數學分析選講(第2版)（簡體書）

第一講實數與實函數
1.1實數與實函數的基本概念
一、實數
二、實數的性質
三、關于實數點集的一些重要概念
四、實函數
1.2實數與實函數的典型問題討論
習題1
第二講數列的極限
2.1數列極限的基本概念
一、數列的收斂與發散
二、數列收斂的條件
2.2求數列極限的方法
一、利用單調有界原理
二、利用迫斂法則
三、利用柯西準則
四、利用Stolz定理
五、利用特殊極限
六、利用定積分
七、利用級數
八、轉化為函數的極限
九、各種方法的綜合應用
習題2
第三講一元函數的極限
3.1一元函數極限的基本概念
一、一元函數極限的類型與定義
二、一元函數極限存在的條件
三、一元函數極限的性質
四、無窮小量與無窮大量
3.2一元函數極限的典型例題及方法
一、利用定義
二、利用雙側極限
三、利用特殊極限
四、利用無窮小量
五、利用泰勒展式
六、利用洛必達法則
七、利用迫斂法則
八、綜合方法的應用
習題3
第四講一元函數的連續性
4.1一元函數的連續與間斷
一、函數在一點的連續性
二、函數在區間上的連續性
4.2關于函數連續性的問題討論
一、利用定義討論連續性
二、關于連續函數性質的討論
三、關于一致連續性的討論
習題4
第五講導數與微分
5.1導數與微分的基本概念
一、可導與導數
二、可微與微分
5.2關于導數與微分的一些問題討論
一、用導數的定義證明問題
二、導函數的特性
三、導數與微分的計算
習題5
第六講微分中值定理及導數的應用
6.1微分中值定理及導數應用的基本概念
一、微分中值定理
二、導數的應用
6.2微分中值定理及導數應用中的典型問題
一、有關中值定理問題的證明技巧
二、凸函數及其特性
習題6
第七講不定積分
7.1不定積分的概念
一、原函數
二、不定積分
7.2不定積分的幾個問題討論
一、原函數的存在問題
二、求解不定積分的技巧
習題7
第八講定積分
8.1定積分的概念
一、定積分的定義
二、可積條件
三、可積函數類
四、定積分性質
五、定積分計算
8.2定積分中的問題討論
一、用定積分定義證明問題
二、柯西—施瓦茨不等式系列
三、函數的零點個數問題
四、雜例
五、關于勒讓德多項式的微積分性質
習題8
第九講廣義積分
9.1廣義積分的概念
一、無窮區間的廣義積分
二、無界函數的廣義積分
9.2廣義積分中的問題討論
一、廣義積分斂散的判別
二、被積函數趨于零的問題
三、廣義積分的計算
習題9
第十講含參變量的積分
10.1含參變量積分的基本概念
一、含參量的正常積分
二、含參量的廣義積分
10.2含參量廣義積分重點問題討論
一、關于一致收斂問題
二、含參量廣義積分的性質
三、利用含參量積分的性質計算廣義積分
習題10
第十一講數項級數
11.1數項級數的基本概念
一、數項級數的一般性概念
二、正項級數
三、一般項級數的斂散性
11.2數項級數的一些重要問題討論
一、關于級數斂散的概念問題
二、關于級數斂散的判別問題
習題11
第十二講函數列與函數項級數
12.1函數列與函數項級數的收斂與一致收斂
一、函數列
二、函數項級數
12.2函數列與函數項級數主要問題討論
一、關于一致收斂的判定
二、關于極限函數與和函數的性質
習題12
第十三講冪級數與傅里葉級數
13.1冪級數與傅里葉級數的一般概念
一、冪級數
二、傅里葉級數
13.2冪級數與傅里葉級數主要問題討論
一、一致收斂及其他性質的證明問題
二、求收斂域、和函數及展成冪級數或傅里葉級數問題
習題13
第十四講多元函數的極限與連續
14.1多元函數極限與連續的基本概念
一、關于平面點集
二、二元函數及極限
三、二元函數的連續性
14.2多元函數極限與連續一些主要問題討論
一、對一類在原點處為“罟”型的函數其極限存在與否的判定
二、關于連續性問題的討論
三、二元函數連續與各變元分別連續問題
四、雜例
習題14
第十五講多元函數微分學
15.1多元函數微分的基本概念
一、偏導與全微分
二、偏導與全微分的計算
三、隱函數與隱函數組
四、偏導與全微分的應用
15.2多元函數微分學中重點問題討論
一、可微、偏導、連續及偏導函數連續之間的關系
二、關于求偏導及全微分
三、變量代換化簡偏微分方程
四、混合偏導與求導順序無關問題
五、應用問題
習題15
第十六講重積分
16.1重積分的基本概念
一、二重積分
二、三重積分
三、重積分的應用
16.2重積分的一些問題討論
一、關于重積分計算的典型問題
二、重積分的證明問題
習題16
第十七講曲線積分與曲面積分
17.1曲線積分與曲面積分的概念
一、第一型曲線積分
二、第二型曲線積分
三、第一型曲面積分
四、第二型曲面積分
五、場論初步
17.2曲線積分與曲面積分的典型問題
習題17
習題提示與參考答案
參考文獻