微積分探幽：從高等數學到數學分析(上冊)（簡體書）

微積分無疑是人類最重大的數學發明之一，其對於現代科學技術的意義已經無需多言，從幾乎所有理工科專業的學生都要在入學之後立刻學習“高等數學”或“數學分析”課程即可看出。本書首先介紹微積分到數學分析的發展歷史，著重於其中碰到的問題和解決問題的方法，然後從實數公理、自然數、有理數、無理數的實際模型開始，完整、嚴謹地向讀者介紹美麗的微積分大廈的建造過程。作者希望為喜愛數學，想進一步了解數學的基礎、學習數學嚴謹邏輯推理的讀者提供一本故事化一點、話多一點、可讀性強的書。將微積分盡可能平民化，使更多的人能夠通過閱讀學習一點這方面的知識，得到一些數學的邏輯訓練是作者的追求。
本書也可作為大學“高等數學”“數學分析”課程的參考書，相信讀者會在本書中更深刻地體會微積分的恢弘與幽遠。對於希望考研究生的同學，以及想給自己孩子講解一點微積分的家長，本書也能夠提供許多有益的幫助。
具備中學數學知識是閱讀本書的基本要求。

譚小江 北京大學數學科學學院教授，博士生導師。主要研究方向是復分析，復幾何。長期從事數學分析，復變函數的教學工作。獨自和與人合作出版了《數學分析》《復變函數簡明教程》，《多復分析與復流形引論》等教材。多次獲得北京大學優秀教學和教材獎。

學習微積分這門課程，要達到什麼程度，才算學會了呢？會證明、會求導、會算積分……？可一旦長時間不再接觸，這些做題技巧可能就會忘了。小編覺得如果能把微積分的理論掌握到，一想起微積分就覺得它是一件很自然的事情，它的定義、性質、定理等所有關於微積分的理論是自然而然的，那麼微積分就算學會了。這本《微積分探幽》就是這樣的一本書，能讓讀者把微積分學到自然的境界。

目錄
第一章 實數理論
1.1數學分析簡史
1.2一些基本符號和邏輯用語
1.3實數公理
1.4利用 Dedekind 分割構造的實數模型
習題
第二章 極限理論
2.1序列極限的定義
2.2單調有界收斂定理
2.3區間套原理
2.4開覆蓋定理
2.5聚點原理與 Bolzano 定理
2.6 Cauchy 準則
習題
第三章 函數極限與連續函數
3.1函數
3.2函數極限
3.3函數極限的存在問題
3.4連續函數
3.5連續函數的介值定理
3.6閉區間上連續函數的最大、最小值定理
3.7閉區間上連續函數的一致連續定理
習題
第四章 一元函數微分學
4.1無窮小和無窮大的階
4.2導數和微分
4.3初等函數求導
4.4高階導數和高階微分
4.5 Lagrange 微分中值定理
4.6不定式與 LHospital 法則
4.7 Taylor 展開
4.8初等函數的 Taylor 展開
4.9函數的極值點、凸凹性和函數的拐點
4.10函數作圖
習題
第五章 一元函數積分學
5.1定積分
5.2利用 Cauchy 準則來判別函數的可積性
5.3利用單調有界收斂定理來討論函數的可積性
5.4 Riemann 積分的性質
5.5分部積分法與積分的變元代換
5.6微元法與積分在幾何中的幾個簡單應用
習題
第六章 不定積分
6.1原函數與積分表
6.2積分換元法
6.3分部積分法
6.4有理函數的部分分式理論與不定積分
6.5三角函數有理式的不定積分
6.6某些無理函數的不定積分
習題
第七章 廣義積分
7.1廣義積分
7.2瑕積分
習題
第八章 無窮級數
8.1無窮級數
8.2利用廣義積分來討論無窮級數
8.3正項級數收斂的其他判別方法
8.4收斂級數的性質
8.5無窮乘積
習題
第九章 函數序列與函數級數
9.1函數序列的極限問題
9.2一致收斂與極限交換順序
9.3極限與求導、極限與積分的順序交換問題
9.4一致收斂的判別
習題
部分習題提示
索引