亂數中的秩序，機率學在日常中的角力：密碼破譯×抽籤順序×投擲骰子×布朗運動，從賭桌到實驗室，數學如何定義命運？

偶發事件、摸彩賭博、魔術求π……
從賽馬到科學，數學如何解釋世界的「偶然」？
在不確定中找尋確定，學會用數學思維解碼生活中的不可預測！

▎探索機率的奧祕
本書作者透過一系列精彩絕倫的故事，引導讀者深入理解機率學這門數學分支的核心精神。每個章節都是一個獨立的敘事，展示了機率如何在我們的日常生活中扮演著不可或缺的角色，從而在似乎隨機的事件中發掘出必然的規律。從威廉．向克斯對π值的計算到布豐的投針試驗，這些故事不僅具有趣味，更啟發思考，使機率學的概念變得生動而具體。

▎機率與日常生活：從理論到實踐
作者書中不僅談論理論，更與日常生活緊密相連。例如，在〈一場關於投擲骰子的爭論〉中，透過一個簡單的遊戲，展示了機率如何解釋日常生活中的不確定性和偶然事件。而在〈求π的「魔法」〉一章，則透過數學實驗向讀者展示了數學與實踐的完美結合。這些章節透過具體例子，使讀者理解到機率不僅是抽象數學的一部分，更是理解世界的一個重要工具。

▎機率的深層意義：從遊戲到決策
機率論最初是為了分析帶有機遇性的遊戲而發展起來的，但其應用已經遠遠超出了最初的範圍。正如拉斯．戈丁所指出，機率是「探求真實性」的一種方式，是我們理解和應對不確定性的工具。無論是在〈布朗運動和醉鬼走路〉還是〈從〈歧路亡羊〉談起〉，每一個案例都不僅是數學上的演算，更是關於風險評估和決策的深刻思考。

▎機率學的現實與哲學
機率不僅僅是數學模型，它貫穿於生活的方方面面，影響著我們的決策和生活方式。透過這本書，讀者不僅能夠學習到機率論的科學和藝術，更會對這門學科背後的哲學和人文意義有所領悟。從田忌賽馬到俾斯麥海戰的策略，再到日常生活中的決策，機率學都以其獨特的方式啟發和指引我們。

【本書特色】：
本書以生動的語言和引人入勝的故事介紹機率學，讓抽象的數學概念變得親近且易於理解。作者巧妙地將機率理論與日常生活事件結合，透過各種實際例子，如遊戲分析、歷史事件和科學實驗，展示機率如何在不確定性中尋找規律，幫助讀者深刻理解並運用這門學科。這不僅是一本教科書，更是一部啟發思考的作品。

張遠南，數學教育家、著名科普作家。曾任北京師範大學兼職教授。作者既有深厚的數學功力，又有開闊的知識視野。他從人類歷史、科學史、大自然和日常生活中，「信手拈來」一個個和數學相關的故事。這些生動有趣的故事，揭示出種種數學奧祕，向讀者展示廣袤而神奇的數學世界，使原本枯燥難懂的數學知識，變得搖曳生姿、妙趣橫生。

序

自然界的現象大致可分兩類，一類是確定性現象，另一類是隨機現象。

從表面看，對隨機現象的每一次觀察，結果總是偶然的、不可預知的。但多次觀察一個隨機現象，便能從中發現規律。正如常見的擲硬幣遊戲那樣，多次投擲一枚硬幣，出現人頭的可能性大約占一半。這是一種在偶然中存在的必然。

機率論的歷史，可以追溯到相當久遠的年代。第一篇研究機率的論文，發表於1657年，距今已有3個多世紀。300多年來，在幾代人的努力下，機率論已發展成為一門理論完善、內容豐富、應用廣泛的學科。

本書沒有打算、也不可能對機率論的理論做完整和連貫的敘述，那是教科書的任務。本書的目的，只是想激發讀者的興趣，並由此引起他們自覺學習這門學科的欲望。因為作者認定，興趣是最好的老師，一個人對科學的熱愛和獻身，往往是從興趣開始的。然而人類智慧的傳遞，是一項高超的藝術。從教到學，從學到會，從會到用，從用到創造，這是一連串極為主動、積極的過程。

作者在長期實踐中，深感普通教學的局限和不足，希望能透過非教學的方法，嘗試人類智慧的傳遞和接力。

由於作者所知有限，書中的缺點、錯誤在所難免，敬請讀者不吝指出。

但願本書能做引玉之磚，拋臨人間！

張遠南

序
一、神奇的功勛
二、從死亡線上生還的人
三、偶然中的必然
四、威廉•向克斯的憾事
五、勒格讓先生的破譯術
六、布豐的投針試驗
七、一場關於投擲骰子的爭論
八、求π的「魔法」
九、「臭皮匠」與「諸葛亮」
十、機會均等與妙算機率
十一、分取賭金的風波
十二、5個生日相同的姐妹兄弟
十三、一個關於抽籤順序的謎
十四、伯特蘭的機率悖論
十五、以蒙地卡羅命名的方法
十六、關於《赤的疑惑》的質疑
十七、小機率—摸彩
十八、布朗運動和醉鬼走路
十九、從〈歧路亡羊〉談起
二十、選擇題與評分的科學扣分
二十一、不模糊的模糊數學
二十二、從田忌賽馬到俾斯麥海海戰
二十三、「矮高」和「高矮」誰高的啟示
二十四、可以視為前言的結束語

一、神奇的功勛

北宋慶曆、皇祐年間，廣源州蠻族首領儂智高在南部不斷擴張勢力，建立「南天國」政權。1052年4月，儂智高起兵反宋，5月攻陷邕州（即今南寧），自立「仁惠皇帝」，又自邕州沿江而下，所向皆捷，朝野震動。

1053年，大將狄青奉旨征討儂智高。因為當時南方有崇拜鬼神的風俗，所以大軍剛到桂林以南，他便設壇祭拜天神，說：「這次用兵，勝敗還沒有把握。」於是，他拿了一百枚銅幣向天神許願：「如果這次出征能夠打敗敵人，那麼把這些銅幣扔在地上，錢面（不鑄文字的那一面）定然會全部朝上。」

左右官員誠惶誠恐，力勸主帥放棄這個念頭，因為經驗告訴他們，這種嘗試是注定會失敗的。他們擔心最終錢面無法全部朝上，反而會動搖部隊的士氣。

可是狄青對此一概不理，固執如牛。在千萬人的注視下，他突然舉手一揮，把銅幣全部扔到地上。結果這一百個銅幣的錢面，竟然鬼使神差般地全部朝上。這時，全軍歡呼，聲音響徹山村和原野。

狄青本人也興奮異常，他命令左右士兵，拿來一百枚釘子，依照銅幣落地的位置，用釘子牢牢地將銅幣釘在地上，並向天神祈禱道：「等到勝利歸來，定將酬謝神靈，收回銅幣。」

由於士兵個個認定有神靈護佑，在戰鬥中奮勇爭先，於是，狄青迅速平定了邕州。

回師時，狄青請下屬按原先所約，把銅幣取回。他的下屬們一看，原來那些銅幣兩面都鑄成了一樣的錢面。

狄青由於建立奇功而升了官。儂智高敗逃大理，不知所終。歷史的一頁，就這麼輕輕地翻了過去。從那時起，時間的長河又把人類的文明史，向前推進了近千年。狄青的奇功，以其獨有的光彩，為人世間留下了永恆的啟迪。要領略這層道理，還得從下面的常識說起。

大千世界，人們所遇到的現象不外乎兩類。一類是確定性現象，另一類是隨機遇而發生的不確定現象。這類不確定現象叫隨機現象。

如在標準大氣壓下，水加熱到100℃時沸騰，是確定會發生的現象。石蛋孵出小雞，是確定不可能發生的現象。而人類家庭的生男生女，適當條件下的種子發芽……等，則是隨機現象。

我們生活的世界，充滿著不確定性。人們雖然能夠精確地預測尚未發生的必然事件，卻難以預測尚未發生的隨機事件。

人類就生活在這種隨機事件的海洋裡。

現在回到故事的主角身上。

身為大將軍的狄青何嘗不知道，擲一枚銅幣，出現正、反面是隨機的。擲兩枚銅幣會出現4種可能：

（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。

擲3枚銅幣會出現8種可能：

（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反）、（反，反，正）、（反，反，反）。

每多擲一枚銅幣，各種正、反面的配合種數便增加一倍。因此，擲一百枚銅幣出現某種特定情況（如錢面全部朝上）的希望是極為渺茫的。這應當是人所共知的經驗。狄青的下屬正是因為也深知這一點，才力勸主帥放棄這種嘗試的。

廣大的士兵出於對鬼神的崇拜、經驗的啟示，以及對主帥的敬畏與神祕感，則疑信參半，拭目以待。

聰明的狄青，注意到人們在觀察隨機現象時，往往過於相信自身的經驗，而忽視了前提條件。因此，他用偷梁換柱的方法，巧妙地更換了「銅幣有正反兩面」的前提，把銅幣兩面鑄成一樣。這時，對狄青來說，一百枚錢面全部朝上，就是個必然事件，但在別人看來，卻是幾乎不可能出現的。然而，這件事居然奇蹟般地發生了！那時那刻，在眾人的心目中，興奮戰勝了懷疑。他們覺得，神靈的護佑是這種超乎尋常巧合的唯一解釋。於是，這竟然激發起千軍萬馬的勇氣，使狄青贏得了戰爭的勝利。

這個故事帶給人的啟示是：觀察一種現象，不能忽視它的前提。

二、從死亡線上生還的人

在〈一、神奇的功勛〉中我們看到，在一種前提下的隨機事件，在另一種前提下可能成為必然事件。同樣地，在一種前提下的必然事件，在另一種前提下也可能不出現。以下兩則「從死亡線上生還」的故事，生動地說明了這一點。

第一個從死亡線上生還的故事。

傳說古代有一位陰險狡詐、殘暴凶狠的國王。有一次他抓到一個反對者，決意要將他處死。雖說國王心中早已打定主意，然而嘴上卻假惺惺地說：「讓上帝的旨意決定這個可憐人的命運吧！我允許他在臨刑前說一句話。如果他說的是真話，那麼他將受刀斬；如果他說的是假話，那麼他將被絞死；只有他的話使我緘默不言，那才是上帝的旨意，讓我赦免他。」

在這番冠冕堂皇話語的背後，國王的如意算盤是，儘管話是你說的，但判定真話、假話的權力在我，該絞該斬還不是憑我的一句話！

的確，如果判斷的前提只是國王孤立的一句話，那這位反對者是必死無疑的。然而愚蠢的國王沒有料到，要是判斷真話或假話的前提是指自己所說的話的意思，那麼情況將完全變了樣。聰明的反對者正是利用這點，讓自己獲釋。

親愛的讀者，你猜得到國王的反對者說了一句什麼樣的話嗎？可能你已經猜到了，也可能你還在思考。好！讓我告訴你，他所說的話是：「我將被絞死。」

對這句話，國王可以怎麼判斷呢？如果他斷言這句話是「真話」，那麼此時按規定，犯人應當處斬，然而犯人說的是自己「將被絞死」，因而顯然不能算是「真話」。又若國王判定此話為「假話」，那麼按說假話的規定，犯人將受絞刑，但犯人恰恰就是說自己「將被絞死」，這豈不表示他的話是真的嗎？可見也不能斷定為假話。

由於國王無法自圓其說，為了顧全自己的面子，只好緘默不言，讓犯人得到自由。

第二個從死亡線上生還的故事。

相傳古代有個王國，由於崇尚迷信，世代沿襲著一條奇特的法規：凡是死囚，在臨刑前都要抽一次「生死籤」。即在兩張小紙條上分別寫著「生」和「死」的字樣，由執法官監督，要死囚當眾抽籤。如果抽到「死」字的籤，就立即行刑；如果抽到「活」字的籤，則被認為這是神的旨意，應予以當場赦免。

有一次國王決定處死一名大臣，這名大臣因不滿國王的殘暴統治而替老百姓說了幾句公道話，為此國王震怒不已。他決心不讓這名勇於「犯上」的大臣得到半點獲赦的機會。於是，他與幾名心腹密謀暗議，終於想出了一條狠毒的計策：暗囑執法官，把「生死籤」的兩張籤紙都寫成「死」字。這樣，不管囚臣抽的是哪張籤，終難倖免於死。

世上沒有不透風的牆，國王的詭計最終被外人所察覺。許多知悉內情的官員，雖然十分同情這位正直的同僚，但懾於國王的淫威，也只是敢怒而不敢言。就這樣終於到了臨刑的前一天，一位好心的看守人員含蓄地對囚臣說：「你看看有什麼後事需要交代，我將盡力為你奔勞。」看守人員吞吞吐吐的神情，引起囚臣的懷疑，百問之下，他終於獲知陰謀的內幕。看守人員本以為囚臣會為此神情沮喪，有心好言相慰幾句，但見他陷入沉思，片刻後臉上煥發出興奮的光芒，這讓看守人員感到驚訝不已。

在國王看來，這個「離經叛道」的臣子「死」是必然事件，因為他們考量的前提條件是「兩死抽一」。然而聰明的囚臣，正是巧妙利用了這一點，而使自己獲赦的。

囚臣是怎麼死裡逃生的呢？

原來，當執法官宣布抽籤的方法後，但見囚臣以非常快的速度抽出一張籤，並迅速塞進嘴裡。待到執法官反應過來，咬爛的紙團早已被他吞下。執法官趕忙追問：「你抽到『死』字籤還是『生』字籤？」囚臣故作嘆息說：「我聽從天意安排，如果上天認為我有罪，那麼這個咎由自取的苦果我已吞下，只要檢視剩下的籤是什麼字，就清楚了。」這時，在場的群眾異口同聲地贊成這個做法。

剩下的籤當然寫著「死」字，這意味著囚臣已經抽到「生」字籤。國王和執法官有苦難言，由於怕觸犯眾怒，只好當眾赦免囚臣。

本來，這位囚臣抽到「生」字籤還是「死」字籤是一個隨機事件，抽到每一種的可能性各占一半。但由於國王「機關算盡」，想把這種「有一半可能死」的隨機事件，變成「必定死」的必然事件，最終搬起石頭砸了自己的腳，反使囚臣因此得以死裡逃生。