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商品簡介
目次
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本書是一本黎曼幾何的入門教材，內容包括：微分流形引論、張量分析、黎曼幾何基礎、測地線理論及子流形幾何。本書對研究黎曼幾何的三種表示法——不變形式法、活動標架法和自然坐標法——作了統一的處理，介紹了微分流形與黎曼幾何中的各種基本概念和技巧，兼顧到經典理論和近代進展的內容，以使讀者在學完本教程后能獨立從事研究工作。修訂版還增加了6個附錄，以適應讀者進一步的要求。 本書可作為綜合性大學、師范院校數學系各專業高年級選修課教材及研究生教材，也可供數學和物理學工作者參考。
目次
第一章 準備知識
1 歐氏空間的映射
1.1 映射的微分鏈規則
1.2 反函數定理
1.3 秩定理
1.4 Sard定理
2 多重線性代數
2.1 向量空間對偶空間
2.2 張量積張量代數
2.3 對稱和反(對)稱張量
2.4 外代數
2.5 歐氏向量空間
習題
第二章 微分流形
1 微分流形的基本概念
1.1 微分流形的定義
1.2 實射影空間P2(R)Grassmann流形
1.3 流形的映射
1.4 浸入與淹沒子流形
1.5 單位分解
習題
2 向量場
2.1 切空間切映射
2.2 切叢向量場
2.3 單參數變換群
2.4 分布Frobenius定理葉狀結構
習題
3 張量場
3.1 張量場
3.2 外微分
3.3 黎曼度量
習題
4 流形上的積分Stokes定理
4.1 流形的定向
4.2 帶邊界流形
4.3 流形上的積分Stokes定理
習題
第三章 聯絡與曲率
1 仿射聯絡
1.1 Rm及其子流形上的聯絡
1.2 微分流形上的仿射聯絡
1.3 仿射聯絡的撓率和曲率
習題
2 黎曼聯絡
2.1 黎曼聯絡
2.2 共變微分
習題
3 曲率
3.1 曲率張量
3.2 截面曲率：Ricci曲率純量曲率
3.3 共形變換
習題
4 調和形式
4.1 Hodge星算子
4.2 Laplace—Behrami算子
4.3 Hodge定理及其幾何應用
習題
第四章 測地線
1 測地線與測地完備性
1.1 測地線與指數映射法坐標系
1.2 測地完備性
習題
2 弧長的變分
2.1 弧長的變分
2.2 Jacobi場
2.3 共軛點
習題
3 曲率與拓撲
3.1 指標引理：Myers定理
……
第五章 黎曼子流形
附錄I 常微分方程組存在定理
附錄II Sard定理
附錄III 黎曼淹沒
附錄IV 廣義極大原理
附錄V Lie群初貌
附錄VI 主叢上的聯絡
附錄VII 黎曼流形的收斂性和有限性
附錄VIII 復流形與復幾何初步
附錄X Ricci流簡介
參考文獻
索引
1 歐氏空間的映射
1.1 映射的微分鏈規則
1.2 反函數定理
1.3 秩定理
1.4 Sard定理
2 多重線性代數
2.1 向量空間對偶空間
2.2 張量積張量代數
2.3 對稱和反(對)稱張量
2.4 外代數
2.5 歐氏向量空間
習題
第二章 微分流形
1 微分流形的基本概念
1.1 微分流形的定義
1.2 實射影空間P2(R)Grassmann流形
1.3 流形的映射
1.4 浸入與淹沒子流形
1.5 單位分解
習題
2 向量場
2.1 切空間切映射
2.2 切叢向量場
2.3 單參數變換群
2.4 分布Frobenius定理葉狀結構
習題
3 張量場
3.1 張量場
3.2 外微分
3.3 黎曼度量
習題
4 流形上的積分Stokes定理
4.1 流形的定向
4.2 帶邊界流形
4.3 流形上的積分Stokes定理
習題
第三章 聯絡與曲率
1 仿射聯絡
1.1 Rm及其子流形上的聯絡
1.2 微分流形上的仿射聯絡
1.3 仿射聯絡的撓率和曲率
習題
2 黎曼聯絡
2.1 黎曼聯絡
2.2 共變微分
習題
3 曲率
3.1 曲率張量
3.2 截面曲率：Ricci曲率純量曲率
3.3 共形變換
習題
4 調和形式
4.1 Hodge星算子
4.2 Laplace—Behrami算子
4.3 Hodge定理及其幾何應用
習題
第四章 測地線
1 測地線與測地完備性
1.1 測地線與指數映射法坐標系
1.2 測地完備性
習題
2 弧長的變分
2.1 弧長的變分
2.2 Jacobi場
2.3 共軛點
習題
3 曲率與拓撲
3.1 指標引理：Myers定理
……
第五章 黎曼子流形
附錄I 常微分方程組存在定理
附錄II Sard定理
附錄III 黎曼淹沒
附錄IV 廣義極大原理
附錄V Lie群初貌
附錄VI 主叢上的聯絡
附錄VII 黎曼流形的收斂性和有限性
附錄VIII 復流形與復幾何初步
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