萬物皆數：從史前時期到人工智能，跨越千年的數學之旅（簡體書）

1. 數學是人類的發明，還是獨立的存在？

數學家是創造者，還是發現者？

·鸚鵡螺的外殼、松果的正向與逆向螺紋……數學原理是否掌控著自然選擇的優解？

·數列基本性質的幾何表示，何以構成美妙豐富的曼德博集合？

·史前時代的製陶工匠已經發現了讓花紋保持不變的全部7種幾何變換

·阿拉伯的藝術家們先於定理一步，在阿爾罕布拉宮留下了有且僅有的17種幾何密鋪

·GPS導航儀發出的“向左轉、向右轉”指令，是使用正弦或餘弦計算得出的即時結論

追尋人類歷史上的提問者、研究者，感受日常生活中數學的奇妙與優雅

2. 在復雜的研究對象與簡潔的表達式之間建立令人目眩神迷的聯繫，即數學美之核心

·美的定理是樸素的，沒有冗餘的邊角料，沒有隨意的例外，也沒有毫無用處的差別

·美的定理是大音希聲，是用幾個字概括的真理精髓，是無懈可擊的完美

你觀察過鸚鵡螺的外殼嗎？注意過松果表面的螺紋嗎？偵探劇中確定嫌疑人位置的三角定位是什麼原理？阿爾法狗的算法與數學有哪些關聯？

在史前時代，數學是為了實際應用而出現的。數字被用來計算羊群的數量，幾何圖形被用來測量田地並繪製道路。自那時以來，很多藝術家、創作者、匠人或者單純的夢想家和好奇者，在無意中踏入了數學的領地。他們是不自覺的數學家，是人類歷史上早的提問者、早的研究者、早的頭腦風暴踐行者。如果想了解數學到底是什麼，我們就必須追隨他們的腳步，因為一切正是因為他們而起。

本書將帶領我們穿越回史前時代、四大文明古國、歐洲中世紀與文藝復興時期，也會帶領我們漫步於巴黎盧浮宮與發現宮。作者巧妙運用歷史學的方法，構建了無數歷史或現今的場景，將數學從亭台樓閣之上帶入我們的日常生活，將數學之美化為一篇篇優美的文字，娓娓道來。

“大部分人是喜歡數學的，但問題在於很多人並不了解這門學科。”如果你從來沒有了解過數學，如果你討厭數學，何不考慮給這門學科第二次機會呢？跟隨作者回顧這門人類歷史上不可思議、迷人的學科發展至今的曲折歷程，認識那些通過意外發現和奇思妙想而創造了歷史的人。你一定不會後悔的。

米卡埃爾·洛奈，2005年進入法國巴黎高等師範學院，並於2012年獲得概率學博士學位。2015年以來，洛奈參與了大量的、針對公眾的數學推廣活動，是法國“文化與數學遊戲沙龍”的成員。他在網絡平台策劃的數學節目擁有近30萬訂閱，頻道節目觀看量近2000萬。

“帶上你的背包，睜開你的雙眼，集中你的精神：你已經準備好了踏上米卡埃爾·洛奈邀請我們一起體驗的這段美妙旅程。”

——《法蘭西西部報》

“這本書是一場大冒險。這位年輕的數學家清楚地為我們講述了'才華大爆炸'，不僅描述了我們物質世界的現實，並且能夠預測其未來的走向。”

——《法國世界報》

第一章不自覺的數學家… 001

第二章數字的形成… 017

第三章不習幾何者不得入內… 033

第四章定理時代… 049

第五章一點兒方法… 071

第六章從π 到壞… 087

第七章零和負數… 103

第八章三角原力… 119

第九章面對未知… 139

第十章數列… 153

第十一章虛數的世界… 165

第十二章數學語言… 181

第十三章世界的字母表… 201

第十四章無窮小… 217

第十五章測算未來… 231

第十六章計算器時代的到來… 251

第十七章未來的數學… 269

結語… 289

擴展閱讀… 293

參考文獻… 294

第一章不自覺的數學家

回到巴黎，我決定從位於城市中心位置的盧浮宮博物館開始我們的征程。在盧浮宮搞數學？這看上去可能不太搭調。這座曾經的皇家宮殿、如今的博物館，看上去是畫家、雕塑家、考古學家或者歷史學家的領地，總之不會是數學家。然而，我們就是要在這裡重新建立一種新的“第一印象”。

來到盧浮宮，我看到了屹立於拿破崙庭院中心巨大的玻璃金字塔，這似乎就是一封來自幾何學的請柬。但是今天，我和更古老的上古時代有個約會。我走進博物館，時間機器正式開啟。我從法蘭西的國王們面前逐一經過，又掠過文藝復興時期和中世紀，最後回到了遙遠的古希臘時代。一個展廳接著一個展廳，我看見了古羅馬時期的雕塑、古希臘花瓶和古埃及的石棺。我還要再回到更久遠的過去，於是，我終於進入了史前史時期。後退了這麼多個世紀，我必須逐漸忘掉所有的事情。忘掉數字，忘掉幾何學，忘掉文字。在最初的最初，沒有人知道任何事情，也沒有什麼東西是需要被知道的。

首先，讓我們回到1萬年前，駐足於美索不達米亞。

其實仔細想想，我應該還能回到更久遠的過去。讓我再繼續後退，退回150萬年前，回到舊石器時代的初期。在這個階段，原始人類還沒有學會用火，所謂的“智人”根本還是天方夜譚。此時的世界由亞洲和非洲的直立人統治，或許還有一些尚未被考古發現的直立人的親戚。這是石器的時代，“手斧”正流行。

在營地的一個角落裡，琢磨匠人們正在工作。其中一人拿起了一塊沒有被打磨過的燧石，是他幾小時之前收集起來的。他坐在地上（可能是盤腿而坐），將這塊燧石放在地面上，一隻手固定住這塊燧石，另一隻手握住另一塊大質量的石頭，用它敲擊燧石的邊緣，一塊碎片應聲而落。他看到了碎片，然後轉了轉手裡的燧石，再次敲擊另一側的邊緣，使燧石的邊緣形成鋒利的棱脊。剩下的就是在整個輪廓上重複操作了。在某些部位，燧石太厚或者太大了，所以需要削掉很大一塊，來達到匠人最終想要實現的效果。

“手斧”形狀的出現，既不是巧合，也不是靈光一閃。它是經過一代又一代古人的思考、琢磨、傳承而最後實現的。我們發現了好幾種不同類型的手斧，隨著所處時期和發現地點的不同而有所區別。有一些是具有凸出尖端的水滴形；另外一些更渾圓的，看上去像是蛋形；還有一些幾乎沒有圓角，更接近等腰三角形。

然而無論是哪種手斧，都有著一個共同點：對稱。到底是因為這種幾何構造的實用性，還是僅僅出於某種審美意圖，促使我們的老祖宗們堅持使用這種構造呢？今天的我們很難弄清楚這一點。可以肯定的是，這種對稱不可能是一個巧合。琢磨匠人應該預先設計好了自己的打磨計劃，在完成手斧之前就考慮好了形狀。對於要被打磨的燧石，他們在頭腦中構建了一個抽象的形象。換句話說，他們在腦海中“搞數學”。

當這位琢磨匠人最終完成這個手斧之後，他會仔細觀察這件新工具⸺伸直手臂，將手斧置於光線下，更好地觀察它的輪廓，在某些鋒利邊緣處敲掉兩三小塊碎渣來完善手斧的形狀，最終，他得到了一件滿意的作品。這一刻，他的感受會是怎樣的呢？他是否已經感覺到了這種由科學創造帶來的巨大的喜悅之情？即從頭腦中的一個抽象概念出發，理解和塑造外部的世界。不管怎樣，抽象概念被發揚光大的時刻，此時還沒有到來。這時還是實用主義大行其道的時期⸺手斧可以用來砍樹、割肉、在毛皮上鑽洞，以及挖地。

好吧，其實我們並不是要在這個問題上做進一步的研究。畢竟這些對於史前史的闡釋看上去都太不靠譜，就讓這些古老的時代在歷史中繼續沉睡吧，而我們則回到我們的冒險的真正起點：公元前8000年的美索不達米亞平原。

在新月沃土上，有一塊區域，在未來我們將稱其為伊拉克，此刻正在進行著新石器時代的革命。自古以來，人類就在這一地帶定居。在北部高原，游牧民族成功地安定了下來。這個地區可以算作是所有最新發明的“實驗室”。由未燒製加工的泥磚生坯搭建成的房屋形成了人類歷史上的第一批村落，最有乾勁兒的一批建造者甚至還蓋起了小樓。此時的農業是一種先進的技術，溫和的氣候使得非人工灌溉的農作物的生長成為可能；動植物逐漸地被馴化；陶器的出現也正在萌芽之中。

嘿，好吧，那就讓我們來聊一聊陶器吧！因為，雖然這一時期的很多證據都消失了，不可挽回地散佚在了時光的隧道中，但是考古學家們還是發掘出了數千件陶器：陶盆、花瓶、罐子、盤子、陶碗……在我周圍的玻璃櫥裡，塞滿了各種陶器。最古老的陶器可以追溯到9000年以前，從一個展廳到另一個展廳，好像有“小拇指”的小石子引路一般，帶領我們穿越若干個世紀。陶器形狀各異，大小不一，它們的裝飾、塑形、彩繪或者雕花也都不一樣。有一些陶器有“腳”，有一些陶器有手柄。有的陶器完整，有的佈滿裂痕，有的碎裂，有的是重新修復的。有一些陶器，卻只剩下一些零星的殘片。

陶器是火的最初藝術品，隨後才是青銅、鐵和玻璃。使用黏土⸺這種具有可塑性的、能夠在潮濕的地區大量獲取的泥土，陶工能夠隨心所欲地塑造自己的作品。當陶工塑造出滿意的形狀之後，只需要將生坯風乾幾天，然後送入窯中烈火燒製，就能使整件陶器定型。人類掌握這種技術的時間已久。早在2萬多年以前，人類已經在用這種方法燒製小型陶像。然而，直到近來，伴隨著游牧民族的定居，人們才開始燒製日常生活中經常使用的陶器。新的生活方式需要存儲的工具，於是人們燒製出了兩臂環抱那麼大直徑的罐子！

這些陶土容器迅速成了日常生活的必需品，以及村莊集體組織的必要用品。接下來，人們開始製作各種耐用的餐具，不管造型好不好看。不久之後，陶器上出現了裝飾；又過了一段時間，開始出現了不同的製作流派。有些匠人在陶器生坯還未風乾的時候，用貝殼或者樹枝在上面印刻花紋，然後再送入窯中燒製；有一些匠人先燒製風乾的陶器，然後再用石器雕刻出花紋；還有一些匠人喜歡在陶器外側刷上一層天然的染色塗料。

我一一走過東方古文​​物部分的展廳，由美索不達米亞人設計的、豐富的幾何圖形讓我感到驚奇。正如我們的祖先用石頭精心琢磨出手斧一樣，這些對稱性實在是太精巧了，不可能是未經過深思熟慮的隨性之作。其中，花瓶邊緣一周的“腰線”尤其引起了我的注意。

所謂“腰線”，就是一種帶狀的、圍繞著整個罐子外側一周的裝飾花紋，表現為同一種紋樣的不斷重複。在所有常見的腰線中，有三角形鋸齒狀花紋，還有由相互纏繞的兩條花紋構成的腰線，然後是人字交錯的腰線、方形雉堞狀的腰線，以及帶尖斜方形、打了陰影線的三角形、同心圓……

當你從一個地區的展品看到另一個地區的展品，或者從一個時期看到另一個時期，你就能發現一些模式：有一些花紋非常流行，它們被不斷地使用、變形，通過多種方式被改善。然後，幾個世紀過去，這些模式被“淘汰”了，被另外一些當時流行的花紋取代。

一路看下去，然後我作為數學家的靈魂被點亮了。我看到了對稱、旋轉、平移。然後在大腦中，我開始分類、整理。我多年來研究的幾個定理浮現在腦海中，而我需要的，正是幾何變換的分類。我拿出筆記本和鉛筆開始塗抹起來。