二元齊次對稱多項式與二項式定理（簡體書）

十七世紀著名的英國天才數學家、物理學家、力學家、天文學家牛頓（Newton，1642—1727）於1676年發現：任意一個二項式的任意次方冪的展開式的係數全是組合數，即
（公式）（請參照書本）
這就是著名的牛頓二項式定理。其中a是實數，（公式）（請參照書本）。其後300多年來未見二項式定理有什麼值得稱道的新發展；然而科學實驗、生產實踐的發展卻從不停滯，客觀現實也都希望二項式定理能發揮更大的作用，但現狀總難於改觀。
為使二項式定理系列能涵蓋更多的內容，擴大其使用的範圍，筆者獨闢蹊徑，從對稱多項式基本定理出發，由考慮二元齊次對稱多項式與二項式定理間的關係入手，取得了可喜的進展。
眾所周知，二元齊次對稱多項式的一般形式為：
（公式）（請參照書本）
二元齊次對稱多項式的全體構成的無窮集合為
（公式）（請參照書本）。
將S中的每個多項式的初等表達式都寫出後，便得到無窮多個恒等式，這無窮多個恒等式構成的集合記作B，即（公式）（請參照書本）
我們要指出下面的結論：
（1）已經將二項式定理推廣成非常一般的形式；
（2）集合B是由二項式定理和它的全部等價公式所構成的一個無窮集合；
（3）無窮集合s與B的元素之間存在一一對應關係；
（4）集合S、B的元素是完全平等的，無主次之分、無貴賤之別；
（5）主要應用：將二項式定理的等價公式應用到算術、代數、三角函數、反三角函數、雙曲函數、反雙曲函數等方面，不僅能導出數以百計（遠多於一百）的新的數學公式；特別應用到組合計數問題上，徹底地將歷史遺留下來的解的大量不合情理的、不可理喻的表達形式，作了“根除術”後，恢復了本來面目。
由於微分學上的萊布尼茲（Leibniz，1646—1716）公式（定理）的展開式的係數與代數學上的二項式定理（公式）的展開式的相應係數完全一致，這又誘導我們在微分學上做了與代數學上完全平行的工作。即推廣了萊布尼茲定理，建立了由萊布尼茲公式及它的無窮多個等價公式所構成的一個無窮集合：
（公式）（請參照書本）
萊布尼茲定理的等價公式也有多方面的應用，在此我們僅指出：將它們應用到某些不定積分的計算上，能將求不定積分的運算轉化成求導的運算，這是一件令人難以置信的事。
考慮到本書的總結與提高，在全書的最後安排了第九章，簡單介紹了一個代數系統——線性空間。線性空間的基本概念，在科技領域內已可以算得上是常識性的內容（概念）了，熟悉這一重要而又基本的概念是非常必要的。．

唐祜華，男，1932年出生于湖南省耒陽市農村，1956年畢業於中山大學數學系（本科），同年9月分配到西安交通大學任教。20年後的1976年10月，應國務院要求、本人爭取、學校的派遣，到湖南支援湘潭大學，在數學系任教至1992年9月退休。
1972年晉級講師，1979年晉級為副教授，1987年晉級為教授。
1966年1月在高等教育出版社出版了與人合編的《複變函數》，作為全國高等工業學校無線電類和電機類專業“複變函數”課程試用教科書。共發表數學論文約20篇，多數被美國著名雜誌MathRevs（《數學評論》）、《中國數學文摘》、《全國報刊索引》摘錄。．

唐祐華編寫的《二元齊次對稱多項式與二項式定理》共分5篇9章，內容包括：對稱多項式基本定理，二項式定理歷史，二元齊次對稱多項式與二項式定理，交代式輪換式反輪換式，萊布尼茲定理(公式)的等價公式的建立、應用和推廣，線性空間的基本概念。
本書內容新穎，然理論又不深奧，僅需具備中學代數中的部分知識，就能順利讀懂并掌握書中主要內容。本書可以作為大學理、工科學生關于萊布尼茲定理(公式)、對稱多項式的應用以及線性空間概念等的補充讀物；也可供部分成績優良的高中學生及具有同等學力的數學愛好者閱讀；作為中學理科教師及大學理、工科教師的教學參考資料，也很合適的。

第一篇 預備知識
第1章 對稱多項式基本定理簡介
1.1 對稱多項式的基本概念
1.2 幾個簡單例子
第2章 二項式定理歷史的簡單回顧
2.1 二項式定理的一個常用的等價公式
2.2 二項式定理的幾種常見的推廣

第二篇 二元齊次對稱多項式與二項式定理
第3章 二項式定理的第一等價公式
3.1 問題的提出
3.2 公式的證明
3.3 各項係數的結構規律
3.4 數字表
3.5 係數恒等式簡介
3.6 第一等價公式的簡單應用
3.7 第一等價公式的兩種推廣
第4章 二項式定理的第二等價公式
4.1 問題的提出
4.2 公式的證明
4.3 等價性的證明
4.4 係數恒等式簡介
4.5 數字表
4.6 公式（Ⅳ）的簡單應用
4.7 第二等價公式的兩種推廣
第5章 等價公式的綜合與應用
5.1 二元偶次對稱多項式的一種新表達式
5.2 某些已知公式的擴充
5.3 等價公式之間的一些平行結果
5.4 兩個重要多項式
5.5 組合計算問題的解上的一個歷史遺留問題
第6章 二項式定理的推廣——二元齊次對稱多項式與二項式定理等價公式的一一對應
6.1 問題的提出
6.2 二項式定理的推廣
6.3 二元n次齊次對稱多項式與二項式定理
6.4 對稱多項式基本定理結構的解讀淺嘗
6.5 “正宗二項式定理”頭銜該授予誰
6.6 在可交換方陣上的推廣

第三篇 交代式輪換式反輪換式
第7章 二元奇次齊次交代式與“奇負二項式定理”的一一對應
7.1 問題的提出
7.2 幾個基本概念
7.3 交代式基本定理的簡單應用
7.4 “奇負二項式定理”若干常見的等價公式
7.5 奇負二項式定理的推廣

第四篇 萊布尼茲定理（公式）的等價公式的建立、應用和推廣
第8章 萊布尼茲定理的等價公式
8.1 萊布尼茲定理第一等價公式的建立及簡單應用
8.2 萊布尼茲定理的第二等價公式的建立
8.3 與代數恒等式（Ⅳ）相對應的導數恒等式
8.4 萊布尼茲定理（公式）的推廣一二項式定理等價公式與萊布尼茲定理等價公式的一一對應
8.5 萊布尼茲定理諸等價公式在計算不定積分上的應用

第五篇 線性空間的基本概念
第9章 等價公式集合構成線性空間
9.1 線性空間的基本概念
9.2 三個無窮集合S、B、L構成線性空間
9.3 線性空間的同構
參考文獻．