們的真假關係可列成真值表:
假定P是某命題，它的否定P也是命題，因此，P的否定可以表示為命題P.P與P同真、同假，且它們的內容、意義也是相同的，記為P=P.P^Q與Q^P也是同真同假，內容與意義也是相同的，同樣可記P^Q=Q^P.類似地，PQ=QP.
命題“若P，則Q”稱為命題P蘊含命題Q，並用記號寫作PQ，在蘊含PQ中，命題P稱為蘊含條件，而命題Q是它的結論.我們也賦予另一種文字解釋:Q是P的必要條件，或P是Q的充分條件.
約定“PQ”只在一種情況下是假的:命題P真，而命題Q假;在其他情況下都真，即P真，Q真，則PQ真;P假，不論Q是真或是假，PQ總是真.
由兩命題P，Q可組成讀作“P當且僅當Q”的新命題，這個新命題稱為P和Q的等價命題，並記作P，Q.亦稱P是Q的充分且必要條件.如果兩命題都真或兩命題都假，則認為命題P，Q是真的，在其他的情況下為假.
綜上所述，蘊含與等價的真值表有形式:
從上面的真值表可以查到
下面再介紹謂詞與量詞.
假定語句包含著可以在集合X中取值的變量A(x)，x∈X，並且代入任一變量值，便可使語句變為真命題或假命題，這時，就把這個語句稱為謂詞，集合X稱為謂詞的定義域.例如，2是無理數，3在區間(0，1)內，這裡“是無理數”“在區間(0，1)內”都是謂詞.設x∈R，以G(x)表示x是無理數，G(x)表示x在區間(0，1)內，則G(2)是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.
謂詞前加上邏輯中稱為量詞“所有的”“存在著”等詞時，謂詞也變為命題.
量詞“所有的”用符號“8”表示，稱為全稱量詞，也可以用“每一個”“任意的”“任何的”來代替“所有的”一詞.
命題“對所有的x∈X，適合謂詞P(x)”，當且僅當對於集合X的所有元素x，命題P(x)為真時，才是真.我們約定，這個命題記作
讀作“對於X中的所有x，P(x)為真”.
量詞“存在”用符號“9”表示，稱為存在量詞.命題“存在x∈X滿足謂詞P(x)”當且僅當有集合X的一元素x，使得命題P(x)為真時，上述命題為真.用符號記作
讀作“存在屬於X的x，使P(x)為真”.
如果全集X是什麼，不會引起混淆，則把與分別記為與.
語句“存在x，使P(x)成立”的否定，就是“對於所有的x，P(x)均不成立”，可表示為
“對於所有x，P(x)成立”的否定，就是“存在x，使P(x)不成立”可表示為
“當x>a時，P(x)成立”的否定，就是“存在某個x>a，P(x)不成立”，用符號表示應當是
還約定用符號“=”表示“按定義等於”.例如A是B的子集，可定義為
A與B的並集，可定義為
1.1.2映射
1.映射的定義
定義1.1.1設A與B是兩個集合，如果按照某種法則f，使得對於每一個x∈A，都有唯一確定的y∈B與之對應，則稱f是集合A到集合B的映射，記作
A中的元素x所對應的B中的元素y稱為x的像，x稱為y的原像.通常把對應於x的像記為f(x)，用符號x(x)表示.全體像所組成之集
稱為映射f的值域，A稱為f的定義域.
由於集合A，B性質不同，映射在不同的數學分支裡各有其同義詞:函數、變換、算子等.在數學分析裡，B是實數集R的子集，若A也是R的子集，則稱f為一元函數;若A是R2的子集，則稱f為二元函數;若A=N，則稱f為無限數列;等等.
如果兩個映射{1，{2有相同的定義域A，且對，則稱f1與f2相同或相等，這時記為f1=f2.
2.映射的分類
定義1.1.2若f:A→B，且f(A)=B，則稱f是一個滿射，或稱f是A到B上的映射.
注映射與滿射是有區別的，前者f(A)B，後者f(A)=B，後者是前者的特殊情形.再注意稱呼上的區別:前者泛稱f是“A到B的映射”，後者稱f是“A到B上的映射”，多了“上”這個字.
例1.1.1設A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，我們規定f:A→B如下:
在這個例子裡，f的像集是{1，3，7}.它是B的真子集，故f不是滿射.若規定
這時g(A)={1，3，5，7}=B，g就是滿射了.
滿射的定義也可改寫為
若f:A→B，對y∈B，x∈A，使得f(x)=y.
定義1.1.3若f:A→B，對A中任意兩個不同的x1與x2，都有f(x1)6=f(x2)，則稱f是單射.
f為單射也可改寫為
例1.1.2設A={x丨x∈R}，B={y丨y.0}，對應關係
是A到B上的映射，但不是單射，因為A中的元素a(a≠0)和，同時對應於B中同一元素y=a2.如果規定A={x丨x.0}，B={y丨y.0}，則映射
是從A到B上的單射.
定義1.1.4如果既是滿射又是單射，就說{是雙射(或一一映射).
定義1.1.5如果是雙射，則定義映射f-1如下:
若f(x)=y，則f-1(y)=x，映射
稱為f的逆映射.這時f-1的定義域是f的值域，而f-1的值域是f-1的定義域.
我們這樣定義映射f-1是合理的，因為只有當x在f下的像為y時，才認為y與x對應，由f的滿射性，對y∈B，都有這樣的x存在;而由f的單射性，它又是唯一的.因此，映射完全確定.
由逆映射的定義看到，本身也是雙射的，並且它的逆映射與一致.
3.等勢
定義1.1.6如果存在A到B上的一一映射，那麼就說A和B可以建立一一對應，並稱A與B是等勢的.
若集合所包含的元素的個數只有有限個，稱此集合為有限集.若兩個有限集，它們的元素個數是相同的，它們之間就可以建立一一對應.例如，A={a1，a2， ，an}，B={b1，b2， ，bn}，規定
這時f是A到B上的一一映射，因此A與B是等勢.但如果A和B兩個有限集的元素個數不同，那就無法建立一一對應了，A與B也就不等勢.
例1.1.3N={1，2，3， ，n， }，M={2，4，6， ，2n， }，雖然M是N的真子集，我們也可以建立它們之間的一一映射關係.令
不難證明{是雙射，因此，N與M等勢.
定義1.1.7凡與自然數集N等勢的集合稱為可數集.
例1.1.4證明整數集Z是可數集.