數學家養成計劃（簡體書）

引?言

??很難想象沒有數學的世界是什麼模樣，沒有數字，沒有幾何，沒有代數與邏輯，更沒有運算法則，沒有辦法量化世界。

人類對數學的理解最早可以追溯到數萬年前。20世紀70年代，考古學家在非洲萊邦博（Lebombo）山脈發現了一塊來自狒狒的小腿骨—“萊邦博骨”。它的特殊之處在於，骨頭上有29個故意切開的缺口，據猜測是做標記用的。這塊骨頭的主人應該在計算一些東西—也許是獵物、敵人的數量，或者流逝的時間。

通過測量放射性碳，可以確定這塊骨頭來源於公元前4萬年左右，這可以說是世界上最古老的數學文物了。

計數是數學最原始的分支。很明顯，這是人類對世界的發現，而不是發明。假如我身邊現在有一筐蘋果，那麼筐中蘋果的數量是符合算術規則的。如果我往筐裡放一個蘋果，蘋果的數量就會加一。不管人們是否理解，事實就是如此。

幾何學也是這樣。大約在公元前300年，古希臘哲學家歐幾裡得編撰《幾何原本》，書中提出了關於圓、直線與角的性質的基本假設。這些都是用來描述這個世界的邏輯和推理規則，是對世界的發現，而不是發明。

然而，在過去，即使一些非常聰明的人也會持相反觀點：數學只不過是人類思維的一種構造。20世紀偉大的英國天文學家亞瑟·愛丁頓（Arthur?Eddington）爵士曾經表示：“數學在我們把它放在那裡之前是不存在的。”

在某些特殊的情況下，或許真是這樣。例如，“虛數”就是一種使負數的平方根具體化的構造。任取一個數的平方，你得到的總是正數。那麼，如何才能對負數取一個有意義的平方根呢？意大利數學家拉斐爾·邦貝利在16世紀提出了這個問題的解決方法。將 記作虛數單位i，這樣負數的任意平方根都可以表示為i的倍數，它也會遵循和普通數字相同的代數規則。這在當時聽起來可能很荒謬，但在如今，關於波的理論、量子力學和數據分析的核心都是虛數。

數學證明則是另一個例子，構造一個合理的數學證明需要數學家有極其豐富的創造力。以費馬大定理為例，n＞2時的方程（其中x，y，z和n都是整數）沒有整數解。這一定理花了近四百年時間才得到證實，最終歸功於英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew?Wiles）貢獻出的聰明才智。

從這個角度來看，最好的數學家可以被比作一位至少與其技術專長相當的，還具備創新能力的建筑師。正如阿爾伯特·愛因斯坦所說：“邏輯會把你從A帶到B，想象力會把你帶到任何地方。”隨著有創新精神的前輩對數學未知領域的不斷探索，人類對這個學科的了解也越來越多。

在本書中，我們為讀者列出了關於現代數學你必須了解的知識清單。從萊邦博骨開始，按照（非常粗略的）時間順序向前推進，我們列出了重要的數學原理和發現，並細述那些發現者的生平。

人們在理解基礎數字和算術之後，就發展出了幾何學，包括面積和體積的計算，以及畢達哥拉斯關於直角三角形三邊的定理。近幾個世紀以來，幾何學已經發展到了彎曲空間和拓撲結構—關於空間中點的連接方式。例如，環形曲面（有一個洞的曲面）與球面有完全不同的拓撲結構。

有證據表明，早在公元前1800年，巴比倫數學家就有了代數（用符號代替數值）概念，並用來求解方程。後來，在歐洲處於“黑暗時代”時，亞洲的數學家又進一步完善了代數學。

17世紀，博學家艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·萊布尼茨發現了用於計算數值變化率的微積分。此後，幾乎在數學的每個分支中都會出現它的身影，在理論物理中也是如此。

幾乎在同一時間，一群歐洲數學家（必須說的是，他們真的喜歡通過賭博來增加收入）奠定了概率論的基礎—判斷隨機事件發生可能性的數學理論，並由此發展了統計學—在隨機事件存在的情況下從數據中提取信息，將雜亂的真實觀測的結果轉化為可靠的觀點，依據它們開展或改良實驗並形成科學理論。

對數學的探索促使人們創造了計算機。我們日常使用的計數制是由數字0～9構成的以10為基數的數制。但是，早在公元前2世紀，印度數學家賓伽羅（Pingala）就研究過只由0和1構成的以2為基數的二進制，後來的計算機語言就由此構成。19世紀，對自動化處理信息的迫切願望促使人們發明了機械計算機。緊接著，在第二次世界大戰期間出現了用於解密的和房間一般大小的巨型計算機，近些年又出現了功能強大的微型處理器，在手機中隨處可見。

今天，數學構成了我們理解萬物的工具—從量子物理和宇宙的誕生到股票市場，再到每周雜貨預算等瑣碎事情。正如萊邦博骨的主人很可能已經意識到的那樣，我們生活的這個世界，歸根到底還是數字世界。

《數 學 家 養 成計 劃 》
目?錄
9 引言
古?代
12 計數
13 算術
14 幻方
15 分數
16 三角形
17 米利都的泰勒斯
18 密碼學
19 冪運算
20 面積與體積
21 畢達哥拉斯
22 畢達哥拉斯定理
23 無理數
24 希帕提婭
25 多面體
26 完全數
27 素數
28 數學證明
29 歐幾裡得
30 歐幾裡得幾何
31 算法
32 圓周率
33 阿基米德
34 埃拉托斯特尼
35 圓錐曲線
36 組合數學
37 二進制數

古羅馬時期到中世紀
38 代數學
39 三角學
40 零
41 托勒密
42 丟番圖
43 丟番圖方程
44 平面鑲嵌
45 波愛修斯
46 阿耶波多
47 婆羅摩笈多
48 穆罕默德・伊本・穆薩・花剌子密
49 矩陣
50 歐瑪爾・海亞姆
51 斐波那契

近代早期
52 四次方程
53 吉羅拉莫・卡爾達諾
54 虛數
55 開普勒猜想
56 約翰・納皮爾
57 對數
58 歐拉數
59 勒內・笛卡兒
60 笛卡兒坐標系
61 皮埃爾・德・費馬
62 費馬大定理
63 布萊士・帕斯卡
64 帕斯卡三角
65 概率論
66 無窮大
67 微積分
68 戈特弗裡德・威廉・萊布尼茨
69 艾薩克・牛頓
70 數值分析
71 力學
72 極坐標系
73 亞伯拉罕・棣莫弗
74 無窮級數
75 圖論
76 賭博
77 萊昂哈德・歐拉
78 拓撲學
79 伯努利家族
80 概率分布
81 貝葉斯定理
82 紐結理論
83 拉丁方
84 約瑟夫-路易斯・拉格朗日
85 阿德裡安-馬裡・勒讓德
86 皮埃爾-西蒙・拉普拉斯

19世紀
87 索菲・熱爾曼
88 約瑟夫・傅裡葉
89 傅裡葉分析
90 模運算
91 相關與回歸
92 正態分布
93 黃金分割
94 卡爾・弗裡德裡希・高斯
95 計算機
96 奧古斯丁-路易・柯西
97 非歐幾何
98 群論
99 微分幾何
100 查爾斯・巴貝奇
101 彼得・古斯塔夫・勒熱納・狄利克雷
102 埃達・洛夫萊斯
103 威廉・盧云・哈密頓
104 四元數
105 卡塔蘭猜想
106 超越數
107 格奧爾格・弗雷德裡希・伯恩哈德・黎曼
108 尼爾斯・亨利克・阿貝爾
109 四色定理
110 布爾邏輯
111 黎曼猜想
112 弗洛倫斯・南丁格爾
113 索菲婭・柯瓦列夫斯卡婭
114 抽象代數
115 格奧爾格・康托爾
116 集合論
117 亨利・龐加萊
118 赫爾曼・閔可夫斯基
119 張量

20世紀至今
120 龐加萊猜想
121 離散幾何
122 大衛・希爾伯特
123 帕累托法則
124 馬爾可夫過程
125 斯裡尼瓦瑟・拉馬努金
126 戈弗雷・哈羅德・哈代
127 埃米・諾特
128 分形
129 羅納德・艾爾默・費希爾
130 p值
131 現代統計推斷
132 博弈論
133 旅行推銷員問題
134 拉姆齊理論
135 約翰・馮・諾伊曼
136 哥德爾不完全性定理
137 艾倫・圖靈
138 本福特定律
139 最優化
140 庫爾特・哥德爾
141 人工神經網絡
142 信息論
143 阿羅悖論
144 瓊・克拉克
145 極值理論
146 奧莉加・拉德任斯卡婭
147 小世界網絡
148 細胞自動機
149 非遞移骰子
150 凱瑟琳・約翰遜
151 本華・曼德博
152 P?vs?NP問題
153 混沌理論
154 公開密鑰加密
155 金融數學
156 羅杰・彭羅斯
157 平面對稱群
158 約翰・納什
159 愛德華・索普
160 邁克爾・阿蒂亞
161 保羅・埃爾德什
162 史蒂芬・沃爾夫勒姆
163 格裡戈裡・佩雷爾曼
164 量子算法
165 安德魯・懷爾斯
166 體育分析
167 瑪麗安・米爾扎哈尼
168 陶哲軒
169 凱倫・烏倫貝克
170 數據科學
171 哥德巴赫猜想

172 詞匯表
175 延伸閱讀
176 單位換算表