直觀幾何(下冊)(附亞曆山德羅夫的《拓撲學基本概念》)（簡體書）

為了得到E的所有測地線，只須使雙曲面日取遍為E所決定的共焦系的所有單葉雙曲面和雙葉雙曲面。這里還應該把焦雙曲線看作是雙曲面的極限情形，而且要把跟焦雙曲線相交的所有直線當作這個退化曲面的切線。焦雙曲線與E交于四個臍點。運用極限過程于上述論證，可知E上屬于焦雙曲線的測地線族是由通過E的一個臍點的所有那些測地線，而且僅僅是那些測地線組成的”。其次，可以證明，通過一個臍點的每條測地線必定通過這點的對徑點。
在球面上，所有通過已知點P的測地線也必通過另一定點，即P的對徑點。通過橢球面一臍點的測地線也有類似的性質。此外還可證明，通過橢球面的任何其他定點的測地線，不全都有第二個公共點。
我們不禁要問：球面是不是所有通過它上面任意一定點的測地線必通過第二個公共點的唯一的曲面呢？這個問題迄今尚未解決。
7.一定體積的立體，以球的表面積為最小；一定表面積的立體，以球的體積為最大。
這兩個性質（其中每一個是另一個的推論），唯一地決定了球。這個問題的證明要引到變分法的一個問題上去，而且證明非常繁瑣。不過，自由飄浮著的肥皂泡，提供最簡單的實驗證明。我們以前在談到極小曲面時講過，肥皂泡由于表面張力的作用，盡可能將表面積收縮到最小；因為肥皂泡里含有一定量的空氣，由此可知，肥皂泡在一定容積之下，將成為表面積最小的曲面。由觀察知道，自由飄浮的肥皂泡恒呈球形，如果泡上肥皂液所受的輕微的重力影響略而不計的話。
8.在所有一定表面積的凸體中，以球面的總（全）平均曲率為最小。
曲面上一點的平均曲率H定義為在這點的二主曲率的算術平均值：H=1/2（k1+k2）
在這個公式中，橢圓點的二主曲率的符號須取成相同的；鞍點上的，須取成相反的。跟高斯曲率不同，平均曲率一般地因曲面彎曲而變。這樣說來，平均曲率主要告訴我們同曲面安裝在空間的方式有關的某些東西。
平均曲率概念的重要性在極小曲面中已經見過了。按極小曲面的定義乃是在曲面上任意一點處二主曲率值相等，但符號相反。換句話說，極小曲面的平均曲率，到處為零。
為了求得曲面的總平均曲率，可如下進行。設想曲面有一定的質量，質量分布的狀況是，在每一點的密度等于在該點的平均曲率。