俄羅斯高等數學教材精粹選編（簡體書）

《俄羅斯高等數學教材精粹選編》可作為大學本科高等數學教學參考書與大學生的學習指導書。《俄羅斯高等數學教材精粹選編》是由高等教育出版社出版。

第1章 實數
1.1 實數集合的公理化定義
1.2 擴充的數軸
第2章 數列與極限
2.1 數列及其通項
2.2 斐波那契數列及其性質
2.3 數列的前n項和Sn
2.4 數列的極限
2.5 有理數集Q的稠密性
2.6 實數集合R的完備性與連續性
第3章 函數極限與連續性
3.1 函數記號
3.2 周期函數
3.3 分段函數及其圖形
3.4 函數極限的另一種定義
3.5 關于e是無理數的證明
3.6 函數的連續性
第4章 導數及其應用
4.1 導數與切線的定義
4.2 復合函數的導數
4.3 隱函數的導數
4.4 反函數的導數
4.5 由參數確定的函數的導數
4.6 微分及其運算
4.7 高階導數
4.8 分段函數的連續性與可微性
4.9 微分學中值定理
4.10 泰勒公式（泰勒中值定理）
4.11 洛必達法則
4.12 關于函數單調性的一點注記
4.13 利用函數單調性證明不等式
4.14 曲線的凹凸性與拐點
4.15 漸近線定義的注記
4.16 利用導數求高次方程的根
4.17 導數在幾何學中的應用
4.18 極值與最值
4.19 利用導數作函數圖形
典型計算題（選摘）
第5章 不定積分
5.1 不定積分的定義及在初等數學中的應用
5.2 積分法的典型計算舉例
典型計算題（選摘）
第6章 定積分
6.1 定積分的定義
6.2 利用定積分計算求和
6.3 有關變上限積分函數的連續性
6.4 牛頓-萊布尼茨公式與積分中值定理
6.5 積分型函數的微分法與應用
6.6 曲率及其應用
6.7 絕對可積與黎曼可積
6.8 定積分的計算方法
6.9 證明積分不等式
6.10 定積分大小的比較
6.11 積分等式的證明
6.12 證明積分恒等式
第7章 定積分的應用
7.1 在幾何中的應用舉例
7.2 實際應用舉例
7.3 反常積分
第8章 多元函數微分學
8.1 Rn空間
8.2 函數的極限與連續性
8.3 算子符號在高階偏導數中的應用
8.4 全微分
8.5 多元復合函數求導典型例題
8.6 隱函數求導舉例
8.7 方向極限與方向導數
8.8 對空間曲面的切平面的注釋
8.9 咒元函數的泰勒公式
8.10 多元函數的極值
第9章 重積分
9.1 二重積分的定義
9.2 二重積分的計算
9.3 二重積分的換元法
9.4 三重積分的計算
9.5 質心坐標
9.6 n重積分
9.7 雅可比行列式在重積分中的應用
9.8 關于n元函數反常積分的定義
9.9 含參變量的積分
第10章 曲線積分與曲面積分
10.1 兩類曲線積分及其計算
10.2 關于曲線積分中值定理的注釋
10.3 關于第二類平面曲線積分的注釋
10.4 格林公式及其應用
10.5 兩類曲面積分及其計算
10.6 高斯公式與斯托克斯公式
10.7 雅可比行列式在曲面積分中的應用
第11章 無窮級數
11.1 數項級數
11.2 正項級數（或非負項級數）的收斂性
11.3 變號級數的絕對收斂與條件收斂
11.4 函數項級數
11.5 冪級數典型例題
11.6 利用冪級數近似計算初等函數值
11.7 級數與數列的求和法
11.8 傅里葉級數
11.9 廣義函數的概念
第12章 微分方程
12.1 微分方程的基本概念
12.2 一階微分方程
12.3 存在和唯一性定理
12.4 可降階的高階微分方程
12.5 高階線性微分方程
12.6 常系數齊次線性微分方程
12.7 常系數非齊次線性微分方程
12.8 歐拉方程
12.9 常微分方程組
12.10 對稱方程組
參考文獻

眾所周知，在代數學中回答各種代數方程組解的個數問題的代數基本定理起了很大的作用，由于微分方程通常都有無窮多個解，所以對微分方程應當提出的不是關于解的個數問題，而是關于如何描述給定方程所有解的集合問題，前面我們介紹了幾種特殊的一階微分方程的解法，但是我們能夠用初等積分法求解的微分方程非常有限，如形式上非常簡單的里卡蒂方程y’＝x2+y2就不能通過初等積分法求解，大多數情況下我們需要尋求微分方程的近似解，這首先需要知道給定的微分方程是否有解。當微分方程有解時，它的解是否唯一？顯然，這是一個必須解決的基本問題。柯西（Cauchy，1789—1857）在19世紀20年代第一個成功地建立了微分方程初值問題解的存在和唯一性定理，1876年利普希茨（Lipschitz，1832—1903）減弱了柯西定理的條件，而在1893年皮卡（Picard，1856—1941）用逐次逼近法在利普希茨條件下對定理給出了一個新證明。此外，佩亞諾（Peano，1858—1932）在更一般的條件下給出了柯西問題解的存在性定理。下面介紹一階微分方程柯西問題的皮卡定理和佩亞諾定理。