從抽象理論，看數學中的具象思維：柯尼斯堡問題、莫比烏斯帶、魔術方塊解法、逆向推理思維……24個超具體的數學理論應用！

中國古代就發明了類似魔術方塊的玩具「六通」？
「人體三分櫃」的魔術原理竟然很科學？

拓樸學×圓規幾何學×集合論×運籌學，
誰說數學太抽象？這些理論都可以很「具體」！

▎誰說數學太抽象？
本書將數學中抽象的概念轉化為具體的故事，讓讀者能夠更直觀地理解數學的奇妙與魅力。全書分為二十四章，每一章都以一個有趣的數學問題或概念為主題，從柯尼斯堡問題的來龍去脈，到剪刀下的奇蹟，再到圖上運籌論的應用，內容涵蓋了拓樸學、幾何學、數論等多個數學領域。作者透過生動的敘述和詳實的例子，展示了數學的廣泛應用和無限創造力，讓讀者在輕鬆愉快的閱讀中，領略數學的美妙。

▎從扭結遊戲到拓樸理論
書中的每一章節都是一個數學理論的濃縮。例如，第一章講述了著名的柯尼斯堡問題，這是一個關於如何走遍一座城市所有橋梁而不重複經過同一橋梁的問題，這也是圖論的起源。第六章介紹了奇異的莫比烏斯帶，這個看似簡單的物體卻隱藏了豐富的數學性質和科學應用。作者還特別提到了哈密頓周遊世界的遊戲和笛卡兒的非凡思考，這些經典的數學問題不僅富有挑戰性，還能激發讀者的好奇心和探索精神。每一章節都像是一扇通往數學奇觀的大門，引導讀者一步步深入數學的世界。

▎以「具象」方式理解最抽象的數學！
雖然數學研究往往側重於抽象思維，但數學教學則需要將這些抽象的概念具體化。作者強調，數學教學的真諦在於把抽象的數學概念轉化為直觀的思考，透過具體的例子和圖形，幫助學生理解和掌握複雜的數學理論。書中所講述的圖形故事，正是這種教學理念的體現。作者希望透過這本書，激發讀者對數學的興趣，並由此引發他們深入學習和探索數學知識的欲望。這種興趣驅動的學習方式，不僅能提高學習效果，還能培養讀者的創造力和問題解決能力。

【本書特色】：
本書將數學的「抽象」性質轉化為具體的概念，使讀者能夠輕鬆理解數學的奇妙與魅力。全書涵蓋拓樸學、幾何學、數論等多個數學領域，每章節都引導讀者探索一個經典的數學問題或概念，激發讀者的好奇心和探索精神。作者希望透過更有趣創新的方式激發讀者對數學的興趣，培養創造力和問題解決能力，為人類智慧的傳遞貢獻力量。

張遠南，數學教育家、著名科普作家。曾任北京師範大學兼職教授。作者既有深厚的數學功力，又有開闊的知識視野。他從人類歷史、科學史、大自然和日常生活中，「信手拈來」一個個和數學相關的故事。這些生動有趣的故事，揭示出種種數學奧祕，向讀者展示廣袤而神奇的數學世界，使原本枯燥難懂的數學知識，變得搖曳生姿、妙趣橫生。

序

數學最本質的東西是抽象，抽象是人類創造性思維最基本的特徵。在數學領域，假如沒有超脫元素的「具體」，便不會有集合論的誕生；沒有變數與符號的建立，便不可能有更深刻的方程式和函數理論；沒有形與數結合的解析幾何，便沒有微積分的發展；沒有對「具體」的變換，便難以有抽象數學的產生……然而，數學教學並不同於數學研究。數學教學要求把抽象的東西具象化，並透過直觀的具象，來深化抽象的內容。這種抽象中的具象，正是數學教學的真諦！

本書講述的是圖形的故事，作者試圖以此展現抽象與具象之間生動的紐帶。作者並不期望書中做到面面俱到，這是不可能的，而且也沒有必要！作者著書的目的，只是希望激起讀者的興趣，並由此引發他們學習這些知識的欲望。因為作者認定，興趣是最好的老師，一個人對科學的熱愛和獻身，往往是由興趣開始的。然而，人類智慧的傳遞，是一項高超的藝術。從教到學，從學到會，從會到用，從用到創造，這是一連串極為主動、積極的過程。作者在長期實踐中，深感普通教學的局限和不足，希望能透過非教學的方法，嘗試人類智慧的傳遞和接力。

由於作者所知有限，本書中難免存在許多疏漏和錯誤，敬請讀者不吝指正。

但願本書能有助於人類智慧的接力！

張遠南

序
一、柯尼斯堡問題的來龍去脈
二、迷宮之「謎」
三、橡皮膜上的幾何學
四、笛卡兒的非凡思考
五、哈密頓周遊世界的遊戲
六、奇異的莫比烏斯帶
七、環面上的染色定理
八、捏橡皮泥的科學
九、有趣的結繩戲法
十、拓樸魔術奇觀
十一、巧解九連環
十二、抽象中的具象
十三、中國古代的魔術方塊
十四、十五子棋的奧祕
十五、剪刀下的奇蹟
十六、圖上運籌論（作業研究）供需
十七、郵差的苦惱
十八、起源於繪畫的幾何學
十九、傳奇式的數學家彭賽列
二十、別有趣味的圓規幾何學
二十一、直尺作圖見智慧
二十二、分割圖形的數學
二十三、遊戲中的逆向推理
二十四、想像與現實之間的紐帶