數之軌跡Ⅲ：數學與近代科學(限量親簽版)

臺灣數學界的《史記》，臺灣數學史研究第一人洪萬生心血之作

柏拉圖將五元素連結五種正多面體的圖形，

讓古希臘宇宙論有了最自然的「數學歸宿」。

以五元素中的四個古典元素為靈感，《數之軌跡》將深入探索數學的歷史、發展和奧祕。每本書都是一個獨特的元素，象徵不同的數學主題，並呈現數學在文化、科學和藝術中的深遠影響。

無論你是一位數學愛好者、學生還是對數學歷史感興趣的讀者，《數之軌跡》都將為你打開數學的大門，啟發你對這一古老而美麗的學科有新見解。

─本書特色─

●數學史大師洪萬生與HPM團隊共同打造最全面的數學歷史

●多元歷史題材，對比不同文明之間有關同一知識內容的研究

●深入探討文化差異，參悟不同命題與證明的數學風格

─數學與近代科學─

火象徵著數學的革命和現代奇蹟，也是最銳利的正四面體

這本書將進入近代數學發展的時期。深入研究西方數學的嶄新發展，了解文藝復興時期，以及科學革命所帶來的影響。探索微積分、數論等各大數學領域如何塑造當今的世界，見證數學家們如何改變了我們的生活。

─閱讀歷史，體會數學─

在文藝復興時期，藝術家們為追求更為逼真的藝術作品而興起了透視學。這股潮流不僅激發了數學家對此深入研究，甚至回饋到數學領域之中，從而誕生新的數學分支。

牛頓與萊布尼茲的微積分之戰至今一直是人們喜愛討論的話題，而微積分的誕生，究竟誰才是第一人，這場爭端後續又造就了怎麼樣的歷史？將完整帶給讀者最詳盡的內容！

─通往數學思維的大門─

不僅僅是闡述數學歷史，更能幫助讀者理解數學的抽象概念，理解數學背後的邏輯推演。內容探索各種古代人的智慧，無論是否喜歡數學，都能從中發現數學的樂趣以及實用性，對學習數學將會有非常大的幫助！

─全數推薦─ (依首字筆劃排序)

冬陽｜央廣．名偵探科普男節目主持人

呂治鴻｜數學愛好者、大學數學管理員 、臺灣大學數學所博士候選人

李政憲｜教育部師鐸獎得主、新北市林口國中數學科教師

洪進益｜澎湖縣石泉國小教師、教育部師鐸獎得主

崔茂培｜臺灣大學數學系教授、MRPC科學推展中心數學組主任

張旭 (張舜為)｜張旭無限教室線上課程平台創辦人、數學老師

莊惟棟｜明道大學助理教授、數學博物館館長

彭良禎｜師大附中數學科教師

趙國欽｜臺北市立大學數學系副教授

這是一套貫徹世界各地，古今中外的數學大成。《數之軌跡系列》詳盡地整理過去的故事、將近代的數學用大家可以懂的方式撰寫，讓數學之美持續傳播。

──數學老師張旭 (張舜為)

─主編─

洪萬生

臺灣彰化人，臺灣數學史教育學會名譽理事長，國立臺灣師範大學數學系退休教授。在職涯中熟練數學史專業研究之際，也一直關注數學史與數學教學之關連（HPM）。四十多年來，已出版二十幾本普及著譯作品（含與師友、學生輩合作部分），為數學普及閱讀活動，略盡棉薄之力。著譯有《數學故事讀說寫》、《當數學遇見文化》《學霸筆記：幾何》、《數學也可以這樣學》、《窺探天機──你所不知道的數學家》、《數學的浪漫：數學小說閱讀筆記》、《畢氏定理四千年》、《摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學》、《蘇菲的日記》、《爺爺的證明題：上帝存在嗎?》，審訂有《數學女孩系列》、《世界第一簡單線性代數》、《小學算術：小學1～6年的學習指導要點對應》、《數學，為什麼是現在這樣子？：一門不教公式，只講故事的數學課》。

─協編─

英家銘

國立清華大學通識教育中心與歷史研究所合聘副教授，曾任劍橋大學李約瑟研究所訪問研究員、中原大學講師與國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系副教授。研究專長為數學史、數學教育、數學文化、東北亞史，特別是數學在朝鮮與日本傳統文化中的發展。

─作者─

蘇惠玉

國立臺灣師範大學數學研究所碩士，現任臺北市立西松高中數學科教師，是位教學經驗超過二十年的數學教師。研究所時主修數學史，希望以更有效的方式將數學史的材料融入數學教學中。自從《HPM通訊》1998年創刊以來，一直義務擔任主編工作。在教學和其相關工作之餘，盡力為學生更好的學習數學與數學普及而努力。 

蘇俊鴻

國立臺灣師範大學數學研究所博士，現任臺北市第一女子中學數學科教師，專長為（中國）數學史及HPM。 

陳彥宏

國立臺灣師範大學數學研究所碩士，現任臺北市立成功高中教師。曾與臺灣HPM團隊合譯《數字邏輯101》、《溫柔數學史：從古埃及到超級電腦》、《這個問題，你用數學方式想過嗎？》。

─審訂─

于靖

耶魯大學數學博士，教育部榮譽國家講座，中央研究院院士，美國數學會會士。曾在美國普林斯頓大學發行的數學界權威性期刊《數學年鑑》（Annals of Mathematics）上發表了二篇論文，於2015年獲選為世界科學院院士。

林炎全

美國南卡羅萊納大學數學博士。曾任職羅東高中、宜蘭高中、臺中二中，中等學校教師研習會以及國立臺中教育大學數學教育學系副教授。曾與大學同窗洪萬生、楊康景松等人合譯Mathematical Thought from Ancient to Modern Times，譯有《畢氏定理四千年》。

單維彰

國立中央大學師資培育中心、數學系與文學院學士班合聘教授。主要工作在於數學教育，其對象包括學士、碩士、博士階段的數學專業教育，國中、高中階段的數學素養教育，中等學校數學領域的師資培育，以及面對社會大眾的通識教育。榮獲國立中央大學第一屆教學傑出獎、教育部第七屆全國傑出通識教育教師獎、教育部107年磨課師標竿課程獎。

─全數推薦─ (依首字筆劃排序)

冬陽｜央廣．名偵探科普男節目主持人

呂治鴻｜數學愛好者、大學數學管理員 、臺灣大學數學所博士候選人

李政憲｜教育部師鐸獎得主、新北市林口國中數學科教師

洪進益｜澎湖縣石泉國小教師、教育部師鐸獎得主

崔茂培｜臺灣大學數學系教授、MRPC科學推展中心數學組主任

張旭 (張舜為)｜張旭無限教室線上課程平台創辦人、數學老師

莊惟棟｜明道大學助理教授、數學博物館館長

彭良禎｜師大附中數學科教師

趙國欽｜臺北市立大學數學系副教授

這是一套貫徹世界各地，古今中外的數學大成。《數之軌跡系列》詳盡地整理過去的故事、將近代的數學用大家可以懂的方式撰寫，讓數學之美持續傳播。

──數學老師張旭 (張舜為)

《數之軌跡》推薦序　于靖

很高興看到洪萬生教授帶領他的學生們寫出大作《數之軌跡》。這是一本嘆為觀止，完整深入的數學大歷史。萬生耕耘研究數學史近四十年，功力與見識足以傳世。他開宗明義從何謂數學史？為何數學史？如何數學史？講起。巴比倫，埃及，希臘，中國，印度，阿拉伯，韓國，到日本。再從十六世紀到二十世紀講西方數學的發展與邁向巔峰。《數之軌跡》當然也著力了中國數學與希臘數學的比較，中國傳統數學的興衰，以及十七世紀以後的西學東傳。

半世紀前萬生與我結識於臺灣師範大學數學系，那時我們不知天高地厚，雖然周圍沒有理想的學術氛圍，還是會作夢追尋各自的數學情懷。我們一起切磋，蹣跚學習了幾年，直到1976暑假我有機會赴耶魯大學博士班。1980年我回到中央研究院數學所做研究，那時萬生的牽手與我的牽手都在外雙溪衛理女中執教，我們有兩年時間在衛理新村對門而居，茶餘飯後沈浸在那兒的青山秀水，啟發了我們更多的數學思緒。1982年我攜家人到巴黎做研究才離開了外雙溪。後來欣然得知萬生走向了數學史，1985年他決定赴美國進修，到紐約市立大學跟道本周(Joseph Dauben)教授專攻數學史。

1987（或1988）年，我舉家到普林斯敦高等研究院做研究。一個多小時的車程在美國算是「鄰居」，到紐約時我們就會去萬生家拜訪，談數學，數學史，述及各自的經歷與成長。1988年暑假我回臺灣之前，我們倆家六口一起駕車長途旅遊，萬生與我擔任司機，那時我們都不到四十歲，從紐約經新英格蘭渡海到加拿大新蘇格蘭島，沿魁北克聖羅倫斯河，安大略湖，從上紐約州再回到紐約與普林斯敦。一路上話題還是會到數學與數學史。

我的數學研究是在數論，是最有歷史的數學，來龍去脈的關注自然就導引數論學者到數學史。在高等研究院那年，中午餐廳裡年輕數論學者往往聚到韋伊(Andre Weil)教授的周圍，聽八十歲的他講述一些歷史。韋伊是二十世紀最偉大數學家之一，數學成就之外那時已經寫了兩本數學史專書：數論從Hammurabi到Legendre，橢圓函數從Eisenstein 到Kronecker。

1990年代，萬生學成回到臺灣師範大學，繼續研究並開始講授數學史。二十餘年來他培養指導了許多研究生，探索數學史的各個時期及面向，成績斐然。這些年輕一代徒弟妹：英家銘，林倉億，蘇意雯，蘇惠玉等，也都參與了撰述這部《數之軌跡》。特別是在臺灣推動HPM數學史與數學教學，萬生的School做了許多努力。

在這本大作導論中，萬生指出他的數學不只包含菁英數學家(elite mathematician)所研究的「學術性」內容，而是涉及了所有數學活動參與者(mathematical practitioner)。因此《數之軌跡》並不把重點放在數學歷史上的英雄人物，而著眼於人類文明的發展過程中，數學的專業化(professionalization)與制度(institutionalization)，乃至於贊助(patronage)在其過程中所發揮的重要功能。

在《數之軌跡：再度邁向顛峰的數學》第4章裡，《數之軌跡》試圖刻劃二十世紀數學。萬生選擇了四個子題來描述二十世紀前六十年的數學進展：艾咪・涅特，拓樸學的興起，測度論與實變分析，集合論與數學基礎。這當然還不足以窺二十世紀前五十年數學史的全貌：像義大利的代數幾何學派，北歐芬蘭的複分析學派，日本高木貞治的代數數論學派，與抗戰前後的中國幾何學大師陳省身，周緯良，都有其數學史上不可或缺的地位。從二十世紀到二十一世紀，純數學到應用數學，發展更是一日千里。《數之軌跡》選了兩個英雄主義的面向：「希爾伯特23個問題」、「費爾茲獎等獎項」，來淺顯說明二十世紀數學知識活動的國際化。這些介紹當然不能取代對希爾伯特問題或費爾茲獎得獎工作的深入討論。最後寫科學的專業與建制，以及民間部門的角色：美國 vs. 蘇聯。這是很有意思的，我希望數學史家可以就這個題目再廣泛的搜集資料，因為在1960年代之後，不同的重要數學研究中心在歐洲美國出現，像法國IHES，德國的Max Planck，Oberwolfach等。到了1990年世界各地，包括亞洲（含臺灣，中國），數學研究中心更是像雨後春筍般冒出。這是一個很有意義的數學文化現象。另一方面，隨著蘇聯解體，已經不再是美國 vs. 蘇聯，而是在許多國家百花齊放。從古到今，數學都是最Universal！

第1章 十五～十七世紀的西方數學

1.1 實用算術與商業發展

1.2 西蒙・史提文

1.3 約翰・胡德與德．維特

1.4 十六世紀歐洲數學的主角：三角學

1.5 麥卡托投影法與三角學

1.6 雷喬蒙塔努斯與《論各種三角形》

1.7 對數的發明

1.8 文藝復興與希臘典籍的重現

1.9 代數及其符號法則

1.10 卡丹諾與《大技術》

1.11 三次方程式解法的優先權爭議

1.12 符號法則：韋達與笛卡兒

1.13 數學與繪畫透視學：射影幾何的緣起

第2章 科學革命

2.1 哥白尼與《天體運行論》

2.2 伽利略與《關於兩門新科學的對話錄》

2.3 克卜勒與《新天文學》

2.4 牛頓與《自然哲學的數學原理》

第3章 近代數學的起點（一）

3.1 數論

3.2 古典機率

3.3 坐標幾何

3.4 笛卡兒與《幾何學》

3.5 費馬與《平面與立體軌跡引論》

3.6 費馬 vs. 笛卡兒

第4章 近代數學的起點（二）

4.1 前言

4.2 科學的數學化

4.3 函數的發明

4.4 微積分的誕生

4.5 微積分的發明人：牛頓(1643-1727)

4.6 牛頓的流數法微積分

4.7 微積分的另一位發明人：萊布尼茲(1646-1716)

4.8 萊布尼茲發明的微積分

4.9 關於微積分發明的優先權爭議

4.10 柏克萊主教的《分析學者》與基礎論戰

4.11 數學家的地位與相互的交流

第5章 中國數學：西方數學文化的交流與轉化之另一面向

5.1 《幾何原本》(1607) 與西學第一次東傳

5.2 梅文鼎、康熙與《數理精蘊》(1723)

5.3 乾嘉學派與《疇人傳》

5.4 算學 vs. 經學：以談天三友焦循、汪萊與李銳為例

5.5 十九世紀中國數學：李善蘭、華蘅芳與西學第二次東傳

5.6 晚清數學知識的制度化與傳播

5.7 「西學中源」的意識形態功能

1.8　文藝復興與希臘典籍的重現

西元 1464 年二月，雷喬蒙塔努斯寫信詢問北義大利費拉拉大學的數學與天文學家比安基尼(G. Bianchini)，是否能找到丟番圖（Diophantus，約200-284）《數論》(Arithmetica)的完整版，他自己手上持有的並不完整。事實上，到今天為止，也沒人能找到《數論》的完整版。然而，雷喬蒙塔努斯對丟番圖《數論》的發現與追尋，已經為這本書在歐洲打開知名度了。

此時，雷喬蒙塔努對古代典籍的興趣並不是個案，而是一股大約從這個世紀開始，持續到十七世紀的文化風潮。這段時期不管是政治、宗教、哲學、藝術、文學與科學研究，都指向當前社會現況的批判，並積極尋找一切「復興」與「再生」的新路徑。這個時期顯現出的文化特色，明顯地與中世紀不同，因此，才讓史學家創造了文藝復興(Renaissance)這個詞彙來統稱這個時代的特色，儘管現代學者對這個詞彙的使用有些爭議，它仍是對十四到十七世紀這段西方歷史時期的一個通用稱呼。在此，我們僅用「文藝復興」來代表一段有其文化特色的歷史。

文藝復興時期的知識基礎，來自這段時期特有的人文主義(humanism)風潮。那是一種對古代典籍的研究，不僅是對古希臘與古羅馬典籍的再發現，還重新加入了批判思考，促成一種徹底不同的新型態文化變革。在這些劇烈的變革中，有許多的因素交互影響，其中，經濟貿易的改變帶動城市與商人的興起，資產與財富自然帶來了影響力。遠洋貿易帶動的地理大探險熱潮，也開闊了人們的眼界與思考界線，更帶來大量的新知識，與激發人們對新事物的想像與渴求。更重要的，是對天主教的不滿與改革所帶來的自由思考。所有這些種種因素，都刺激著人們尋求解決人類、自然與社會秩序問題的新方法，而這些新方法的寶庫之一，就是古希臘的學術典籍，其中重要的知識寶藏，無疑就是數學典籍。

對古希臘典籍的首次接觸，反而要透過阿拉伯世界的穆斯林才得以實現。何以這些古典的文獻反而需要透過阿拉伯語的翻譯、或是來自君士坦丁堡的希臘學者，才得以在歐洲再次流傳？在羅馬帝國東西分治以後，在東邊的政權被稱為東羅馬帝國，十六世紀後為了與神聖羅馬帝國區分，學者們改稱其為拜占庭帝國。這個在東邊的帝國部分本來就較為崇尚希臘文化，以希臘語為日常語言，七世紀後更成為官方語言，甚至宗教也是以基督教所裂分出來的希臘東正教為主，不再尊奉另一支的羅馬天主教。

在十一個世紀的悠久歷史中，拜占庭帝國保存了古希臘與羅馬的史料、著作與哲學思想。當時帝國領土位於歐洲東部，還曾包括亞洲西部與非洲北部，在東邊與波斯及伊斯蘭哈里發交界。在第六、七世紀時，拜占庭帝國飽受伊斯蘭教徒的侵犯之苦，還曾被包圍到君士坦丁堡周圍，有些古希臘典籍就這樣隨著戰爭的掠奪，流落到伊斯蘭世界之中。