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作者簡介

目次

樂譜跟數學有關係?
感性的音階?理性的音階?
音階該如何制定?

要把音樂和數學做連結,似乎不太容易,但他們實際上也沒有那麼的格格不入。學習科學的人都知道,聲音是波動,且通常描述波動的工作,是由數學或是物理學家來處理。而即使音樂家不在意波動方程對於樂曲優美流暢的影響,但絕對有能力用音樂打動科學家的心靈。
本書以數學的觀點淺談音階,再引到基本的和弦結構,並詳細介紹了古代中西方音階的異同。帶著讀者解開音樂與數學的奧秘,體會音樂與數學的密不可分。

廖培凱
北一女中數學科教師。
喜歡數學的抽象感,追求可以解釋生活與世界的數學法則,希望分享心中感受的數學之美。

 一般來說,要把音樂和數學做連結,似乎不太容易,然而數學家能夠欣賞到數學之美,認為數學也是藝術的表現,音樂家不只能透過音樂抒發情感,還能聽到音樂表達的規律與理性。音樂和數學兩者,實際上也沒有那麼的格格不入。古時候對於學科的分野沒有那麼分明,士紳修習的禮樂射御書數,同時包含了音樂與數學,且萬籟有聲,造物主也非隨意捏揉出大地宇宙,一切還是有個準則,因此樂理之中的規則,必然有個道理。

 
約略十幾二十年前,我偶然間拜讀到蔡聰明教授的文章〈音樂與數學:從弦內之音到弦外之音〉,如獲至寶,確信音樂不可能僅僅是感性的學門,一定有「理」之所在。學習科學的人都知道,聲音是波動,而通常描述波動的工作,是數學或是物理學家來處理。而即使音樂家不用在意波動方程對於樂曲優美流暢的影響,但絕對有本事用音樂打動科學家的心靈。
 
本書的內容並非我所獨創,只有幸讀了一些與音樂和數學相關的文章與書籍,稍加整理後在任教的學校開了課程,也指導學生作了些簡單的研究,更加覺得其中有趣之處,蒙 蔡聰明教授賞識,便將授課及我自修的內容粗淺彙整成書。本書以數學的觀點淺談音階,再引到基本的和弦結構,有許多的內容都參考Easley Blackwood的《The Structure of Recognizable Diatonic Tunings》,尤其是第四章以「大」、「小」、「增」、「減」和「完全」冠在「度」上面的定義方式,和第六章用各種音差去修正純律音階的部份。而第五章的內容則是根據游森棚教授〈從鋼琴調音談數學與音樂〉所做的變化,將之放在高中數學裡,是極有趣的素養題材。雖然我著迷於和弦的結構,然而和弦的結構之複雜,各家學者也紛紛以拓樸、代數等不同的觀點加以詮釋,筆者駑鈍尚未參透,僅在第七章簡單篇幅稍作介紹。
 
筆者任教數學,無論開發課程與寫稿,都無法獨立將數學與音樂兩大學科串連,而過程接受內子與同科老師的指教與修飾,方能順利完成,亦借此文表達致謝之意。
 
廖培凱
 
《鸚鵡螺數學叢書》總序
序文

第一章 樂譜裡的數學
第二章 感性與理性的音階
第三章 有系統的製造音階
第四章 畢氏七音階與畢氏十二音階
第五章 為什麼一個八度裡要放12個音?
第六章 完美的純律不完美?
第七章 從純律12音階到三和弦的結構
參考資料

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