什麼是數學：對思想和方法的基本研究(第四版)（簡體書）

本書是“對整個數學領域中的基本概念及方法的透徹清晰的闡述。”

■ A·愛因斯坦

本書既是為初學者也是為專家，既是為學生也是為教師，既是為哲學家也是為工程師而寫的。《什麼是數學》是一本數學經典名著，它蒐集了許多閃光的數學珍品，它們給出了數學世界的一組有趣的、深入淺出的圖畫。本書傳至今日，又由I·斯圖爾特增寫了新的一章。此版以新的觀點闡述了數學的新進展，敘述了四色定理和費馬大定理的證明等。這些問題是在柯朗與羅賓寫書的年代尚未解決，但現在已被解決了的。

形式數學（formal mathematics)就像拼寫與語法——只是對局部規則（local rules)的正確使用。有意義的數學(meaningful mathematics)有如新聞工作——它只講述有趣的故事，但又不像某些新聞報導，因為它的故事必須真實。而最美的數學(the best mathematics)則如文學——它將故事栩栩如生地呈現於你眼前，使你在理智和情感上都情不自禁地投入其中。本書就是一部精美的文藝作品——它為每一個盼望欣賞數學世界的人推開了一扇窗戶。■亞馬遜網站

“毫無疑問，這本書將會有深遠的影響，它應當人手一冊，無論是專業人員抑或是願意做科學思考的任何人。” ■紐約時報

“一本極為完美的著作。” ■數學評論

“太妙了……這本書是巨大愉快和滿足感的源泉。” ■應用物理雜誌

“這本書是一部藝術著作。” ■M·莫爾斯

“這是一本非常完美的著作。……被數學家們視作科學的鮮血的一切基本思想和方法，在《什麼是數學》這本書中用最簡單的例子使之清晰明了，已經達到令人驚訝的程度。” ■H·外爾

1937年夏，我還是一個年輕的大學生，我是通過閱讀我父親所寫的《微積分學》那本書來學習微積分的，我相信，那時，是他第一次想到要寫一本關於數學方法和概念的初等讀物，並且認為我有可能在這個方面給予幫助，
於是在隨後的幾年裡，逐漸形成了《什麼是數學》這本書，我還能清晰地回憶起那緊張的編寫時期，特別是1940和1941年的夏季，我協助H。羅賓和我的父親的情景，
當這本書出版的時候，其中若干本中有一個特別的扉頁：數學——獻給洛麗，洛麗是我最小的妹妹，那時她13歲。幾年後，當我要結婚時，我父親要求我妻子讀懂《什麼是數學》，她未能做得很好，不過她仍被接受進入我們的家庭。
很多年裡，在紐約新羅徹爾的柯朗寓所的頂樓裡放滿了各種形狀的鐵絲框架，它們是用來做本書第七章第11節所述的肥皂膜實驗的。這些肥皂膜實驗曾是孫兒們無限樂趣的源泉，儘管我父親沒有再重複這些實驗，但他的孫兒中仍有一些人投身於數學及相關領域的研究，
自原書出版後未再認真準備新版本。附有前言的修正版除了訂正了一些明顯的印刷錯誤外與原版基本沒有什麼區別；所有隨後的印刷都與第三次修訂本相同，在我父親生前最後的歲月裡，他有時曾談到使本書大規模現代化的可能性。但他不再有精力來完成此任務了。
因此，當I·斯圖爾特教授提議作現在這個修訂本時，我是非常高興的，他根據數學最新進展對若干章節增添了一些評論和擴展，我們知道費馬大定理和四色問題已經解決了；無窮小和無窮大量，這些過去在形式上使人不滿意，並被當作有缺陷的概念，現在已經在“非標準分析”中再次獲得肯定（我上大學時曾用了“無窮”這個詞，我的數學教授當時指出“在我的班上不允許有'壞'的語言”）。此修訂版的參考文獻已經增加至當前。我希望《什麼是數學》這個新版本將再次在廣大的讀者中引起興趣。

什麼是數學

 

第1章自然數

引言

§1整數的計算

1．算術的規律

2．整數的表示

3．非十進位制中的計算

*§2數係的無限性數學歸納法

1．數學歸納法原理

2．等差級數

3．等比級數

4．前n項平方和

*5．-個重要的不等式

*6．二項式定理

*7．再談數學歸納法

 

第1章補充數論

引言

§1素數

1．基本事實

2．素數的分佈

§2同餘

1．一般概念

2．費馬定理

3．二次剩餘

§3畢達哥拉斯數和費馬大定理

§4歐幾里得輾轉相除法

1．一般理論（53）

2．在算術基本定理上的應用（58）

3．歐拉函數再談費馬定理（59）

4．連分數丟番都方程（61）

 

第2章數學中的數係

引言

§1有理數

1．作為度量工具的有理數

2．數學內部對有理數的需要推廣的原則

3．有理數的幾何解釋

§2不可公度線段無理數和極限概念

1．引言

2．十進位小數無限小數

3．極限無窮等比級數

4．有理數和循環小數

5．用區間套給出無理數的一般定義

*6．定義無理數的另一個方法戴特金分割

§3解析幾何概述

1．基本原理

*2．直線方程和曲線方程

§4無限的數學分析

1．基本概念

2．有理數的可數性和連續統的不可數性

3．康託的“基數”

4．反證法

5．有關無限的悖論

6．數學的基礎

§5複數

1．複數的起源

2．複數的幾何解釋

3．棣莫弗公式和單位根

*4．代數基本定理

*§6代數數和超越數

1．定義和存在性

**2．柳維爾定理和超越數的構造

 

第2章補充集合代數

1．一般理論

2．在數理邏輯中的應用

3．在概率論中的一個應用

……

 

第3章幾何作圖數域的代數

第4章射影幾何公理體系非歐幾里得幾何

第5章拓撲學

第6章函數和極限

第6章補充極限和連續的一些例題

第7章極大與極小

第8章微積分

第8章補充

第9章最新進展

 

附錄補充說明問題和習題

參考書目1

參考書目2（推薦閱讀）

數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性。雖然不同的傳統可以強調不同的側面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力才構成了數學科學的生命、用途和它的崇高價值。
毫無疑問，一切數學的發展在心理上都或多或少地是基於實際的，但是理論一旦在實際的需要中出現，就不可避免地會使它自身獲得發展的動力，並超越直接實用的局限。這種從應用科學到理論科學的發展趨勢，不僅常見於古代歷史中，而且在工程師和物理學家為近代數學不斷作出的許多貢獻中更是屢見不鮮，
有記載的數學起源於東方，大約在公元前兩千年，巴比倫人就蒐集了極其豐富的資料，這些資料今天看來應屬於初等代數的範圍。至於數學作為現代意義的一門科學，則是遲至公元前5至公元前4世紀才在希臘出現的。東方和希臘之間的接觸不斷增多（始於波斯帝國時期，至亞歷山大遠征時期則達到高峰），使希臘人得以熟悉巴比倫人在數學和天文學方面的成就，數學很快就被加入到風行於希臘城邦的哲學討論之中。因而希臘的思想家逐漸意識到，在連續、運動、無限大這些概念中，以及在用已知單位去度量任意一個量的問題中，數學都存在著固有的極大困難。面對這個挑戰，經過了一番不屈不撓的努力，產生了歐多克斯（Eudoxus）的幾何連續統理論，這個成果是唯一能和兩千多年後的現代無理數理論相媲美的。數學中這種公理演繹的趨向起源於歐多克斯時代，又在歐幾里得（Euclid）的“原本”中得以成熟。
雖然希臘數學的理論化和公理化的傾向一直是它的一個重要特點，並且曾經產生過巨大的影響。但是，我們不能過分強調這一點，因為在古代數學中，應用以及同物理現實的聯繫恰恰起了同樣重要的作用，而且那時候人們不願採用歐幾里得那樣嚴密的表達方式。
由於較早地發現了與“不可公度”的量有關的這些困難，使希臘人沒能發展早已為東方所掌握的數字計算的技術，相反，他們卻迫使自己鑽進了純粹公理幾何的叢林之中，於是科學史上出現了一個奇怪的曲折，這或許意味著人類喪失了一個很好的時機，幾乎兩千年來，希臘幾何的傳統力量推遲了必然會產生的數的概念和代數運算的進步，而它們後來構成了近代科學的基礎。
經過了一段緩慢的準備，到17世紀，隨著解析幾何與微積分的發展，數學和科學的革命也開始蓬勃發展起來，雖然希臘的幾何學仍然佔有重要的地位，但是，希臘人關於公理體系和系統推演的思想在17世紀和18世紀不復出現。從一些清清楚楚的定義和沒有矛盾的“明顯”公理出發，進行準確的邏輯推理，這對於數學科學的新的開拓者來說似乎是無關緊要的，通過毫無拘束的直觀猜想和令人信服的推理，再加上荒謬的神秘論以及對形式推理的超人力量的迷信，他們征服了一個蘊藏著無限財富的數學世界，但是後來，大發展引起的狂熱逐漸讓位於一種自我控制的批判精神。到了19世紀，由於數學本身需要鞏固已有成果，而且人們也希望把它推向更高階段時不致發生問題（這是受到法國大革命的影響），就不得不回過頭來重新審查這新的數學基礎，特別是微積分及其賴以建立的極限概念，因此，19世紀不僅成為一個新的發展時期，而且也以成功地返回到那種準確而嚴謹的證明為其特徵，在這方面它甚至勝過了希臘科學的典範。
……