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商品簡介

作者簡介

目次

書摘/試閱

生活周遭的一切事物,都是數學創意延伸的結果
AI時代,只有數理強的人不會被淘汰
快入手探索經濟及社會脈動的最強武器!

從數字的構成到函數、幾何、微積分
豐富的插圖和圖表
網羅國小到高中數學的重要觀念
帶你搞懂數學的語言及脈絡
打開邏輯思維開關
養成洞察萬物的數學之眼
靈活的邏輯能力,取決於數學能力
九大章節,激發你的數理分析潛能

第一章 「數」的探索
→「數」的故事:有理數和無理數、虛數和質數
第二章 「數」的關係
→函數、座標圖、方程式的解題公式和解題絕招
第三章 解密幾何學之美
→圓周率、面積、歐基里德幾何學和非歐基里德幾何學
第四章 矩陣的運用
→矩陣與向量、靠賽局理論贏得比賽的方法
第五章 數學之王微積分
→生活周遭無所不在的微積分
第六章 偶然的科學
→機率、排列組合與統計
第七章 生活中的數學
→指數、對數和數列
第八章 和三角函數作朋友
→用途無限的三角函數、傅立葉轉換
第九章 數學開展世界
→淺談拓樸學、破局理論、集合與邏輯


 

川久保勝夫
1942年生於日本長野縣,東京大學理學院數學系畢。取得同大學的碩士學位後,曾任普林斯頓高等研究所研究員、紐約州立大學研究員、波昂大學客座教授以及赫爾辛基大學客座教授。目前為大阪大學理學院教授,理學博士,也是日本數理協會的理事兼評議員。

審訂者簡介
李盈嬌
台北市人,台灣大學數學研究所碩士

譯者簡介
高淑珍
輔仁大學日文系畢,曾任錦秀出版社日文編輯、舜恕編譯室日文譯者,自組「日文翻譯工作室」十多年,目前為多家出版社的特約譯者。

運用數學的靈活思考力,發揮真正的價值
近年來,就業市場出現重大的變革;數學科出身的學生,成為各大企業徵才的新寵兒,究其原因不外乎拜電腦普及之賜。不管是要擬定一份新的企劃案、解決預估情勢外衍生的新問題,數理背景人才的思考靈活,比較能夠發揮真正的價值。
類似上述的問題,通常牽涉到許多層面;單憑個人有限的經驗,恐怕無法找出問題的癥結點。這時我們需要能夠分析、綜合問題以及理路清晰的能力;而這正是數學的思考法及敏銳度。
曾有一家知名企業老闆,針對未來的商界局勢說過一句名言:「具有數理能力的人才不會被淘汰!」他所指並非單純的計算能力或數學認知,而是一再被強調之企業所需,如前所述的數學思考法及數學敏銳度。再者,在會議等場合中的發言受到重視或漠視,能不能以清晰理路展開議論,都和數理有密不可分的關係。
從有趣真實的角度,探索數學的「架構」
有些人,一聽到「數學」二字,馬上豎起白旗投降;或雖覺得有興趣,卻怎麼也記不住數學符號、用語或公式,在入門時就飽受挫折的人也不少。這對身為數學老師的我來說,著實十分遺憾,促使我寫作此書。
我深切盼望原來討厭數學的人,能透過此書,從有趣且深入理解的角度探索數學的「架構」。
在商業書籍中,只強調興趣本位但論點含糊的作品不少;本書為了幫讀者養成用數學思考的好習慣,絕不含糊論點,而以真實的面貌呈現出數學的世界。
我希望盡量以深入淺出的方式,讓讀者了解數學的世界何其有趣,對人類有多大的幫助;並以周遭的題材為例,採用圖文並茂的視覺解說,讓每一個人都可以輕易了解。尤其是把說明重點放在「為何這麼做?」的動機上,確信一定能產生「原來如此!是這樣算啊!」的結果。
例如,一提到三角函數,只要大家了解「為何要認識三角函數」的動機,就會知道三角函數多麼簡單,且為何現在會被廣泛用於高科技領域的理由了。
此外,矩陣或向量正是探索經濟或社會脈動的強而有力武器;經由矩陣或向量的運用,複雜現象間的關係變得密切,好比變魔術一般能清楚看到物體之間的關聯。
就連許多學生頭痛不已的微積分,也能自然地被引導來理解物體變化的樣子;結果,在「這個時候,能這麼應用嗎?」的思考之下,微積分的思維方式或知識,廣泛地被運用。
只要稍微用心就會發現,生活周遭的一切事物,都是數學創意延伸的結果。
本書的利用方法
本書分成九大章,利用許多插圖或圖表解說有關數學的基本架構;為了幫讀者做進一步的了解,還提及數學公式或其證明。但原則上,希望讀者以穩健的步伐,探索數學的世界。此外,針對一般人常有的疑問,另闢專欄加以說明。而書中的各個章節大多可以單獨提出,所以,不論讀者從哪個章節著手均可。
愉快又自然地琢磨出數學的感受力,就是我最大的期待。
第1章 「數」的探索
「數」的故事
●數的架構
數的觀念從計算開始
●零的發現
代表什麼都沒有,卻具有重要的意義
●負數的功用
計算數目時少不了負數
●有理數的延伸
從加減乘除演算之數的觀念,延伸到有理數
●無理數的存在
有理數已得證,無理數的春天在哪裡?
●不可思議的虛數i
複數果真存在嗎?
●單純又神秘的質數
「質數」為數的原子
●專欄 每個數字都有不同的意義
第2章 釐清「數」的關係
「函數」的故事
●何謂函數?
飲料或車票自動販賣機也是一種函數的運用
●一目了然的座標圖
一次函數為直線、二次函數為拋物線、反比為雙曲數
●方程式的解題絕招
先建立方程式為解題的要訣
●採用聯立方程式的鶴龜算法
複雜的計算在於寫出方程式
●二次方程式的解題公式
以二次方程式的判別式判斷解答的性質
●三次方程式及解題秘密
數學史上最引人矚目的解法插曲
◎專欄 真的有方程式解法嗎?
第3章 幾何學之美與謎
「形狀」的故事
●幾何學大復活!
三角形的五心──重心、內心、外心、旁心、垂心
●形狀的確定
直線構成的圖形面積請用三角形求解
●形狀的排列
任何的正多角形磁磚的舖設問題
●圓周率的計算歷史
圓周率π的故事
●黃金矩形之美
二次方程式與黃金比例
●利用尺及圓規解題
希臘三大難題:倍立方體體積、角的三等份、圓的面積
●正多面積只有五個
「正多面積為無限」是錯誤觀念
●歐基里得幾何學
知名度僅次於聖經的《原理》是近代科學方法論的基礎
●非歐基里得幾何學
與歐基里得幾何學體系不同的幾何學
◎專欄 代數幾何學的研究
第4章 矩陣的運用
矩陣與向量的故事
●矩陣或向量的用途為何?
只有數字陳列的矩陣或向量具有深遠的意義
●向量的加法與減法
矩陣或向量按照計算規則發揮力量
●矩陣的乘法
矩陣或向量在乘法中更能發揮作用
●矩陣為一變換的機器
通過某個矩陣後向量變身為新風貌
●用矩陣解聯立方程式
只要利用反矩陣即可解開聯立方程式
●向量翱翔天空
透過許多力的向量合成可以飛行無礙
●經濟上中運用的矩陣!
馬可夫鏈可預測汽車的市場佔有率
●賽局理論運用於網球比賽
經濟或運動等競爭全都可藉為賽局理論求勝
◎專欄 未來的預測
第5章 數學之王微積分
微分與積分的故事
●重點是計算面積
積分的起源來自古埃及尼羅河的氾濫
●越切越小的圖形
阿基米德的構思開啟微積分學的大門
●積分的構思
利用極限思考算出曲線圖形的面積
●追求瞬間速度
千變萬化的速度唯有微分可以掌握
●微分再微分
追蹤函數曲線的最大線索是導函數
●微分不離積分
魔棒一揮,微分與積分緊緊相依
●函數f(x)和f’(x)
了解微積分基本定理,積分變簡單
●應用微積分
生活周遭都是微積分的應用實例
◎專欄 阿基里斯的比賽
第6章 偶然的科學
機率的故事
●與命運女神邂逅的方法
將「偶然」科學化的機率論起源自賭博
●擲6次必定會出現1次嗎?
機率的基本為大數法則──小心不要用錯
●排列與組合的觀念
在機率中計算場合的數量成為基數
●亂槍打鳥也會中?
「至少……」等機率問題,可運用餘事件解釋
●不太可靠的直覺
在40人的班級中生日相同者的機率為89%
●先抽先贏?
畫成機率的樹形圖,一清二楚
●紅球與白球的機率
製作圖表,一清二楚
●贏錢或輸錢的平均
運用期望值評估賭博,結果發現都是賠
●亂數具有的深刻意義
亂數無所不在
●統計的比較
平均與標準差
◎專欄 不了解機率的話連命都沒了
第7章 這麼想就對啦
指數‧對數和數列的故事
●天文學的數字計算
從微小世界到極大世界,都是指數函數的概括範圍
●天才數學家高斯的計算
等差數列之和的快速算法
●超乎想像空間的等比數列
多倍數的計算易如反掌
●生活周遭中的等比數列
銀行存款、貸款利息、音階世界等,都是等比數列
●對數世界十分有趣
對數和指數正好相反
●讓計算變簡單
煩人的複利計算,用對數就對了
●知覺其實是對數感覺
星星亮度等級、聲音強弱的分貝、地震的震度級數……
●自然界中的對數和指數
自然界中的指數或對數
◎專欄 不可思議的e=(ex)’=ex
第8章 和三角函數作朋友
三角函數的故事
●給畏懼三角函數的人
sin、cos、tan是好朋友三人組
●用棍子測量高度
泰利斯測量金字塔高度的方法
●跨越障礙的餘弦定理
碰上山或建築物無法直接測量時的距離算法
●正弦定理的測量妙方
神通廣大的三角測量
●電氣也是正弦的世界
若沒有三角函數就日夜不分了
●用途無限的三角函數
重現美妙音色的,正弦曲線的組合
●傅利葉轉換
DNA的雙重螺旋構造也可用傅利葉轉換解釋
◎專欄 神秘的Euler公式
第9章 數學展開新世界
新數學的故事
●形狀在空間中的變化
可以發現局部性和全面性差異的拓樸學
●誰在說謊?
動搖數學基礎的羅素詭論
●何謂不確定性理論?
一個人無法決定自己的價值
●模糊理論
地下鐵或NASA的太空梭都有關係
●天氣預報為何不準確?
模糊不清或無秩序的混沌現象經常可見
●何謂碎形圖形?
介於一維度與二維度之間的維度空間圖形
●破局的分析
破局理論將急遽變化加以規範
●電腦運用的數學
兩個數字組合即可表現邏輯
●集合與邏輯
集合理論與邏輯推論
●對稱之美
一切都源於哥羅亞的方程式解法
●「維度」另一章
三度、四度、五度……自由思考多維度空間
◎專欄 費瑪大定理的證明

數的架構
數的觀念從計算開始
  從歷史的觀點來看,不難想像數學最早的起源是來自計算東西。
當人們數著一個、二個、三個蘋果或橘子,一個人或二個人的時候,從這些不同種類的「物」、「人」中,產生數的觀念;這就是自然數的起源。
現代人可以隨心所欲加以運用的數,是經過漫長歷史才被人類掌握;因為實際計算和用數字表達的抽象觀念之間,有著極大的差距。
當然,這種抽象的觀念,會經過某些特定的努力而具體化;經過長久的歲月,藉著許多人的力量,我們才能一步步認識數學。
在我們計算蘋果或橘子的時候,自然地導入了加減法的演算。
除了無限大的數學外,比較小的「正整數」會自然地進入人類的生活中(所以正整數又稱作「自然數」)。
數的發展
自然數衍生了數的觀念之後,人類又發現「零」,接下來出現「負數」,成為完整的整數結構。
當然,從物體的分割,發展出有理數也是自然的現象;「有理數」指的是分母及分子都是整數(但分母不為零)的分數。
若有理數再加入「無理數」,就構成「實數」系統。
不過,就像畢達哥拉斯學派的門徒對此持保留意見一樣,無理數正如其名,總叫人覺得是不太自然的數。
最後實數加上「虛數」成為「複數」,數的觀念終於暫時劃下休止符;但這並不表示,這條數學大道從此平坦順遂。
由此可知,經過漫長歷史,辛苦累積的數的觀念,堪稱是人類智慧的結晶。
零的發現
代表什麼都沒有,卻具有重要的意義
零就是什麼都沒有。
「既然是什麼都沒有,那還有存在的意義嗎?」或許很多人都有這種疑問吧!
因為人們平常已經相當習慣「」的存在,反而忽略了它的價值與重要性。
據說「0」這個符號發源於印度。古印度人由地球眺望夜空的星星時,彷彿看到點點或小圈圈,就用「‧」或「0」來表示,視為「修涅」(無)。而印度的創造之神梵天(普拉夫瑪)相信這種「修涅」必帶有宗教上的意義,才產生「‧」或「0」代表「無」之「修涅」的觀念。
的存在意義
以下可以舉出「0」這個符號的兩種存在意義。
第一是用來表示「無」的狀態,即所謂的「一元復始」。第二是用來表示「位數」,例如二百三十的數字寫成。
一般都以十進位或二進位表示數字,這時當然是不可缺的。古人會以空一格的寫法表示的位置;但如此一來,有時不易分辨空下來的數目是多少。而且如果第一位是的話,就不知道要不要空一格了。
無所不在
在中國或日本,都以個、十、百、千、萬、億……等單位表示位數,即使沒有還是可以表示數字。而在西方則以百、千、百萬……等單位表示數字;但是,這種表現方法卻會受限。
十進位或二進位的位數概念,可以克服這個缺點,這時就更加不可缺少了!
環顧生活周遭的事物,可以發現「0」無所不在;例如「從算起」、「水於時結冰」、「打長途電話要加上0……」。
負數的功用
計算數量時少不了負數
用來計算東西數量的數,進一步演變為加法或減法的算式,帶給人們無窮的方便。
三個蘋果加五個蘋果等於八個蘋果──人們十分自然地運用加法。同樣地,減法也是這樣嗎?事實證明減法並沒有那麼單純;五個蘋果減掉三個剩下二個蘋果沒有問題,可是,三個卻無法減掉五個!正當人們煩惱時,「負數」出現了!
不過,怎麼計算,世界上還是沒有所謂的-2個蘋果吧!儘管如此,負數仍在數學界佔有一席之地,這是為什麼呢?
我們可以從結論反推出答案:「對於自然科學的現象或人類活動的狀況,有了負數才能良好因應和記錄」;換句話說,「對應負數的現象是自然存在的!」以下試舉一些例子加以說明。
例如,你有3萬元的收入,卻支出5萬元,出現2萬元的赤字;這時的「赤字=負數」之對應是成立的。
笛卡兒表示法
又如以某個原點為準,向東為正;如果先向東走,再向西走,則「7 -10=-3」,表示位在東方-3km,亦即西方3km的位置,這是笛卡兒表示法。
笛卡兒由此現象在直線上標示數字,後來更擴及到實數,即如上圖所示,畫在整數的直線上(實線數)。
其實,從歷史也能得知,以前的人解方程式時就曾出現負的答案,只可惜人們不認為那是解答。負數一直被認為是「沒有道理的數」、「假想的數」;直到笛卡兒幾何直線表示,才正視負數的存在。
這種幾何表示法,後來拯救了虛數存在的危機!

 

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