科學人雜誌

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密舖最少需要幾個角？
數學家發現一類可以鋪滿平面或空間的特殊形狀，稱之為軟胞，
他們也意外發現，這類形狀存早就存於自然中的魚鱗、扁豆、菊石殼中。

撰文／卡茨（Elise Cutts）
攝影／瓦吉那（Jelle Wagenaar）
翻譯／畢馨云

在和數學家多莫科斯（Gábor Domokos）一起用餐時，他邊吃披薩邊問我：「能鋪滿平面的形狀，最少需要幾個頂角？」這個問題看似簡單，卻和密鋪（tiling，也稱為鑲嵌）的幾何學有關；密鋪是用特定的形狀（稱為磚或胞）以不同排列方式鋪滿平面、不留下任何縫隙且沒有重疊。人類自古就著迷於密鋪，最早可追溯到蘇美時期，密鋪在當時的建築和藝術佔一席之地。但在古代哲學家沉浸在如何排列磚的漫長歲月中，似乎沒有人思考過密鋪磚的頂點（邊線相交的尖角）數目是否有其下限。直到多莫科斯和其團隊不斷嘗試如何讓磚的頂角變少，結果發現了一種全新的形狀。

2023年的夏天，我和多莫科斯對坐在黑狗（Black Dog）露天披薩餐廳的木製野餐桌，這家舒適的餐廳專賣披薩和葡萄酒，距離匈牙利布達佩斯科技經濟大學只隔了幾條街，而他正是這所大學的教授。多莫科斯從對面伸手拿起一張披薩菜單，翻到背面的空白頁，然後示意我拿筆。當我在菜單背面畫滿三角形時，仲夏的天空已逐漸呈現橘色和靛藍。他興趣盎然地在旁觀看，然後接著說：「你可以嘗試用曲線。」於是我開始畫了圓形填空，但圓形當然無法填滿平面。不過多莫科斯露出笑容說：「哦，這挺有趣的！繼續做，形狀可以混搭，只要想辦法讓頂角的平均數目越少越好。」

我繼續嘗試。紙張上畫滿極端且扭曲的圓形。多莫科斯老早把瑪格麗特披薩吃掉，但他還沒準備離開，僅掃視我畫的那張無法判定頂角平均數目、更不用說最小數目的草圖。不過正確答案應該要小於三角形的頂點數3，不然這個問題很無聊。

這項觀察似乎讓眼前這位數學家很滿意，他揭曉答案是2。他說：「這是簡單的問題，但如果是在三維的情況呢？」

如今，距離我們坐在披薩餐廳的那晚已過一年多，多莫科斯找到了答案。尋找答案的過程充滿興奮與沮喪，最後他和三位同事發現了「軟胞」（soft cell），這種形狀以盡可能少的角拼在一起，填滿平面或三維空間。二維中，軟胞有兩個由曲線橋接而成的角；但在三維中，這些彎曲的形狀根本沒有角。當他們發現這種新形狀，便開始在大自然、藝術作品和建築中多處看到這些形狀。這些研究結果已經發表在《美國國家科學院學報：連結》（PNAS Nexus）期刊上。⋯⋯

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「博學誌」系列文集

問，時間為何物？（2016/9/20全新出版） 台灣大學物理系教授 高涌泉 專文導讀

窺探大腦（2016/10/20修訂版） 中央研究院院士 曾志朗 專文導讀

發現天文之美（2016/11/20修訂版） 國立自然科學博物館館長 孫維新 專文導讀

掌握數位生活（2016/12/20全新出版） 台灣大學資工系教授 林守德專文導讀 活靈活現動物行為（2017/1/20全新出版）金鼎獎科普作家 張東君 專文導讀

縱馬彎弓射大鵰
——那些在草原上奔馳的日子

很少看到一種動物對人類的用處如此多元，是先民的食物，也是運輸苦力和農耕器具，最終成為人類的騎乘工具和戰爭武器，深刻改變文明走向。這種動物如此重要，卻如此地被忽視，當人類春風得意，還要牠跑快一點；當人類戰死沙場，還要借牠的皮革一用……。

文／孫維新

多年前的10月初秋，一個週六清晨，當洛杉磯大多數人都還在睡夢之中，我和三位美國同學已經上車前往學校北邊山上的馬場。這是加州大學洛杉磯分校（UCLA）休閒課程「英式騎術」的第一堂課。

當我們來到馬廄，英姿颯爽的女教練凱西遞給這一班六位同學每人一根韁繩，隨手指向我們身後的草原，草原上馬群散佈，凱西一一點出哪匹馬今天是誰騎，然後要我們自己去草原上把馬拉回來。

我拿著韁繩，來到馬的身前，看到馬只是低頭吃草，不知道要怎樣讓牠抬頭套上韁繩，美式禮貌讓我客氣地問一下：「Excuse me？」但發現馬根本不理你，四周同學都楞著不知怎麼辦，這時凱西走過來，接過我手上的繩子，一彎腰將手伸到馬頭之下，用力將馬頭拉起來，套上韁繩，把繩子交到我手上，說了句話：「要讓牠知道，你是主人。」

這匹褐白相間的馬叫做「雷克斯」（Rex），相當高大，我身高182公分，已經不矮了，沒想到馬背比我的肩膀還高，走在一起，還真的稱得上是「人高馬大」。

回到馬廄開始上課，但別以為馬上就可以扳鞍上馬、顧盼自雄，在這之前，有好多工作要先完成。第一件事就是「刷馬」，拿著刷子從頭到尾（真的有尾）把馬身刷一遍，花了不少時間，從沒想過高頭大馬的表面積有這麼大。

然後再拿過一個手掌大小形似問號的尖銳倒鈎，要幫馬的四蹄清除可能卡在馬蹄鐵縫中的碎石，騎乘前若不清除這些碎石，快跑起來馬蹄就會受傷。但問題來了，要怎麼讓馬心甘情願抬起腳來讓你清理腳底？這件事更困難，還是要凱西一個一個學生教。

若要清理左前腳，要站在牠左前腳旁，面朝後彎下腰去，左手先抓著馬的左前腳，然後用自己身體去頂馬身，馬受力身體朝右偏移，重量壓到右腳，這時左腳就輕鬆了，手一用力就能將馬的左前腳拉起，此時趕快拿倒鈎將馬蹄鐵內側和馬蹄之間的狹縫刮上一圈，確定沒有碎石殘留就好。

辛苦半天，終於把第一隻馬腳清理乾淨，沒想到鬆手放下的那一剎那，馬腳竟然踩在我腳上！那可是整整一圈馬蹄鐵啊！馬又不講美式禮貌，踩得怡然自得。我痛極了就用力一頂馬身，才將人腳從馬腳下抽出來。馬覺得奇怪，這個人幹嘛撞我，就回頭來看，剛好我起身轉頭，兩顆頭就撞在一起，我的天哪，從來不知道馬頭那麼硬！

好不容易處理完一隻腳，直起身來看到還有三隻腳，就想著馬的演化為什麼要停留在四足行走？沒辦法，硬著頭皮繼續工作，但要記得，繞過馬的身後到另一邊時，手一定要放在馬屁股上，一邊摸著拍著一邊繞行，讓馬知道這是剛才那人，否則馬要是覺得後方有陌生「動物」接近，會毫不客氣舉腳後踹的，不知這和「拍馬屁」有無關係。

綁上馬鞍，套上韁繩，在馬口中勒上嚼子，然後攀鞍上馬，雷克斯還真高大，騎上去感覺像上了二樓。初級班從「走」（walk）教起，到「快走」（trot），到「慢跑」（canter），學期結束時嘗試了「馳騁」（gallop），收穫豐碩，馬又如此優雅，所以第二個學期我就報名了中級班，精采的來了，中級班要學「跳欄」！

當馬快速奔馳時，背脊起伏十分劇烈，騎者的屁股不能坐鞍，要靠著雙膝夾緊馬鞍，維持下身懸空，這就是我們在賽馬場看到的畫面，沒想到「跳欄」也一樣！馬的質量如此巨大，越過欄杆落地時會有強大的撞擊力，騎者若是坐在鞍上，會被震飛到空中落地。所以在跳欄之前，需要培養大家在馬上持久懸空的能力，那真的很辛苦！全班同學騎馬繞場奔馳，凱西站在場中央，一吹哨子大家就要抬起下半身，兩腿夾緊，繼續奔馳，再吹哨子才能坐回馬鞍，一堂課下來兩腿痠麻，更糟的是我沒買專業馬褲，穿著牛仔褲就上場，褲子內側有一條粗厚墊布，夾著馬鞍摩擦就會破皮，回到學校兩膝內側常是鮮血淋漓的，但後來到了跳欄階段，自己能從容操控馬匹一躍過杆，還是很有成就感的。

這一期《科學人》有篇文章〈馴馬記：人與馬的5000年故事〉，談到了馬的起源和被人類馴化的過程，從十字軍東征到蒙古西征，從殖民中南美到開拓大西部，馬都扮演了重要角色。一種動物的「自由」，來自另一種動物的「奴役」，就是人馬關係的寫照。

2018年7月，國立自然科學博物館受蒙古國立博物館的邀請，前去探訪公元四世紀匈奴的晚期墓葬，我們7月10日出發，因為第二天7月11日就是蒙古族一年一度的「那達慕」大會（Naadam），全國上下都在進行射箭、賽馬，和摔跤的比賽，熱鬧非凡。我看到好多幼齡孩子騎術精湛，就問蒙古人他們小學就教騎術？蒙古人仰天大笑，說他們的孩子三歲就上馬了，我說三歲孩子還沒半截馬腿高，怎麼上得去？他們說孩子趁馬低頭吃草時，抓著馬鬃，拿腳一踢馬嘴，馬吃痛一揚首，孩子就被甩上馬背了！

在蒙古草原上策馬急馳，看著金鵰嘯唳長空，想著少年鐵木真縱馬彎弓射大鵰，直至蒙古征服歐亞，馬絕對是不可或缺的幫手！但人類卻鮮少關注和感恩，最多只是在詩詞中表揚一下：「馳騁沙場不計功，願將皮革裹英雄」，從生到死都奉獻給人類了，這種動物，我們能不感激嗎？

關於封面
三角形、圓形、正方形，哪些形狀可以鋪滿平面？如果這些鋪滿平面的形狀頂角稍加圓潤，就會變成你我熟悉的魚鱗、瓦片等。數學家找到創造這種形狀的方法，並推廣到三維空間上，正如封面上的兩種多面體，你猜到封面問題的答案嗎？

數學

30 密鋪最少需要幾個角？
文／卡茨（Elise Cutts）

演化
42 開玩笑，演化來的！
文／卡特米爾（Erica Cartmill）

保育
52 台灣獼猴考察誌
文／蘇秀慧、鄧彥齡、張成雲

氣候變遷
58 藍碳！海洋的吸碳神力
文／帕爾特（Jaime B. Palter）

醫學
68 疫苗接種，噴噴鼻子就好
文／蘇瑟蘭（Stephani Sutherland）

考古學
80 馴馬記：人與馬的5000年故事
文／泰勒（William T. Taylor）

神經科學
94 快樂幹線，迷走神經？
文／平克特（Jena Pincott）

特別企劃
106 一日沙龍、十大議題：打造未來無限可能
文／張孟媛

行家領路 GUIDES
6 總編輯的話
縱馬彎弓射大鵰——那些在草原上奔馳的日子
文／孫維新

8 科學人觀點
跨年科學會談：交融互動的學習科技
文／曾志朗

10 我是企業家，也是科學人
解碼經營的科學――專訪大聯大控股永續長曾國棟
採訪／林詠翔、整理／陳碩甫

12 科學人新聞 NEWS SCAN
雨林動物的交誼廳│大腦「 看見 」回聲│驚見櫛水母融合！│細菌打斷超強碳氟鍵│昆蟲界的酒豪：胡蜂

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文／齊默曼（Julie B. Zimmerman）等9人

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地平線上的月亮比較大？
文／彼萊特（Phil Plait）

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UNIX之父：湯普森（一）
文／林一平

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「鐵人」馬丁
文／張瑞棋

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為什麼培根誘人又害人？
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114 圖表會說話
地質記錄了大滅絕
文╱莫斯柯維茨（Clara Moskowitz ）
圖表／賽門森（Rick Simonson）

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116 是誰打造身體的銅牆鐵壁？
文／黃貞祥

118 安靜的狂想―― I人如何從獨處到發光？
整理／陳碩甫