數學通識講義：搞懂人生最強思考工具，升級判斷與解決問題的能力

為何要學數學？數學很重要嗎？
很多看似複雜的非數學問題，都可以用數學架構來分析！

對很多人來說，數學是一堆枯燥的公式和數字，看到就頭痛，背了也記不住，好不容易從學校畢業，認為此生與數學無關或看到就直接放棄。但事實上，即使沒有理工或商科背景，數學都是最基本且共通的理性思維方式。

弄懂數學基礎原理，借助數學思維來有效提升邏輯、認知世界，自然能更深入問題，並把各方面的關鍵知識點連結起來，形成完整且明確的思路，進而抽絲剝繭解決問題：
◆如何識破龐氏騙局，做好理財投資？
◆為何保險最好找大公司？
◆如何防範黑天鵝事件，規劃公司成長曲線？
◆如何提高履歷通過初選的機率？
◆買房貸款時怎樣才能做出好選擇？
◆貸款利息和傳銷中藏有什麼秘密？
◆幾何學是法律的理論基礎？！研究歷史需要用數學的思路？！
◆哲學家為何會向牛頓發出挑戰？

理解數學的底層邏輯與方法，
把「自己能懂的數學」學好就足夠

作者吳軍博士身為電腦科學家、矽谷投資人與暢銷書作家，從數學的本質出發，以講義形式深入淺出呈現數學思維，改變學數學的方法，逐步訓練自己善用數學工具，藉此強化邏輯推理能力，從事實出發來分析解決，得到正確的結論，讓你受益一生。

◆基礎——數學最基本的原則就是邏輯上的「一致」和「完備性」，把看似獨立的知識串聯起來。從「勾股定理」的故事說起，揭露數學與美學、建築以及音樂的發展息息相關。
◆數字——數字概念讓我們意識到思考工具的進步：從「具體到抽象」，再到「完全的想像」。很多人依然以為無窮大和無窮小只是巨大和極小的數字，事實上它們與日常遇到的具體數字不同，代表的是變化的趨勢和快慢。
◆幾何——看數學如何從經驗中發展，逐漸構建成邏輯嚴密的知識體系：由直觀到簡單規律，擴展到定理、推論。許多數學並非是直接應用，而是對其他知識有借鑑意義，例如法學就受到數學公理化的影響。
◆代數——讓我們的認知從個體上升到整體，從點對點的單線連接提升到有規律的連結。
◆微積分——和初等數學的工具不同，教會我們兩個進階的思考工具：從「靜態累積」到「動態變化」，以及從動態變化到靜態累積，例如薪水的上漲和財富增加的關係。
◆機率和數理統計——時至近代，很多具體的問題很難有完全確定的答案。為了研究不確定性世界的規律，機率論和統計學逐漸發展，它們就是大數據思維的科學基礎。
 
這是一本給所有人的數學通識講義，說的是運用數學的思考方式，而不是解答技巧，此外還能看到數學的有趣面：畢達哥拉斯為了否認「無理數」而害死自己的學生？美國南北戰爭時期，當時總統林肯竟然用「直角」的公理說服國會通過《解放奴隸宣言》？十六世紀數學家們為何要「決鬥」？他們對決的方式是什麼？

貫穿全書的數學發展史，可說是人類認知的發展史，可以由此訓練並提升認知：從直觀到抽象，從靜態到動態，從宏觀到微觀，從隨意到確定再到隨機。

吳軍
約翰．霍普金斯大學電腦資訊科學博士，人工智慧、語音識別和搜尋技術專家，矽谷風險投資人，暢銷書作家。現任豐元資本風險投資基金創始合夥人、上海交通大學客座教授、約翰．霍普金斯大學工學院董事等職。得到App課程主理人，開設「矽谷來信」、「數學通識50講」、「科技史綱60講」等專欄和課程。
著作有《見識》、《格局》、《態度》、《全球科技大歷史》、《浪潮之巔》、《數學之美》、《文明之光》、《矽谷之謎》等十餘部暢銷書並多次獲獎，包括文津圖書獎、中國好書、藍獅子商業圖書獎等，以及吳大猷科普著作獎（《全球科技大歷史》）。

【好評推薦】
通識教育的重要性一直被人們所忽略，實際上，想要達到精英水準，單靠一個個的專業化技能是不夠的。綜合素養的培育必不可少。
在通識教育中，數學素以高深著稱，讓文科生都能讀懂微積分極不容易，而《數學通識講義》做到了這一點。為什麼一個學理工的人能做到這一點呢？答案就在《閱讀與寫作通識講義》中。
——羅振宇（得到App創始人）

這個世界的最底層規律，都是建立在數學的根基上。但是，很多人考大學時，只要能不再學數學，什麼專業都可以。錯不在你。你和學好數學之間，其實只差一個好的老師。這個好的老師，他能夠把抽象的數學具體化，告訴你每一個縹緲的公式的現實作用，讓你恍然大悟，原來如此。這個好老師，就是吳軍老師。作為數學系科班畢業的商業顧問，我強烈推薦你閱讀吳軍老師的《數學通識講義》。
——劉潤（潤米諮詢創始人）

前言
作為通識教育的數學應該是什麼樣的？
如果要問人類的理性精神最具持久力和影響力的知識體系是什麼？答案是數學；如果有外星高等文明想和人類進行交流，最方便的語言是什麼？答案也是數學。
數學一方面在人類的文明史上享有巨大的聲望和榮譽，給我們的文明帶來了發展的動力和手段，另一方面卻也讓很多人感到自卑，並因此被人們厭惡。後者的結果當然不是數學本身的問題，甚至也不能怪那些學不好數學的人，主要是因為我們的教法有問題。我們沒有把學生當作未來的自由人來教，更沒有考慮到每個人的接受能力之間存在巨大的差異。
1.為什麼要學數學通識？
二○一七年，原央視主持人、今天頗有成就的媒體人請我和王渝生先生（原中國科技館館長、科學史專家）做一期有關數學的節目。在節目開始前，主持人問我，她高考時數學不及格，是否是學渣啊？我說，你能有今天這樣的成就，顯然不可能是學渣。數學沒學好，不是你的問題，恐怕是教學的方法和考量學生的方法不對。然後，我就告訴她美國頂級的高中和大學如何教數學。
美國最好的高中，會把數學由一門課變為八至十門內容不同的課程，每門課常常還要開設A、B、C三個難度不同的班。例如幾何學會被分為平面幾何A、B和C；立體幾何B和C；三角學B和C；解析幾何A、B和C；以及微積分先修課B和C等各種課程和班級。入門的那幾門數學課足夠淺顯。例如平面幾何的A班，講清楚幾何學的原理和用途，以及推理的方式就好了，根本不會讓學生做那些比較難的證明題。在幾何中，點、線、面、三角形、四邊形和多邊形等概念，以及平行、垂直等關係，其實對任何人都不難，任何學生只要別太偷懶，把這些搞懂了總是做得到的，這樣也就能在平面幾何A班得到好成績。
說到這裡，我問那位主持人，這些內容、這樣的教法，你總能考九十分吧？她很有信心地說：「那當然呢！」但是她又有點擔心地問我，如果是這樣的話，誰還會想上難的數學課呢？我說在美國申請大學的時候，如果別人成績單上有六門數學課，而且都是高難度的，而你只上了兩門數學課，還是難度最低的，大學錄取時當然會在數學上吃點虧。但是，由於你少學了數學，將時間用在個人更喜歡的文學和歷史，在這些方面多學了很多課程，在申請更適合自己的大學時，一定比學了一堆數學的人有優勢。更重要的是，雖然你上的數學課不算多，也不難，但好歹掌握了一些內容，相應的思維方式學會了，如果將來真想再學點，還是可以繼續學的。否則學了一大堆理解不了的、考試考不過的內容，不僅浪費時間，而且本來能學會的簡單內容也學不好。很多人因為做不出那些數學難題，打從心底放棄了數學，以至於很多簡單的數學知識也全忘光了。
把自己能夠學懂的數學學好，對每一個人都有巨大的好處。對於理工科或商科的學生來講，他們的感受可能會比較明顯，因為數學是自然科學以及許多學科的基礎。但是，對於學習人文和社會學科、甚至學習藝術的人來講，學懂數學也同樣有好處，因為它可以幫助我們培養起比較獨特的思維方式，看問題會比較深入，並且能夠把各種知識體系相互連結。
讀到這裡，細心的讀者可能注意到了，我剛才用了「能夠學懂的數學」的說法，而不是泛泛地談數學。這也意味著，對於數學通識教育來說，講什麼內容很重要。如果把人類的知識體系用學科劃分的話，數學可能是最龐大的一個，因此要想用一本書完整地介紹數學，幾乎是不可能的事。所幸，作為通識教育，讀者其實無須了解數學的每一個分支，更不須要掌握分支中最難的內容，甚至不須要聽說過那些分支名稱，因為數學的各個分支，從體系的構建到研究方法，再到應用方法，都是共通的。因此，我在選取本書內容時，完全是圍繞著一個明確的目標，也就是幫助大家了解數學的底層邏輯和方法。
對於已經走出校門若干年的成年人來說，再回過頭來接受數學通識教育的目的是什麼？其實只要能夠把自己對數學的理解從初等數學提升至高等數學，就足夠了。當然，很多人會認為，我在大學已經學了高等數學，怎麼能說我的理解還是初等數學的水準呢？學過高等數學的知識，和思維方式提升至高等數學的層次是兩回事。不信的話，你不妨問問自己，大學畢業後可曾用過一次微積分？如果一次都沒有用過，是否有其他的收穫？據我的了解，在學過微積分的人中，99%以上的人都覺得自己並未受益於這門課。那麼大家是否想過，為什麼大學一定要學習微積分呢？
其實在大學教授微積分是很有道理的，它能夠幫助一個年輕人把自己對世界、對變化、對規律的理解，從靜態的、孤立的和具體的層面，提升至動態的、連續的和規律性的層面。後文我會介紹導數、微分和積分這些概念時提到這一點。學完微積分後的十年，哪怕一道題都不會做了，也沒有關係，這種看待世界、處理問題的方法一旦形成、並變為習慣，你就比同齡人不知道要高出幾個層次了。做到這一點，才算是進入到高等數學的認知水準。對於即將進入高中的學生來講，更早從這個角度、帶著這個目的學習數學，效果肯定比背誦定理，再瘋狂做題目好太多。
如果我們把提升認知水準和掌握思維方法作為學習數學的目的，其實根本不須面面俱到地學習非常多的內容，重要的是透過一些線索將各種有用的知識貫穿起來、理解數學的方法，並好好利用那些方法。為了達到這個目的，我精心挑選了本書的內容，並且按照便於提升認知的方式，將它們組織了起來。
2. 書裡有什麼內容？
在基礎篇中，我們要講述數學是什麼？它和自然科學有什麼不同？人類在數學方面的認知又是如何發展的？當然，這樣空洞的講解沒有意思，我們需要一個線索、一些實例，將相關的知識和方法串聯起來，這個線索就是畢達哥拉斯（Pythagoras）。從畢達哥拉斯出發，我們會串起下面諸多的知識。首先自然是他得以出名的畢氏定理（Pythagorean theorem），也就是我們所說的勾股定理。書中會詳細分析為什麼東方文明更早發現了勾股數的現象，卻沒有提出這個定理。這件事可以幫助我們理解什麼是定理？以及如何發現定理？
畢達哥拉斯另一個了不起的成就是計算出黃金分割的值。從黃金分割出發，畢達哥拉斯發現了數學和美學的關係，並且開始用數學指導音樂。我們今天使用的八度音階，就始於畢達哥拉斯的數學研究。從黃金分割出發，我們就可以得到人們熟知的費氏數列（Fibonacci series），從這個數列入手，我們就能了解數列與級數的特點。
畢達哥拉斯可以講是數學史上的第一人，他開創了純粹理性的數學。但是畢達哥拉斯也有他的局限性——否認無理數的存在，這是他最被後人詬病的地方。說起來，無理數的發現恰恰是畢氏定理的直接推論之一，但是據說他對此假裝視而不見，還把提出這個問題的學生害死了。對此，今天很多人說他無知、頑固、拒絕接受真理等。其實這只是站在普通人的角度理解畢達哥拉斯的行為。如果我們了解這樣一個事實，即在當時人們所知有限的數學領域中，畢達哥拉斯是這個體系的教主，他需要這個建立在邏輯之上的體系具有一致性和完備性，而邏輯方面的一致性也是數學最基礎的原則。因此，當他發現無理數的出現會破壞他所理解的數學體系的一致性和完備性，並且動搖數學大廈時，他就採取了教主們才會採用的激進行為。畢達哥拉斯的錯誤在於，他不懂得維繫數學體系的完整性，還需要定義新的概念，比如無理數，而不是否認它們的存在。無理數的出現是數學史上的第一次危機，危機解決之後，數學反而得到了更大的發展，並沒有像畢達哥拉斯設想地崩潰。
從上述這些內容中，你會看到我們透過畢達哥拉斯，把數學中那麼多看似孤立的知識串聯了起來。透過這一篇，大家就能體會數學是什麼樣的體系？東方文明所發現的數學知識和完整的數學定理有什麼區別？一個定理被發現後，會有什麼樣的自然推論出現？然後又如何與其他知識體系聯繫，並且有什麼實際應用？
在數字篇中，我們的線索是數學中最基本的概念——數。你會看到這個概念是如何起源、發展並且被不斷地拓寬。透過人類對數字這個概念的認識歷程，你能體會到人類在思維工具上的進步——從具體到抽象，再到完全的想像。一個人對數的概念的理解程度，反映出他在數學上認知水準的高低。
照理說，我們的認知水準應該隨著所學內容難度的提升而提升，但是通常不是如此。在大學學習關於數字的概念時，很多人對數字的理解方式還停留在小學階段。例如，對於無窮大和無窮小的概念，很多人依然以為它們只是巨大的數字和極小的數字。事實上它們和我們日常遇到的具體數字不同，它們代表的是變化的趨勢和快慢。因此，從小學到了大學，大家對數字的理解就應該從靜態發展到動態，但是實際情況並非如此。
如果一個人用小學的思維方式學習大學數學的內容，一定會覺得非常難，這是很多人後來數學學不好的原因。但這不能怪罪於學習的人，因為很多數學課程都是把學生當作未來的工匠來教育，教給學生們的都是一些能夠讓他們更能好好幹活的知識。因此，當學生一旦發現某些知識和將來幹的活沒有關係，就直接放棄了，或者混個說得過去的成績就可以了，而不會想它和我認知水準的提高有什麼關係。反過來，如果我們放棄教授學生具體技能的目的，而是讓他們透過認識數字從自然數到負數、從整數到有理數、從有理數到實數、從實數到複數，最後從有限的數到無限的數，了解了此發展歷程，理解數學作為工具的作用，了解人類的認識從具體到抽象、從有限到無限的過程，就更容易掌握數學方法的精髓了。
隨後兩篇的內容集中在我們熟知的幾何學和代數學上。它們不僅是數學的兩大支柱，更重要的是，它們的發展歷程反映出了數學體系化的建立過程。
在幾何篇中，我們將重點放在幾何的公理化體系上，這是幾何學最大的特點，也讓幾何學成為邏輯上最嚴密的數學分支。透過幾何學的產生和公理化過程，你可以看到數學如何從經驗發展起來，逐漸構建成邏輯嚴密的知識體系。人類在搭建幾何學大廈時，先是有了一些直觀認識，然後從一些例子中總結出被稱為引理（lemma）的簡單規律，引理的擴展可能會導引定理（theorem）的出現。定理會有自然的推論（corollary），最後無論是定理或推論，都會有實際的應用，即便有些應用百年後人們才找到。這既是數學發展的過程，也是我們組織本書內容的思路。在以後的篇章也可以看到，微積分、機率論是如何從經驗變成公理化體系。尤其須指出的是，許多數學的應用並非都是直接的應用，它對其他知識體系具有借鑑意義，因此我們會講到數學公理化的體系對法學的影響。

前言

基礎篇

第1章／理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起

1.1勾股定理：為什麼在西方叫畢氏定理？

1.2數學的預見性：無理數是畢氏定理的推論

1.3數學思維：如何從邏輯出發想問題？

1.4黃金分割：數學和美學的橋梁

1.5優選法：華羅庚化繁為簡的神來之筆

第2章／數列與級數：承上啟下的關鍵內容

2.1數學的關聯性：費氏數列和黃金分割

2.2數列變化：趨勢比當下重要

2.3級數：傳銷騙局裡的數學原理

2.4等比級數：少付一半利息，多獲得一倍報酬

第3章／數學邊界：數學是萬能的嗎？

3.1數學的局限性：從勾股定理到費馬最後定理

3.2探尋數學的邊界：從希爾伯特第十問題講起

數字篇

第4章／方程：新方法和新思維

4.1雞兔同籠問題：方程這個工具有什麼用？

4.2一元三次方程的解法：數學史上著名的發明權之爭

4.3虛數：虛構的工具有什麼用？

第5章／無窮大和無窮小：從數值到趨勢

5.1無窮大：為什麼我們難以理解無限大的世界？

5.2無窮小：芝諾悖論和破解

5.3第二次數學危機：牛頓和柏克萊的爭論

5.4極限：重新審視無窮小的世界

5.5動態趨勢：無窮大和無窮小能比較大小嗎？

幾何篇

第6章／基礎幾何學：公理化體系的建立

6.1幾何學的起源：為什麼幾何學是數學最古老的分支？

6.2公理化體系：幾何學的系統理論從何而來？

第7章／幾何學的發展：開創不同數學分支融合的先河

7.1非歐幾何：換一條公理，幾何學會崩塌嗎？

7.2圓周率：數學工具的意義

7.3解析幾何：如何用代數的方法解決幾何問題？

7.4體系的意義：為什麼幾何能為法律提供理論基礎？

代數篇

第8章／函數：重要的數學工具

8.1定義和本質：從靜態到動態，從數量到趨勢

8.2因果關係：決定性和相關性的差別

第9章／線性代數：超乎想像的實用工具

9.1向量：數量的方向與合力的形成

9.2餘弦定理：文本分類與履歷篩選

9.3矩陣：多元思維的應用

微積分篇

第10章／微分：如何理解宏觀和微觀的關係？

10.1導數：揭示事物變化的新規律

10.2微分：描述微觀世界的工具

10.3奇點：變化的連續和光滑是穩定性的基礎

第11章／積分：從微觀變化了解宏觀趨勢

11.1積分：微分的逆運算

11.2積分的意義：從細節了解全局

11.3最佳化問題：用變化的眼光觀看最大值和最小值

11.4發明權之爭：牛頓和萊布尼茲各自的貢獻

*11.5 體系的完善：微積分公理化的過程

機率和數理統計篇

第12章／隨機性和機率論：如何看待不確定性？

12.1機率論：一門來自賭徒的學問

12.2古典機率：拉普拉斯對機率的系統性論述

12.3白努利試驗：隨機性到底意味著什麼？

12.4平均數與變異數：理想與現實的差距

第13章／機率小和機率大：如何資源共享和消除不確定性？

13.1卜松分布：為什麼保險公司必須有很大的客戶群？

13.2高斯分布：機率大事件意味著什麼？

*13.3機率公理化：理論和現實的統一

第14章／先決條件：度量隨機性的新方法

14.1先決條件：條件對隨機性的影響

14.2差異：機率、聯合機率和條件機率

14.3相關性：條件機率在資訊處理的應用

14.4貝氏定理：機器翻譯如何運作？

第15章／統計學和數據方法：準確估算機率的前提

15.1定義：什麼是統計學？

15.2實踐：如何做好統計？

15.3古德—圖靈折扣估計：如何防範黑天鵝事件？

15.4 換個眼光看世界：機率是一種世界觀，統計是一種方法論

終篇

第16章／數學在人類知識體系的位置

16.1數學和哲學：一頭一尾的兩門學科

16.2數學和自然科學：數學如何改造自然科學？

16.3數學和邏輯學：為什麼邏輯是一切的基礎？

16.4數學和其他學科：為什麼數學是更底層的工具？

16.5未來展望：希爾伯特的講演

附錄1黃金分割等於多少？

附錄2為什麼費氏數列相鄰兩項的比值收斂於黃金分割？

附錄3等比級數求和的算法

附錄4一元N次方程x^N＝1的解

附錄5積分的其他兩種計算方法

附錄6大數法則

附錄7希爾伯特退休講演的英文譯文

（標*的章節為延伸閱讀內容）

基礎篇
著名哲學家康德曾說：「我斷言，在任何一門自然科學中，只有數學是完全由純粹真理構成的。」當然構建在純粹理性之上的知識體系非常困難，因為它和我們憑藉直覺的主觀思維方式相違背。
根據《新時間簡史》（A Briefer History of Time）和《大設計》（The Grand Design）的共同作者雷納．曼羅迪諾（Leonard Mlodinow）在《科學大歷史》（The Upright Thinkers）一書中的講法，人類自文明誕生之初（從美索不達米亞〔Mesopotamia〕的蘇美文明算起），發展了幾千年，形成的所有知識體系都只能算是「前科學」。「前科學」是一種好聽的說法，難聽的說法叫作「巫術式」的知識體系，因為它充滿了主觀色彩和神秘性。在所有早期文明中，唯一的例外是古希臘。但即使是在古希臘，許多做出重大科學貢獻的知名大學問家們，例如泰利斯（Thales）、赫拉克利特（Heraclitus）、亞里斯多德（Aristotle），他們的思維依然是前科學的，而不是科學的。因為他們對客觀世界的解釋，雖然有基於客觀現實的成分，但依然加入了太多主觀的想像。讓古希臘文明在科學方面和其他早期文明有了真正不同的是一位劃時代的人物——畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯確立了數學的起點，也就是必須遵循嚴格的邏輯證明才能得到結論的研究方法，這讓數學從早期必須依靠測量和觀測的學科——諸如天文學、地理學和物理學中，脫離出來，成為為所有基礎學科服務、帶有方法論性質的特殊學科。因此，畢達哥拉斯是將數學從經驗提升至系統性學科的第一人。到了近代，大數學家和哲學家笛卡兒（René Descartes）倡導理性思維，反對經驗主義，就是在畢達哥拉斯方法的基礎上的進一步系統性拓展。這就是本書要從畢達哥拉斯講起的原因。

第1章╱理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起
大家都熟知提出並證明了勾股定理的人就是畢達哥拉斯，因此這個定理在西方被稱為「畢氏定理」，滿足這個定理條件的任何一組整數也被稱為「畢氏數」。本章我們就從這個大家熟悉的定理出發，了解數學的特點和研究方法，特別是數學的證明定理和物理學的證實定律這兩個概念的區別。

1.1勾股定理：為什麼在西方叫畢氏定理？
勾股定理講的是直角三角形兩條直角邊a和b邊長的平方和等於斜邊c邊長的平方，即：a2+b2=c2。
這個定理在中國之所以被稱為勾股定理，是因為勾和股是中國古代對直角三角形兩條直角邊的叫法。不過在國外，這個定理卻被稱為畢氏定理。這兩種命名哪一種更符合數學的習慣呢？這就涉及在數學領域什麼才算是定理這樣一個非常基本的問題了。
我們的中學老師通常這樣講：勾股定理是中國人最先發現，因為據西漢《周髀算經》記載，早在西元前一○○○年時，周公和商高兩人就談到了「勾三股四弦五」。周公和商高生活的年代比畢達哥拉斯（約西元前五八○～前五○○年）早了五百年左右。根據榮譽屬於最早發現者的慣例，這個定理被稱為勾股定理或商高定理是合理的。
但是這樣的說法有意無意地迴避了一個疑點：在比周公和商高更早的時候，是否就有人知道了類似「3，4，5」這樣的勾股數？
這個問題的答案其實相當明確。比周公和商高早一五○○年，古埃及人建造大金字塔時，就已經按照勾股數在設計墓室的尺寸了。此外，早在西元前十八世紀左右，美索不達米亞人就知道很多組勾股數（包括勾三股四弦五），而且留下了不少實物證據——耶魯大學的博物館裡就保存了一塊記滿勾股數的泥板。他們所獲知的一組最大的勾股數是（18,541，12,709，13,500），能發現這麼大的一組勾股數非常不容易。
既然如此，為什麼數學界並沒有將此定理命名為埃及定理或美索不達米亞定理呢？
這個問題的答案也很簡單，所有古代文明不過是舉出了一些特例而已，甚至都沒有提出關於勾股定理的假說，更不要說證明定理了。
上述兩個問題在教學中通常不會被提及，這使學生們忽略了特例和數學定理其實完全不同，也無法知道數學的定理和自然科學——比如與物理領域的定律的根本不同。而明白了這其中的區別，是中學生和大學生學好數學和科學的前提。
關於數學上的定理，首先，我要說明的是，找到一個特例和提出一種具有普遍意義的陳述，是完全不同的兩件事。「勾三股四弦五」的說法和「兩條直角邊的平方之和等於斜邊的平方」這種陳述是兩回事。前者只是一個特例，再多特例所描述的規律，可能只適用於特例，而沒有普遍性。雖然美索不達米亞人舉了很多特例，而且沒有發現例外，但是他們並沒有做出明確的陳述，非常肯定地講清楚勾股定理適用於所有的直角三角形。一種具有普遍意義的陳述，其意義大得多了。它一旦被說出，就意味著任何情況都適用，不能有例外，非常絕對。在數學中，我們通常也把這種陳述稱為命題（proposition）。在古代中國，最早將勾股定理以命題方式總結出來（但是依然沒有證明），是在西漢人所寫的《九章算術》中，那已經比畢達哥拉斯晚了四○○年左右了。
其次，命題還不等於定理。絕大部分命題都沒有太大的意義。例如我們說「如果三角形的某個角是100°，它一定大於其他兩個角之和」，這就是一個命題，而且是一個正確的命題，但是它沒有什麼意義。只有極少數一些描述數學本質規律的命題才是有意義的，因為從它們出發可以推導出很多有意義的結論。這樣的命題會被人們總結出來使用，但是它們在沒有被證明之前，只能算是猜想（conjecture）。而猜想和被證明了的定理依然是兩回事。例如我們聽說過的哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）與龐加萊猜想（Poincaré conjecture）等。儘管猜想和定理的差距很大，但猜想已經比舉幾個特例前進了一大步。
最後，有用的猜想從邏輯上被證明了，才能成為定理。比如龐加萊猜想在被佩雷爾曼（Grigorg Perelman）證明之後，有時也被稱為龐加萊定理。至於定理是用提出猜想之人的名字命名，還是用證明者的名字命名，在數學上都有先例。費馬最後定理（Fermat's Last Theorem）最終是用提出猜想之人費馬的名字命名；而希爾伯特第十問題（Hilbert's 10th problems），則是用證明者的名字命名，今天被稱為馬季亞榭維奇定理（Matiyasevich's theorem）。但是，從沒有用發現簡單現象之人的名字命名的先例。
講到這裡，大家可能已經體會出數學和自然科學（物理學、化學、生物學等）的不同之處了。雖然我們習慣上喜歡把數學和自然科學都看成「理科」，但實際上學習和研究數學的思維方式和採用的方法，和自然科學完全不同，主要可以概括為以下三方面。

1.測量和邏輯推理的區別
我們知道幾何學源於古埃及，當地人出於農業生產的考量對天文和土地進行了度量，發明了幾何學。但是，度量出來的幾何其實和真正的數學仍有很大的差距。
比如說，古代文明的人們確實觀察到勾股數的現象，他們畫一個直角三角形，勾三尺長、股四尺長時，弦恰好就是五尺長，於是就有了「勾三股四弦五」的說法。但是，其中存在一個很大的問題：我們說長度是3尺或4尺，其實並非數學上準確的長度。用尺子量出來的3，實際可能是3.01，也可能是2.99，更何況尺的刻度本身就未必準確，如此一來「勾三股四弦五」就是一個大概的說法了。此外，我們看到的直角是否真的就是90°，而不是89.9°，也是個大問題。
為了讓各位更好理解度量的誤差和視覺的誤差，我們不妨看這樣一個例子。圖1.3左上方有一個8×8的正方形，它的面積是64，對此我們都沒有疑問。接下來，我們按照圖中所示的粗線將它剪成四部分，再重新組合，居然得到了右下方一個5×13的長方形，它的面積是65。
我們當然知道64不可能等於65，這裡面一定有問題。那麼，問題在哪兒呢？其實，問題就出在四部分再拼接時並不是嚴絲合縫的，只不過縫隙較小，大部分人看不出來罷了。
當然有人可能會進一步追問，說你把圖畫大一點，畫精準一點，不就能看出縫隙了嗎？這個問題或許還可以透過更準確的度量發現，但是如果我們畫一個三角形勾等於3.5，股等於4.5，那麼測量出來的弦大約是5.7，這個測量結果和真實值只有0.016%的相對誤差（實際弦長約是5.700877），古代任何測量都無法發現這麼小的誤差。這時我們是否能說「勾3.5股4.5弦5.7」呢？在數學上顯然不能，雖然在工程上我們可以依照這個數值製造機械。
在自然科學中，我們相信測量和實驗觀察，並且基於測量和觀察得到量化的結論。但是在數學上，觀察的結果只能給我們啟發，卻不能成為我們得到數學結論的依據，數學的結論只能從定義和公理出發，使用邏輯，透過嚴格證明得到，不能靠經驗總結出來。
如果拋開誤差的影響，3就是3，4就是4，5就是5，我們找到了很多勾股數的例子，是否可以認為早期文明的人們總結出了勾股定理呢？也不能，只能說他們觀察到一些現象，而沒有對規律進行陳述。我們在畢達哥拉斯之前的典籍找不到這樣明確的陳述。再退一步，如果能找到類似的陳述，也不等於發現了定理。這就涉及數學和自然科學的第二個主要區別——證實和證明的區別了。
2.事實證實和邏輯證明的區別
在自然科學中，一個假說透過實驗證實，就變成了定律。例如，與牛頓同時代的英國科學家波以耳（Robert Boyle）和法國科學家馬略特（Edme Mariotte）一同發現了一個物理現象，即一個封閉容器中氣體的壓力和體積成反比。這很好理解，因為體積壓得越小，內部的壓力肯定越大。兩人透過很多實驗，都證實了這件事，於是此定律就用他們兩人的名字命名了：波以耳—馬略特定律（Boyle–Mariotte’s law）。
但是，如果某個非常認真愛計較的人一定要抬槓，說波以耳、馬略特啊，你們證實了所有的情況（各種體積和壓力的組合）了嗎？你們敢保證沒有例外嗎？波以耳和馬略特肯定會說，我們不敢保證沒有例外，但是這個規律你平時使用肯定沒有問題。果然，後來人們真的發現當壓力特別大時，波以耳—馬略特定律就不管用了，體積壓縮不到定律所預測的那麼小。但是這沒有關係，在大多數條件下，這個定律依然成立。今天人們在製作產品時，依然可以大膽地使用這個定律。
事實上，自然科學的定律和理論，儘管說被實驗證實了，但其實實驗的可信度不可能是100%，都存在一個被推翻的微小可能性。比如，我們證實重力波的實驗，也只能保證結論99.9999%正確的可能性；證實希格斯玻色子（Higgs boson）的實驗，只能保證結論99.99%正確的可能性。
和自然科學不同的是，在數學上，決不允許用實驗驗證一個假說（在數學上常常被稱為猜想）正確與否。數學的結論只能從邏輯出發，透過歸納或演繹出來。它若非完全正確，沒有例外；就是會因為一個例外（也被稱為反例），被完全否定掉，沒有大致正確的說法。其中最著名的例子就是哥德巴赫猜想，即任一大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和。今天人們利用電腦，在可以驗證的範圍內，都驗證了這個猜想是對的，但是因為沒有窮盡所有的可能，就不能說猜想被證明了。因此，我們依然不能在這個猜想的基礎上，構建其他的數學定理。
定理和定律兩詞在漢語中寫法和讀音都相似，容易混淆。但是在英語中，定律是「law」，意思是一般性的規律，而定理是「theorem」，是嚴格證明、沒有例外的規律，它們的差異非常明顯。