自然科學及工程中的數學方法(第三冊)（簡體書）

本套書入選“十三五”國家重點出版物出版規劃項目,《自然科學及工程中的數學方法》套書共三冊,本書為第三冊,共4章,內容包括:微分方程的級數解、偏微分方程、復變函數、概率與統計等.本書的特點有:給出定理的準確表述,省略定理的一般性和詳細的證明,為學生學習專業課程提供數學知識和解決問題的方法,每小節後附有大量的習題,有利於學生掌握相關定理及其應用.本書可供高等學校工科專業學生學習,也可供教師及工程技術人員參考.Copyright2006 by John Wiley & Sons,Inc.All rights reserved.This translation published under license.Authorized translation from the English language edition,entitled Mathematical Methods in the Physical Sciences 3rd,ISBN 9780471198260,by Mary L.Boas,Published by John Wiley & Sons.No part of this book may be reproduced in any form without the written permission of the original copyrights holder.北京市版權局著作權合同登記圖字01-2018-5473號

本書遵循教指委相關指導文件和高等院校學生學習規律編寫而成。踐行四新理念，融入思政元素，注重理論與實踐相結合。

前言
這本書特別適合那些學了一年(或一年半)微積分的學生,因為他們想在短時間內提高在物理、化學和工程方面的從低年級到研究生課程中需要的許多數學領域的基本能力.因此,這本書是為大學二年級學生(或高中已經學過微積分的大學一年級學生)準備的,可以自學或在課堂上學習.這本書也可以被更高年級的學生有效地使用,以復習半遺忘的知識或從中學習新的知識.雖然這本書是專門為物理學科的學生寫的,但任何領域的學生(比如數學或數學教學)都可能會發現這本書在查找許多知識或獲取一些他們沒有時間深入研究的領域的知識時是有用的.由於定理是被仔細陳述的,這樣可以讓學生在他們以後的工作中不會忘記任何內容.
對物理學科的學生進行適當的數學訓練是數學家和從事應用數學的人共同關心的問題.有些教師可能覺得,如果學生要學習數學,那麼他們應該仔細和深入地研究它的細節.對於物理、化學或工程專業的本科生來說,這意味著:(1)學習數學的投入多於數學專業的學生;(2)深入學習數學的幾個領域,而其他領域從學習科學課程的過程中學習.(3)經常被提倡,讓我說說為什麼我認為它是不令人滿意的.通過數學技術的直接應用確實能增加學習動力,但它也有許多缺點:
1.對數學的討論往往是粗略的,因為這不是他們研究的主要問題.
2.學生們同時面臨學習一種新的數學方法,並將其應用於對他們來說也是全新的科學領域.通常理解新的科學領域的困難更多地在於對數學理解不足所造成的干擾,而不是新的科學思想.
3.學生可能會在兩門不同的科學課程中遇到實際上相同的數學問題,卻不知道它們之間的聯繫,甚至在兩門課程中學習到明顯矛盾的定理!例如,在熱力學課上,學生們知道圍繞封閉路徑的恰當微分的積分總是零.在電學或水動力學中,他們遇到∫2π0dθ,這的確是一個恰當微分在一個封閉路徑上的積分,但結果不等於零!
如果每個理科生都能分別選修微分方程(常微分和偏微分)、高級微積分、線性代數、矢量和張量分析、復變函數、傅裡葉級數、概率統計、變分法、特殊函數等數學課程就好了.然而,大多數理科生既沒有時間也沒有興趣去學那麼多的數學,正是由於缺乏這些學科的基本技能,他們經常在自己的科學課程學習中受到阻礙.編寫這本書的目的是讓這些學生在每一個需要的領域都有足夠的背景知識,這樣他們就可以成功地應對大三、大四的物理課程和剛開始的研究生課程.我也希望一些學生能對一個或多個數學領域產生足夠的興趣,以便進行更進一步的研究.
很明顯,如果要將許多知識壓縮到一門課程中,就必須省略某些內容.我相信,在學生的作業階段,有兩件事可以省略而不會造成嚴重損害:一般性和詳細的證明.對數學家和研究生來說,陳述和證明一個定理的最一般的形式是重要的,但它往往是不必要的,並可能困擾更多的低年級學生.這並不是說理科生不需要嚴密的數學.科學家甚至比純數學家更需要對數學過程的適用性範圍做出謹慎的聲明,這樣他們就可以有信心地使用它們,而不必提供它們有效性的證明.因此,盡管常常是在特殊情況下或沒有證明的情況下,我都努力給出所需要的定理的準確表述.感興趣的學生可以很容易在特定領域的教材中找到更多的細節.
對於研究生層次的數學物理教材,可以假定一定程度的數學複雜性和高深的物理知識已經被學生掌握,這是大二水平的學生還沒有達到的.然而,這樣的學生,如果給予簡單和明確的解釋,可以很容易地掌握我們在教材中所涉及的方法(如果他們要通過初級和高級物理課程,他們不僅可以,而且必須以這樣或那樣的方式通過!).這些學生還沒有準備好詳細的應用,這些將在他們的科學課程中得到,但是他們確實需要並且希望得到一些關於他們正在學習的方法的使用的想法,以及一些簡單的應用.對於每個新知識,我都盡量這樣做.
對於那些熟悉第2版的人,讓我概述一下第3版的變化:
1.由於在第3章中多次要求矩陣對角化,我將第10章的第一部分移到了第3章,然後在第10章中詳述了對張量的處理.我還修改了第3章,包括更多關於線性矢量空間的細節,然後在第7章(傅裡葉級數和變換)、第8章(常微分方程)、第12章(微分方程的級數解)和第13章(偏微分方程)中繼續討論基函數.
2.由於被多次請求,我再一次把傅裡葉積分移回第7章傅裡葉級數和變換中,因為這打破了積分變換這一章(第2版的第15章)的結構,我決定放棄那一章,把拉普拉斯變換和狄拉克δ函數的內容移回第8章常微分方程,此外我還詳述了對δ函數的處理.
3.概率與統計章節(第2版的第16章)現在變成了第15章.在這裡,我把題目改成了概率與統計,並修改了本章的後半部分以強調其目的,即向學生闡明他們所學的處理實驗數據的規則背後的理論.
4.計算機輔助技術的飛速發展給教師們提出了一個如何充分利用計算機的問題.沒有選擇任何特定的計算機代數系統,我只是簡單地嘗試對每個知識點向學生指出計算機使用的有用性和缺陷.(請參閱在“致學生”結尾處的評論.)
正文中的材料是這樣安排的,按順序學習各章的學生在每個階段都有必要的背景知識.然而,遵循課本順序並不總是必要或可取的.讓我介紹一些我認為有用的重新安排.如果學生曾經學習過第1、3、4、5、6或8章中的任何一章(如二年級微積分、微分方程、線性代數等課程),那麼相應的章節可以省略,

目錄
前言
致學生
第12章微分方程的級數解、勒讓德函數、貝塞爾函數、埃爾米特函數和拉蓋爾函數1
12.1簡介1
習題12.12
12.2勒讓德方程3
習題12.25
12.3乘積導數的萊布尼茨法則5
習題12.35
12.4羅德裡格斯公式6
習題12.46
12.5勒讓德多項式的生成函數7
習題12.510
12.6正交函數的完備集11
習題12.612
12.7勒讓德多項式的正交性質13
習題12.714
12.8勒讓德多項式的歸一化14
習題12.815
12.9勒讓德級數15
習題12.916
12.10關聯勒讓德函數17
習題12.1018
12.11廣義冪級數或弗羅比尼烏斯
方法19
習題12.1121
12.12貝塞爾方程21
習題12.1224
12.13第二類貝塞爾方程24
習題12.1325
12.14貝塞爾函數的圖形和零點25
習題12.1425
12.15遞推關係25
習題12.1526
12.16具有貝塞爾函數解的微分
方程27
習題12.1627
12.17其他類型的貝塞爾函數28
習題12.1729
12.18變長擺30
習題12.1831
12.19貝塞爾函數的正交性32
習題12.1934
12.20貝塞爾函數的近似公式35
習題12.2036
12.21級數解、富克斯定理36
習題12.2137
12.22埃爾米特函數、拉蓋爾函數、
階梯算子37
習題12.2241
12.23綜合習題43
第13章偏微分方程47
13.1簡介47
習題13.148
13.2拉普拉斯方程矩形長平板穩態
溫度48
習題13.252
13.3擴散或熱流方程薛定諤
方程54
習題13.357
13.4波動方程弦振動58
習題13.461
13.5圓柱體穩態溫度62
習題13.565
13.6圓膜振動67
習題13.668
13.7球體穩態溫度69
習題13.771
13.8泊松方程73
習題13.877
13.9偏微分方程的積分變換解78
習題13.980
13.10綜合習題81
第14章復變函數83
14.1簡介83
習題14.183
14.2解析函數84
習題14.288
14.3圍線積分89
習題14.391
14.4洛朗級數92
習題14.495
14.5留數定理96
習題14.596
14.6留數的計算方法97
習題14.699
14.7利用留數定理求定積分100
習題14.7109
14.8無窮點無窮遠留數112
習題14.8113
14.9映射113
習題14.9117
14.10共形映射的一些應用118
習題14.10122
14.11綜合習題124
第15章概率與統計127
15.1簡介127
習題15.1128
15.2樣本空間129
習題15.2132
15.3概率定理133
習題15.3137
15.4計數方法139
習題15.4144
15.5隨機變量146
習題15.5149
15.6連續分布150
習題15.6154
15.7二項分布155
習題15.7159
15.8正態分布或高斯分布159
習題15.8163
15.9泊松分布165
習題15.9167
15.10統計學和實驗測量168
習題15.10171
15.11綜合習題172
參考文獻174