數之軌跡Ⅱ：數學的交流與轉化

 臺灣數學界的《史記》，數學史大師洪萬生心血之作

柏拉圖將五元素連結五種正多面體的圖形，

讓古希臘宇宙論有了最自然的「數學歸宿」。

以四古典元素為靈感，《數之軌跡》將深入探索數學的歷史、發展和奧祕。每本書都是一個獨特的元素，象徵不同的數學主題，並呈現數學在文化、科學和藝術中的深遠影響。

無論你是一位數學愛好者、學生還是對數學歷史感興趣的讀者，《數之軌跡》都將為你打開數學的大門，啟發你對這一古老而美麗的學科有新見解。

─本書特色─

●數學史大師洪萬生與HPM團隊共同打造最全面的數學歷史

●多元歷史題材，對比不同文明之間有關同一知識內容的研究

●深入探討文化差異，參悟不同命題與證明的數學風格

─數學的交流與轉化─

水象徵著數學的流變和傳承，也是最多變的正二十面體

這本書將引領讀者穿越古代，探索數學的演化和傳播，並深入研究古希臘、中國、印度等地區數學家的巧思，這是數學融合和多元文化交流的故事。從印度與其他地區對數學的交流開始，百花齊放、百家爭鳴，讓讀者領略不同文化的數學證明，既有相似之處也有獨特之美。

─閱讀歷史，體會數學─

「0123456789」誰發明了這樣的阿拉伯數字？(A)日耳曼人；(B)希臘人；(C)阿拉伯人；(D)印度人；(E)猶太人。方便的阿拉伯數字人人都會用，但你有想過這竟然是印度人發明的嗎？這樣古老的智慧結晶，至今仍然影響著我們的生活。

─通往數學思維的大門─

不僅僅是闡述數學歷史，更能幫助讀者理解數學的抽象概念，理解數學背後的邏輯推演。內容探索各種古代人的智慧，無論是否喜歡數學，都能從中發現數學的樂趣以及實用性，對學習數學將會有非常大的幫助！

 ─主編─

洪萬生

臺灣彰化人，臺灣數學史教育學會名譽理事長，國立臺灣師範大學數學系退休教授。在職涯中熟練數學史專業研究之際，也一直關注數學史與數學教學之關連（HPM）。四十多年來，已出版二十幾本普及著譯作品（含與師友、學生輩合作部分），為數學普及閱讀活動，略盡棉薄之力。著譯有《數學故事讀說寫》、《當數學遇見文化》《學霸筆記：幾何》、《數學也可以這樣學》、《窺探天機──你所不知道的數學家》、《數學的浪漫：數學小說閱讀筆記》、《畢氏定理四千年》、《摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學》、《蘇菲的日記》、《爺爺的證明題：上帝存在嗎?》，審訂有《數學女孩系列》、《世界第一簡單線性代數》、《小學算術：小學1～6年的學習指導要點對應》、《數學，為什麼是現在這樣子？：一門不教公式，只講故事的數學課》。

─協編─

英家銘

國立清華大學通識教育中心與歷史研究所合聘副教授，曾任劍橋大學李約瑟研究所訪問研究員、中原大學講師與國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系副教授。研究專長為數學史、數學教育、數學文化、東北亞史，特別是數學在朝鮮與日本傳統文化中的發展。

─作者─

黃俊瑋

國立臺灣師範大學數學研究所博士，現任教於臺北市立和平高中，主修數學史與數學教育，主要研究領域為江戶時期日本數學史（和算史）。曾合譯《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》、《這個問題，你用數學方式想過嗎？》、《蘇菲的日記》、《畢氏定理四千年》、《啟蒙的符號》、《數學起源》等書，並與洪萬生教授等合著《摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學》、《窺探天機──你所不知道的數學家》、《數學的東亞穿越》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合，以更加豐富、多元而開放的面向，裨益學生的數學思維與素養。

博佳佳

法國巴黎第七大學科學哲學與科學史博士，國立臺灣師範大學數學教育博士，國立陽明交通大學通識教育中心副教授，主要教授科學史與科學哲學。曾在羅西學院（Institut Le Rosey）擔任哲學教師，來到臺灣之後，致力於臺灣兒童哲學的發展和推廣，發起一年一度的「哲學週」活動，並成立了非政府組織PhiloZokids；同時間開發主動教育（active pedagogy）和哲學實踐技術，希望在臺灣教育體系中導入哲學推理。

林倉億

國立臺灣師大數學所碩士，現任國立臺南一中數學教師，喜歡在教學中引導、挑戰學生思考數學，並分享數學發展中具啟發性的想法與事件。與臺灣HPM團隊合著《數之起源：中國數學史開章《筭數書》》、《數學的東亞穿越》，合譯《爺爺的證明題：上帝存在嗎？》、《溫柔數學史：從古埃及到超級電腦》、《數學也可以這樣學2：跟大自然學幾何》。

琅元

俄羅斯科學院科技史研究所博士，國立清華大學通識教育中心與歷史研究所合聘教授退休，研究領域為中國科技史與數學史、越南數學史、俄羅斯數學史等。

─審訂─

于靖

耶魯大學數學博士，教育部榮譽國家講座，中央研究院院士，美國數學會會士。曾在美國普林斯頓大學發行的數學界權威性期刊《數學年鑑》（Annals of Mathematics）上發表了二篇論文，於2015年獲選為世界科學院院士。

林炎全
美國南卡羅萊納大學數學博士。曾任職羅東高中、宜蘭高中、臺中二中，中等學校教師研習會以及國立臺中教育大學數學教育學系副教授。曾與大學同窗洪萬生、楊康景松等人合譯Mathematical Thought from Ancient to Modern Times，譯有《畢氏定理四千年》。

單維彰
國立中央大學師資培育中心、數學系與文學院學士班合聘教授。主要工作在於數學教育，其對象包括學士、碩士、博士階段的數學專業教育，國中、高中階段的數學素養教育，中等學校數學領域的師資培育，以及面對社會大眾的通識教育。榮獲國立中央大學第一屆教學傑出獎、教育部第七屆全國傑出通識教育教師獎、教育部107年磨課師標竿課程獎。

 ─全數推薦─ (依首字筆劃排序)

冬陽｜央廣．名偵探科普男節目主持人

呂治鴻｜數學愛好者、大學數學管理員 、臺灣大學數學所博士候選人

李政憲｜教育部師鐸獎得主、新北市林口國中數學科教師

洪進益｜澎湖縣石泉國小教師、教育部師鐸獎得主

崔茂培｜臺灣大學數學系教授、MRPC科學推展中心數學組主任

張旭 (張舜為)｜張旭無限教室線上課程平台創辦人、數學老師

莊惟棟｜明道大學助理教授、數學博物館館長

彭良禎｜師大附中數學科教師

趙國欽｜臺北市立大學數學系副教授

這是一套貫徹世界各地，古今中外的數學大成。《數之軌跡系列》詳盡地整理過去的故事、將近代的數學用大家可以懂的方式撰寫，讓數學之美持續傳播。

──數學老師張旭 (張舜為)

《數之軌跡》推薦序　于靖

很高興看到洪萬生教授帶領他的學生們寫出大作《數之軌跡》。這是一本嘆為觀止，完整深入的數學大歷史。萬生耕耘研究數學史近四十年，功力與見識足以傳世。他開宗明義從何謂數學史？為何數學史？如何數學史？講起。巴比倫，埃及，希臘，中國，印度，阿拉伯，韓國，到日本。再從十六世紀到二十世紀講西方數學的發展與邁向巔峰。《數之軌跡》當然也著力了中國數學與希臘數學的比較，中國傳統數學的興衰，以及十七世紀以後的西學東傳。

半世紀前萬生與我結識於臺灣師範大學數學系，那時我們不知天高地厚，雖然周圍沒有理想的學術氛圍，還是會作夢追尋各自的數學情懷。我們一起切磋，蹣跚學習了幾年，直到1976暑假我有機會赴耶魯大學博士班。1980年我回到中央研究院數學所做研究，那時萬生的牽手與我的牽手都在外雙溪衛理女中執教，我們有兩年時間在衛理新村對門而居，茶餘飯後沈浸在那兒的青山秀水，啟發了我們更多的數學思緒。1982年我攜家人到巴黎做研究才離開了外雙溪。後來欣然得知萬生走向了數學史，1985年他決定赴美國進修，到紐約市立大學跟道本周(Joseph Dauben)教授專攻數學史。

1987（或1988）年，我舉家到普林斯敦高等研究院做研究。一個多小時的車程在美國算是「鄰居」，到紐約時我們就會去萬生家拜訪，談數學，數學史，述及各自的經歷與成長。1988年暑假我回臺灣之前，我們倆家六口一起駕車長途旅遊，萬生與我擔任司機，那時我們都不到四十歲，從紐約經新英格蘭渡海到加拿大新蘇格蘭島，沿魁北克聖羅倫斯河，安大略湖，從上紐約州再回到紐約與普林斯敦。一路上話題還是會到數學與數學史。

我的數學研究是在數論，是最有歷史的數學，來龍去脈的關注自然就導引數論學者到數學史。在高等研究院那年，中午餐廳裡年輕數論學者往往聚到韋伊（Andre Weil） 教授的周圍，聽八十歲的他講述一些歷史。韋伊是二十世紀最偉大數學家之一，數學成就之外那時已經寫了兩本數學史專書：數論從Hammurabi到Legendre，橢圓函數從Eisenstein 到Kronecker。

1990年代，萬生學成回到臺灣師範大學，繼續研究並開始講授數學史。二十餘年來他培養指導了許多研究生，探索數學史的各個時期及面向，成績斐然。這些年輕一代徒弟妹：英家銘、林倉億、蘇意雯、蘇惠玉等，也都参與了撰述這部《數之軌跡》。特別是在臺灣推動HPM數學史與數學教學，萬生的School做了許多努力。

在這本大作導論中，萬生指出他的數學不只包含菁英數學家(elite mathematician)所研究的「學術性」內容，而是涉及了所有數學活動參與者(mathematical practitioner)。因此《數之軌跡》並不把重點放在數學歷史上的英雄人物，而著眼於人類文明的發展過程中，數學的專業化(professionalization)與制度(institutionalization)，乃至於贊助(patronage)在其過程中所發揮的重要功能。

在《數之軌跡IV：再度邁向顛峰的數學》第4章裡，《數之軌跡》試圖刻劃二十世紀數學。萬生選擇了四個子題來描述二十世紀前六十年的數學進展：艾咪・涅特、拓撲學的興起、測度論與實變分析、集合論與數學基礎。這當然還不足以窺二十世紀前五十年數學史的全貌：像義大利的代數幾何學派、北歐芬蘭的複分析學派、日本高木貞治的代數數論學派，與抗戰前後的中國幾何學大師陳省身、周緯良，都有其數學史上不可或缺的地位。從二十世紀到二十一世紀，純數學到應用數學，發展更是一日千里。《數之軌跡》選了兩個英雄主義的面向：「希爾伯特 23 個問題」、「費爾茲獎等獎項」，來淺顯說明二十世紀數學知識活動的國際化。這些介紹當然不能取代對希爾伯特問題或費爾茲獎得獎工作的深入討論。最後寫科學的專業與建制，以及民間部門的角色：美國 vs. 蘇聯。這是很有意思的，我希望數學史家可以就這個題目再廣泛的搜集資料，因爲在1960年代之後，不同的重要數學研究中心在歐洲美國出現，像法國IHES、德國的Max Planck、Oberwolfach等。到了1990年世界各地，包括亞洲（含臺灣、中國），數學研究中心更是像雨後春筍般冒出。這是一個很有意義的數學文化現像。另一方面，隨著蘇聯解體，已經不再是美國 vs. 蘇聯，而是在許多國家百花齊放。從古到今，數學都是最Universal！

阿爾‧花拉子密出生於波斯北部的花拉子密（Al Khwarizmi，今烏茲別克斯坦境內），他現在被稱呼的名字，原來就是他的出生地。至於他的「真實名字」，則是「花拉子密（城）的穆薩之子默罕默德」。

大約在西元825 年，他的代數經典《還原與對消的規則》（拉丁文版書銜Hisab al jabr w'al muqābala）問世，這是阿拉伯人對西方數學所做出的巨大貢獻之一。以方程式3x + 2 = 4 - 2x 為例，所謂al jabr（還原）是指將此式轉化成5x + 2 = 4，至於al muqābala（對消）則是指轉化成5x = 2。後來，這本（拉丁文版本）書銜中的al jabr 就演變成為英文字的algebra，因此，或許有些（歷史）教科書的編輯就會「直覺地」認為：阿拉伯人發明了代數學。這個插曲還蠻有認知與歷史趣味，值得我們在此稍加轉述。

誰發明了代數學？這是臺灣1982年大學暨獨立學院聯合招生「中外歷史」科目考題，它要求考生要從下列「（A）日耳曼人；（B）希臘人；（C）阿拉伯人；（D）印度人；（E）猶太人」等五個選項中，選出單一答案。後來，聯招會公布了正確答案：（C）阿拉伯人。

不過，正如〈誰發明了代數學？〉一文中的評論， 8 「這個標準答案與代數學發展史的結論卻無法完全一致；其實，這個問題如果列在『多重選擇題』內，勿寧更為恰當，因為發明代數學的民族，還包括巴比倫人、希臘人、日耳曼人、義大利人、法蘭西人甚至中國人。」

總結該文，我援引微積分的發明案例，來強調「誰發明了〇〇〇？」之大哉問：

在科學史上談到「發明」總有許多的爭議，不過，對某些發明個例，也有一致的見解。比如數學史家就認定牛頓、萊布尼茲微微積分的兩個相互獨立的發明者，理由是他們曾經先後建立微積分的骨幹–微積分基本定理。在（初等）符號代數學中，對應的理論骨幹似乎沒有那麼明確，連帶地，究竟是哪一個「誰」或是哪些個「誰」發明了代數學，也就很難回答了。

針對上述同一議題，數學史家史特朵(Stedall) 在她的《數學史極短篇》第6章中，就安排了「重新詮釋」(Reinterpretation) 及「誰是第一個？」(Who was first...?) 這兩節來討論這個「大哉問」。在前一節中，她追溯代數起源於古希臘丟番圖(Diophantus) 之說，發現：在西元1462 年，雷喬蒙塔努斯(Regiomontanus/Johannes Muller) 曾在威尼斯檢視丟番圖的《數論》(Arithmetica) 的一份手稿，並在三年之後， 於帕多瓦(Padua) 大學演講時， 推許該經典是「所有數論之花朵……今日則以阿拉伯為名的代數學風行於世」。他的講稿直到1537年才出版，不過，許多學者隨即接續這個主題，明確地指出：代數是丟番圖所發明，只不過被「阿拉伯人」所採用！這種希臘數學系譜的「收編」，10當然立即賦予代數學的值得尊重與學術地位，不過，丟番圖所處理的問題在內容與風格上，與十二世紀傳入拉丁世界的阿拉伯代數學(al jabr) 完全風馬牛不相及，我們很難論斷後者是從前者推演出來。